Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(3.3.1б) Из (5) следует, что для однородного дискретного марковского процесса матрица инфинитизимальных вероятностей перехода А не зависит от времени и уравнения (9), (14) имеют решения (10), (15). Классификация состояний однородного дискретного марковского процесса полностью аналогична классификации состояний однородных цепей Маркова (нужно только вместо числа шагов и РассматРивать интеРвал вРемени 1 — 1о). Соответственно Различают эргодические и поглощающие дискретные марковские процессы. Для эргоднческого дискретного марковского процесса существует стационарное (равновесное) распределение вероятностей состояний Р, которое определяется из К- 1 уравнения А'Р=О (3.3.17) и условия Е ра 1. (3.3.1 8) Приведенные формулы при конечных значениях К позволяют получать аналитические результаты, а также удобны для вычислений на ЭВМ.
Дискретные марковские процессы широко применяются в физике, теории связи, массового обслуживания и надежности. Пример 3.3.1. Двенретвый марновсннй аропесс с двумя состоанняье (случайный двовчиый еагвал!. Пусть процесс 0(г) в любой момент времена могкет принимать лищь два значения 9, = ! и Эз= — 1 (рис. 3.51, причем вероятность перехода Э, 9, за малое время Лг равна Хг51, а вероятность перехода Эз- 9, равна р41. Известны вероятности начального состояния ре = Р (0(1 ) =! ) н ре=р(0(1 )= — 1) =1 — р",. нувао вычислить вероятности перехода аи(г, г)= =Р(0(г)=92!0(ге)=9г), 1,7=1, 2, вероатности стационарного состояния р, и р,, а также м.
о. н корреляционную функцию процесса 0(г). Укажем, что если дискретный процесс Ф(г) имеет два произвольных состояния Ф, и Ям то его могкно выРазить чеРез сл. пР. 0(г) с двУмЯ состояниями т! с помощью следующего линейного преобразования: Ф(1)=[ег, +Чг, +(Чг, — Чг,) 0(1)]!2. 13.3.!9! В рассматриваемом примере, как следует нз (5), ага=К, а„=р. Из (6) находим агг= — Х, азз= — р.
Так как все четыре коэффициента а,г постоянные величины, не зависящие от времени, то процесс 0(г) является однородным. Дифференциальные уравнения (9) принимают вид Рнс. 3.5. Случайный двоичный сягнал 1!9 длсс(со, С)С»С= — Лясс(С». С)йрпсз(С» С) дл, (с„, )'й= — рл, (с, )-С-лп, (со, ), 13.3,20) (33.26) 13.3.21) олсс('о.
С),"'С.=. -(Лч р)лсс('о* С)+р С>со (3.3.27) р, =р,'(лч р). Рг=лс'(льи), 13.3.23) ло(т)=4Лр(Л+р) 2 ехр [ — (Л+р) (т(]. (3.3.28) л „(с) = лм (т) = (! 72) [1 — ехр (- 2 ЛтЦ, р, = р = 172, то = О, Ко (т) = ехр ( — 2Л ! т ! ). (3.3.29) (3.3 24) (3.3.25) !20 Из условия нормвровкн (3) имеем 12,2(со, с)=1 — я„(со, с). Помому первое нз уравнений (20) можно записать иначе: Общее решение этого линейного нсодноролвого дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием л,,(со, со) —.-1, которое следует из (7), известно: ясс( о с)=-р ( еср [ — (Лэ-р)(с — 2)]сй сехр[ — (Л вЂ” Н)(с — с,)]= Г Л 1 — ехР[ — (л»-Р)т], т=-с — со>0.
Л р Л+р~ В рсзультаге рспюния системы уравнений (20) для любых с>0 летучим гс„(т)= — -Ь~ — — -) сср [ — (7л Ьр) с(, лг(т)=-~ —. -- (1 — ехр [ — (Л-';р)т(), Л, р (,Лч-р,) ' (,Л-: р [3.3.22) сс р С С р л,г(т)=-с-- — -с- схр[ — (Л+р)т], л„(с)= —. (1 — ехр( — (Л+р)т]). Л-ьр ( с. »Рс) ПтссОЛО вилис, ЧгО рассмисриааелсый марКОВсКИй прОцссс С ДвУмя состояниями является о.псородиым, гик кок вероягностп псрсходг зависят голько ог разности фигурирующих в щсх времен. Кро»сс того.
процесс эргоднчен, поскольку прн с л сущссс.вуюг прсдельныс зно сония оероятпоссей перехода которые опрслеляюг вероятности стационарного состояния. Эти верояэ ности можно было легко найти лз уравнения (17). Зная вероятности начального состояния и вероятности перехода, легко находплс Общие воср»жепня Лла обсолсОцсЬЫ !безусловныс! вероятностей состояний Рс(С» ! 1)=ггосгс,, (2) 1(1 — Ро) Яг,(с)= 6 Рос — — ~ ехР[ — (ЛС Р)л], р2(!о »с)=(! 711)л2 (2)-ьр!лсг(г)= = — — -~~." — -~ ~ехр [-(Л ь р) г] '- Льр (, ' Л+4 по определению м. о. процесса 0(с) равно лго(С)=-714220(С)) =1 ' ос(С) — 1 'рг(С)б Р11111(т)6 ж(1 — ро) 11„[т) — (1 — ро) л„(т) — рол,г(т).
Злесь последнее равенство написано на основании формугты (12), Подставив выражения вероятностей перехода нз 122), получим — Со р'С то(с)= +2~у»1 — 1ехр[ — (Л+р)т], т=с — го. Л+р Л-с-р Вычислим теперь корреляционную функцию й,(г, т)=м(е(с,+.)0(с,+газ))-м(в(с,дг)) м(в(с,+.+.)),; т>о. Расписав по определению м.
о. произведения, имеем м(0(со+к) 0(со+2+2))=ус(со+2)псс(т) ьуг(со+2) кгг(с)— — рг(го+2) лсг(т) — рг(со+2) лгс(т), г, т>0. Воспользовавшись формулами (22), (24) и (26), находим ( 4Лр 1р-Л сг о й,(., ) =5,-! +[РТ- — ].~р[-(Л+р)*] ((Л+р)* [Л+р [, Л+р,! х р,— ехр[ — (Л+р)г] ехр[ — (Л+р)т], Л+р/ Предположим теперь, что в качестве вероятности начального состояния взята вероятность стационарного состояния, т. е. рс =р, = р7(л+ р). В ланном о случае процесс 0(с) будет стационарным с момента времени со и из формул 126! и (27) получим Сло(с)=(р Л)7(Л-ьр)=сопя!, 7!»(г, т)=7!»(т)=4Лр(Л+р) 'ехр[ — (Л+р)т] На основании четности корреляционной функции стационарного процесса 0(с) приходим к следующей окончательной формуле, справедливой для положительных и отрицательных значений ж Если Л=р, то процесс 0(с) принято называть симметричным случайным двоичным сигналом (случайным телеграс!5ным сигналом).
Полагая в предыдуших формулах Л=р, находим вероятности перехода, вероятности стационарного состояния, а также среднее значение и корреляционную функцию в стационарном состоянии для случайного телеграфного сигнала 0(с): л„(т) = л2 2(т) =(! 72) [1+ехр ( — 2Лт)], Получим и. в. длительностей положительных т, и отрицательных т, импульсов (см. Рис.
3.5). Возьмем за начальный момент вРемени со начало какого-либо положительного импУльса. Разобьем иитеРвал вРемени [со„сс, ьтс] на большое число в=с,)ус подынтервалов малой длительности 21, Вероятность того, чзо рассматриваемый импульс имеет длительность в интервале [т„т,+д], равна произведению двух вероятностей 1) того, что на первых и подынтервалах 121 состояние сохраняется — она равна (1 — рс5)', и 2) того, что на (л+1)-м подынтервале произойдет переход 9, зс- -она равна ра. Поэтому р(т,) А=(1 — ра)" ра= р(1 — рс(л)" Устремив и га и воспояьзовавшись замечательным пределом (Пб), получим р(т,)=рехр( — рт,), т, >О.
(3.3.30) Аналогично р(т )=-ь ехр( — Лтс), тс>0. (3.3.31) Следовательно, длительности импульсов распределены по показательным законам. причем их средине значения М (т, !=с) р, 04(гз) =1)х. (3.3.32) лс „,(с, сеас)4 Хс(с) Асгго(ас), л с(с, с+А!)=1 — [Х (с)+р.(сЦ а!+о(Лс), лси,(с, с . Ас)= р,(с) А!+о(ас). (3.3.33) Из (8) слелуст, что пнфинитизимальная матрица А(с) в данном случае имеет трехдиагональную ленточную структуру. Элементы этой матрицы -Р'(с)+рс( )). у=я х (С), Сс=/Ч-1, аи(с) = Рс(с), Сс=) — 1, (3.3.34) 0 для остальных /, й>0. Так как размерности соответствующих матриц и векторов в рассматриваемом примере не ограничены, получить вероятностные характеристики на основании (10), (!5) не удастся.
Используя те же рассуждения, что привели к уравнению (14), с учетом (33), (34) для безусловных вероятностей состояний можем наиисась бр (сУ~"'4 хс (') р - (с)-[хс(с)+!сс(с)эр (с)+ +рс„(с)р„,(с), 1=1, 2, .. (3.3.35) В рассматриваемом конкретном случае предполасается, являесся поглощающим. Поэтому при с'=0 в (35) нужно ='ь,(с)=р,(с)жо, т е. сСРе(с)! бс = Р, (с) Р, (с). 122 что состояние У=О положить х.
с(С)= (3.3.36) Прсвюр 3.3.2. Процесс рождения и гибели. Рассмотрим дискретный марковский процесс 0(с) со счетным числом состояний О, 1, 2, ..., с, ..., который в случайные моменты времени может скачкообразно переходить в соселиие состояния (т. е. значение процесса 0(с) может измениться на *1).
Такой процесс называется лролегго.и ролсбессил и гибели. Вероятности перехода процесса рождения и гибели задаются следующими соотношениями: Если в начальный момеиг времени (с=о) значение процесса 0(0)=А, го начальные условия сися уравнений (35), (Зб) имеют вид П, с=сс, рс(О)=од=с ' = !=~О,,рй.
(3.3.37) Аналогично (35) лля вероятностей перехода можно написать прямое уравнение Колмогорова блс(с)(бс=л,-,(с) „, (с)-[х,(с)ерс(с)]л„(с)+ Ьрс.. (с) льс.,(с) с начальным условием п(О) =бсс (3.3.39) В обсцсм случае при произвольных функциях Хс(с) и р,(с) рсспение уравненссй (35), (Зб) оказывается затруднительным. Осшако а некоторых частных случаях удается пояучить аналитическое решение [4), Сюла относится яинейный процесс рождения и гибели, для которого интенсивности рождения и гибели являются линейными функциями состояния: Хс=УХ, рс — — ср, Х>0, р>0.
Пример 3.3.3. Процесс Пуассона. Однороднылс (простым) дискретным процессом Пуассона называется неубывающий целочисленный процесс О(с) с постоянной интенсивностью изменения состояния: хс(с)=3.>О, ру(с)=О. (3.3.40) Для такого процесса вероятность перехода и;,(ср, с) = Р (О (с) = =3') 0(с )=с) =О при 3<с, с>с,. Следовательно, процесс Пуассона является частным случаем процесса рождения и гибели. Часто процесс Пуассона интерпретируется как число появлений некоторого события в промежутке времени от О до с . Ввиду того, что процесс Пуассона играет фундаментальную роль в теории точечных процессов и являешься основополагающим для формирования других, более сложных процессов, приведем его определяющие свойства. Пусть в случайные моменты времени происходит некоторое событие.
Для простого пуассоновского процесса вероятностный механизм появления событий во времени должен удовлетворять трем свойствам: стационарности, отсутствию последействия и ординарности [1). Слсас)ионарссосгль означает, что вероятность наступления определенного числа событий на непересекающихся промежутках времени не изменяется при сдвиге этих промежутков на одну и ту же величину. Отсутствие поеледейепсвия означает, чт о вероятность появления 3' событий в промежутке времени (т, т+с) не зависит от того, сколько раз и как появлялись события ранее. Иначе говоря, условная вероятность появления событий за промежуток (т, к+ с) при любом предположении о наступлении 123 (3.3.42) (3.3.44) событий до момента т совпадает с безусловной вероятностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
