Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Из (!) следует, что о (1) = ( и (т) йт или йо (1) = и (7) «Й. (3.5.3) о Эти выражения можно также принять за определение винеровского процесса (и наоборот: определение БГШ через винеровский процесс). Поскольку процесс и(!) выражается через БГШ с помощью линейного преобразования, то винеровский процесс является гауссовским.
Согласно (3) м. о., дисперсия и корреляционная функция процесса и(1) (3.5.4) ' См. сноску на с. 479. 139 !33 М (о(г)) =О, Ра(г)= М (л(т«)п(тз))йт«йтт= о о 6(! )=11 — МИ'(!+~!)- (!Ц'~о(!))= 1-! Зо 11' Л = 1пп — М (и (с! )11(22)) сгт! сггтз =- — = соп31. (3.5.9) ч [т (г, г,) = М (гг(21) гг(тз)гс!т! сгсз = - ш!п(сг, г,). (3.5.5) о о Одномерная и. в. пмеез вид Р(!. а)=-(яМ) '"ехр( — а-/гУ!), ! >О. (3.5.6) Итак, винеровский процесс о(!) является гауссовским нсстаци- опарным процессом с нулевым м. о. и дисперсией, пропорци- ональной времени. Такие характерис!икп свидезельствуют о том, что реализации процесса ведут себя своеобразно: с ростом времени они все более и более разбросаны и чрезвычайно невоспроизводимы. Покажем, что випсровский процесс является марковским. По теореме умножения вероятностей трехмерную и.в.
всегда можно представить в виде Рз (о! а2 оз г! '2 гз) Р (ог !1) гг(о2 12 ~о! ' 1) (оз гз ~ гг2 12 о1 11). Пуст! г, > 12 > г,. Из (3) с! 1~ в (!3) = ) гг (т) с12 =- ) гг (т) сгт+ ) г! (т) с12 = в (12)+ ) гг (т) с72. (3 5 7) о о о Отсюда видно, что при фиксированном о(г,) значение о(! ) пе зависит от в(г,) н, следовательно, Я(! 3, сз !О2„12,' В1, 11)=я(! 3, 13 1! 2~ 12). Поэтому Рз(а! ° "' оз ° г! ° с гз)=Р(о! гг)Я(гг 12!о! ° 11)Я(оз.!з1а2 !2) Применяя метод математической индукции, путем таких же рассуждений можно убедиться, что для п.в.
высших порядков остается справедливым аналогичное соотношение, т. е. выполня- ется определякнцсе свойство марковского процесса (3.4.4). По формулам (3.4.22) и (3.4.23) вычисляем коэффициенты сноса и диффузии: ! .1- Л ! а(г, г!) = 1пп — и ((гг(с+ 5 !) — а(сЦ1 (!)) = 1!гп — ~ М (п (!)) =-О, 1 3! -о а! о! -о (3,5.8) Для найденных коэффициентов уравнение ФПК (3.4.29) принимает внд ОР(г, о)г'171=-(11'4) !гс72Р(1, ц),'с о'. (3.5.10) Нетрудно проверить, что решение этого уравнения для бесконечного пространства дается формулой (6). Поскольку коэффициент сноса равен нулю, то винеровский процесс часто называюг чисто с1и()гфуз!сс!ггныхь П.в.
(6) с течением времени г все более и более расплывае гся вдоль оси о относительно своего пулевого м. о. Винеровский процесс играет основополагающую роль при формировании более сложных марковских процессов Я 3.6). Поэтому приведем другие его характерные особенности. Винеровский процесс является мартингалом в том смысле, что условное м. о, о (!1) прп фиксированных значениях о (го), о(с,), ..., о(г„,), где г„> г„, »... с, равно предшествующему наблюдаемому значению о(г! !): М(О(г!)1О(11-1) О(11-2) " О(!О))г В(!1-!) (3.5.1 !) Этот результат непосредственно следует из равенства (7), если положить в нем г„= гз, Установим некоторые свойства приращений на непересекающихся интервалах времени (!3»12>с!).
Из очевидного равенства о(12) — и(е!) = ) п(т)сггт (3.5.1 2) 11 следует, что м. о. приращений равно нулю, а дисперсия приращений пропорциональна разнос!и рассматриваемых моментов времени М((о» вЂ” (1,Ц'1=(Л72) (1, — 1,), г, > 1,. (3.5.13) С использованием (5) находим взаимную корреляционную функцию приращений М(го(сз) ! (12Ц ьо(!2) ! (11Ц) ~о(гз !2) ~ч (!2 12) К (!3 г!)+~о(12~ 11) О Следовательно, приращения процесса о (!) на неперекрывающихся интервалах времени некоррелированны, а поскольку они нормально распределены, то и независимы. Кроме того, приращения можно назвать стациопарнымн, так как м.
о, их равно нулю, а дисперсия пропорциональна разности рассматриваемых моментов времени. Реализации винеровского процесса непрерывны с вероятностью единица, хотя и нигде не дифференцируемы. Действительно, порядок величины приращения !сзо~=~ в(!+А!) — о(!)( характеризуется его среднеквадратическим отклонением, которое сог-ласно (13) равно (сзгс1112)!12.
Таким образом, 1Ло)- /Лг-+0 при Л!-+0 141 (непрерывность), в то время как скорость )Лг)/Лг-(Л() '"- оо (нелифференцируемость). Прямым следе! вием этих особенностей поведения винеровского процесса является важная формула — ! 1пп,5о,=!пп ~' ~0(1..1) — п(1!))1=%(1 — (о)222, (3.5.14) а--о а — о ! где (о<1, «.. 1 <1, Л=-гпах(11„, — 1,). Здесь сходимость после! довательности случайных сумм слева к неслучайной величине справа понимается в смысле сходимссти по вероятности, т. е.
равенство (14) выполняется почти нанерное. Докажем формулу (14), воспользовавшись известным выражением (1.1.25) для 4-го момента гпв нормально распределенной с. в. с м. о. Рп и дисперсией Р; т =301+ЬВглэ+и . Приращение Лг,. = Р(1,. „,) — п(1,) распределено нормально с м. о. т,. =О и дисперсией 01=!у((1... — 1,.)(2. Поэтому м. о. случайной суммы и — 1 т — 1 М(Я )= 2 М(ЛР,')= — 2 (1,.„— 1,.)= —,(1 — 1,). ! — О 1=0 Найдем дисперсию квадрата приращения М(ЛР4) — (М(ЛР)))1=3)лт — Р =2(Л(12)'(1,, — 1)'. Учитывая независимость приращений винеровского процесса на неперекрывающихся временных интервалах, находим дисперсию суммы 5: и — 1 2 и — 1 1 Р(о )=2 ч" В~= — 2 (1„.,— 1)'< — ' (1 — 1„) !пах (1„,— 1,.). =-о 2 1=-о Следовательно, дисперсия Р(5„,)- О при Л- О.
Отсюда, применив неРавенство Чебышева Р((Ь' — М(о„))>е) <Р(Я„,!()ст, пРихолим к формуле (14). Формула (14) может быть обобщена и!- 1 ! 1пп ~ й((,„Р(1!))Лк~ =(Л()2) (я(т,уг(т))27т. (3.5.1 5) а-о =о 'о 3. Гауссовский экспоненниальио-коррелнроваииый сл. пр. Рассмотрим сл. пр. Ц1), заданный стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка (Л1<(1 ЬаЛ=ул(1), Цо)=).о, (3.5.16) где гх, у -.постоянные коэффнниенты; л(1) — БГш (2). Решение уравнения имеет вил ! л(1)=л ехр( — ш)ьуехр( — а1)(схр(ах)и(х)г(х. (3.5.17) о Сл, пр.
Л(1), получающийся линейньпн преобразованием БГШ, является гауссовским. Иэ (17) находим м. о., дисперсию и корреляпионну!о функцию: 147 и! (1 ) = М 1Л(1 )1 = Лоски( — аг ), (э(1)=у'схр( — 2а1)[[ехр[а(хч у))м(и(л)л(у)1!2(кг)7 =77,[1 — ехр( — 2аг)1, о й(1,„12)=22!елР( — а!11)[1 — ехР( — 2а1)), (71=— 72Л2 4а (3.5.1а) 1=.12 — 1,, 1=пни(1,, 12). В с!анионарном состоянии (1 сс) корреляционная функция является экспонснниальной: К(т) = 22„ехр( — а!т!). (3.5.191 Ус!!саная (при фиксированном Л„) п. в. процесса !.(11 будет нормальной: я(1 1!Л,О)=[2яуЭ(1)) '"ехр( — [Л вЂ” т(1)3~12В(1)). (3.5.20) 1(влагая здесь 1 ао.
приходим к стапионарной нормальной и. в. 12„(Л)=(2яВ,) пхехр( — Л2120!). (3.5.21) !2Ь ЛО ! Лг) — Л(1)= [ [ — аЦт)ьуа(! )122т. Ото!ела находим м. о. условного приращения М([Л(1-, Л1) — Л(1)! /Л(1)) =- — а [ Л(т)2(г, а также вь!Ражсние для коэффиниснта о(Л): 2ы и(Л)= — а 1пп — [ Л(х)г(х= — аЛ. ы-оЛ1 для м. о, квадрата условного приращения имеем !.!к М([Л(1 1-Л1) — Л(1)!2)Л(1)) = [[ М12[ — аЛ(х)гул(х)3 х !2М х [ — аЛ(!')ч уп(у)))2(т21! =а'( [ Л(х)Их!24 — 72Л2Л1 143 Покажем, что пропссс Л(1) являетсч марковским.
Рассмотрим три произ- вольным момента времени 12>О>1, >О. Иэ (17) следует, что 'з Цг,)=л(12)ехр[ — а(12 — !2[), усхр(--а(,)) схр(ах.)л(х)2(х. О!с!ола видно. чэо ЛО1) не зависит о! Л(1!), если задано Цг ). Поэтому, например, лля и. в. псрехола справедливо равенство я(Л2„12(Л, 12,' Л1, 1,)=я(1, 1э!хх, 12), что н показывает маркоаский характер пронесса Л(1). Вьшнслим теперь коэффиписнты сноса и диффузии.
Иэ (16) для приращения пролесса можем написать е йл-л,),г*е яточ(!л,,с)~ „(л Лз Рнс. 3.9 Изменение плотности вероягногти перехода во времена Потгомт 1 з й =- йщ —. ОЛ 1()( 4 ()() — ) (()]з ! Х(()1 = з й и - - ()(! ) о( ]' - - у'л' = - у Н ж-са( ' ' ' ' ' я — ч))( ' 2 2 Уравнение Ф11К (3.4.29) принимает вил бр ((. И(б ! я хб () р ) (О Х -! (1 (4) г 'й г' (з (а ь '.
(3.5.22) Лзундпыснтальнос рещение згого уравнения при !мчальном условии рв(Х)=8!) — "ье) лается условной и. в. к!).,г(хе.О). определенной (20). Характер изменения п. в. пс(захода х(й.!!).е,О) показан и! рцс. 3 9. Начаг!ьная лсльтообразная и. в. 8(Х- Х„) с зсчспнсм времени светел!а!ическн смещается влево пз-за нсн,левого козффнпнсн!а сноса н рвспль!вается вес щпре н нщре нз-за козффнциснтв диффузии, приближаясь к норм !зьной стационарной и.
в. р„(Х) В том истцом слу щс котла п. в начальной координаты ).о совпал!ет со сщпноиарной (20). т. е. р(0, хь) =(2к(?з! "ехр( — Хх 2(?к). ое!пенис уравнения (?2! при . >0 дасзся выра конном (2!). 3,6 СтОКАС) ИЧЕСКИЕ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Пусть поведение модели некоторой сне гомы описывается дифференциальным уравнением (его часто называнзт уращзением Лса(женска) Щ(((=(((, и)+К((, ))н((), 2.((о)=-2. где ?т н е —. детерминированные непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, удовлетворяющие условию Липшица; и (() -- БГШ (3.5,2).
С использованием дифференциала виперовского процесса (3.5,3) уравнение (1) можно записать через дифференциалы г() =Я, Х)г((+д((, 2)г(о((), ).(( )=-)со, (3.6.2) Случайный процесс 2.(()„(>(о, называется регаениел! снюхастических дифференинальных уравнении (1), (2), удовлетворянпцим начальному услови)о ) ((о)=).о, а выражение в правой части 144 (2) — стохастическим дифференциалом, если для любого (> (о справедливо следующее интегральное представление: с ! 2. (() = 2. ((О)+ Ят, )ь (т)) е(т+ ( я (т, )ь (т)) с(о (т). (3.6.3) гя г Здесь в правой части фигурируют интегралы от случайных функций — снзохастические интегралы. Рассмотрим некоторые особенности этих интегралов, отличающие их от обычных интегралов от достаточно гладких детерминированных функций.
Если бы функции (' и я были неслучайными, то обычные интегралы Коши-Римана и Стилтьеса определялись бы как пределы при Л -+ О интегральных сумм м — ! ) /(т, )ь(т))е(т= 1пп ',! ((тг, "я.(т,))(((ь! — (!), о г=о м — 1 ) ~(т, )с(т)) с(о(т) = 1пп ',! й(то 2. (т,)) [о((„() — р((,)3.
(3.6.5) а-о г=о Здесь (о<(, «...(,=(; (.')=шах((,+! — (!) и через т, обозначены некоторые точки т!н [(ч ((ь! ] из !'-го подынтервала. При любых кусочно-непрерывных (рункциях у(т, )ь) и непрерывных функциях я(т, 2.) предельные значения интегральных сумм (4) и (5) не зависят от местоположения точек т! в подынтервалах ((г, (,, ], (=О, (и — ! Оказывается, что интегралы от случайных функций у(т, ).(т)) н я (т, 2. (т)) можно определить формулами (4) и (5) при выполнении следующих условий'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
