Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(3.4.17) Подставим (16) в (15): я(»., 1+Л1 !»', 1) =," "'„,'),—. ехр С-)й(».-»:)3 ()й)"!й= и — 0 = ,'1 ( — 1)п ",' — — „ехр( — )й(Х вЂ” »т')3 т!йпп «=0 )„»7„(Х', 1) О. (3.4.18) и=о Подставив это выражение в уравнение (14) и выполнив интегрирование с дельта-функцией, получим яР" +Л !»О~ 0) 2 1 йап, 1 пР' 1) я(»а 1 !»"01 ОЦ или 71(»,1+Лг(»о. 10)-яР,1)»о 1о)= =Х'=",Д~-.Р. ) ( ! '.и Поделив обе части этого равенства на Лт и перейдя затем к пределу при Лг-+О, найдем — Я(», 1(Хо то)пп Х, —.[К (», ')Я(».
1!»о 10)) (3419) а=1 где К„(»., 1)= 1пп Д М Я».(1+Лт) — »,(1)1" $».(1)) = Ь1 01п ~! = 1пп ( — ) ! (» (1+Л1) — Х(1))" я(»., т+Л1! Х, г)Н. (3.4.20) а1 О 1та',7,/ Уравнение (19), при выводе которого была использована лишь формула (8), справедливо для любых сл. пр., для которых существуют «коэффициенты» К„(», 1). Рассмотрим далее один важный, но частный случай полученного уравнения (19), когда первые два коэффициента К1(»„1) и Кз(Х, 1) конечны, а остальные коэффициенты К„(»„1) при из 3 равны нулю: 12й 129 1 — 2247 К„(«., 1)<со, и=1, 2; К„(«„1)ивО, п>3. (3.4.21) Марковские процессы, удовлетворяющие этим условиям, называются диффузионными.
Следовательно, чтобы непрерывный сл. пр. «. (1) был марковским диффузионным процессом, необходимо и достаточно, чтобы для него выполнялись условия (21). Как следует из (20), условие (21) характеризует скорость уменьшения вероятности больших отклонений с уменьшением 1зс. Хотя допускаются весьма быстрые изменения процесса «.(1), но в противоположных направлениях. Поэтому среднее приращение процесса за малое время 251 имеет порядок /Й.
Конечные скачки процесса появляются с нулевой вероятностью, и все траектории процесса непрерывны с вероятностью единица. В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: а(б А)=Кс(«., 1)= 1ип — М ([А(1+Лс) — «.(1)] ~ «.(1)=«.), (3.4.22) А! бас Ь(д 'А)=К Рс, 1)= 11 ! М([«.(1+Л1) — «с(1)] 1«.(1)=«). (3.423) Ас бас По традиции, связанной с применением уравнения ФПК первоначально в основном для изучения поведения броуновских частиц, «коэффициенты» а(б «.) и Ь(1, «с) часто называют соответственно коэффициентами сноса и диффузии или локальными характеристиками процесса «.
(1) (см. с, 144). Коэффициент сноса а(б «.) характеризует среднее значение локальной скорости, а коэффициент диффузии Ь(б «.) — локальную скорость изменения дисперсии приращения марковского процесса. Коэффициент диффузии не может быть отрицательным; Ь(б А)>0. Для диффузионных марковских процессов уравнение (19) упрощается и переходит в уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова (ФПК) ', называемое также прямым уравнением Колмогорова: д.(. ~ о,со)=-г,[а(ДХ)ЯР,1!Хо,со)]+ +- —, [Ь(б «.) п(«„1(«о, 1,)], (3.4.24) Помимо прямого уравнения Колмогорова (24) (в нем фигуРиРУет пРоизвоДнаЯ по «конечномУ» моментУ вРемени 1> го) п. в.
перехода удовлетворяет также обратному уравнению Колмогорова (в него входит производная по начальному моменту времени го<1): ' Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероят- ностейЦУМН.— !938.— зй 5.— С. 5 — 41. 130 - '- х(«„11«., 1„) =а(1„, «„) — х(«„11«.о, 1 )+ о з Ь(со «о) = з '!Ро ! «-о со). (3.4.25) ')мз уравнение выводится так же, как и уравнение (24), с той лини, разницей, что теперь при записи уравнения (14) нужно н пиь промежуточный момент времени Р близким не к конечному моменту времени 1, а к начальному Поскольку прямое и обратное уравнения (24) и (25) определянм одну и ту же и.
в, перехода и(«., 11 «.о, со), то они не независимы. В частности, дифференциальные операторы в правых частях уравнений (24) и (25) являются взаимно сопряженными [2). Однако не следует трактовать прямое и обратное уравнения лини, только как взаимно сопряженные операторы. При решении научно-прикладных задач в зависимости от их конкретной !)и11змулировки применяют прямое или обратное уравнение Колмо!орова.
Если нас интересует и. в. непрерывного марковского диффузионного процесса «. (1) при заданной п. в. начальной кооРдинаты «.(1 )=«.о, то естественно использовать пРЯмое УРавиеиие. Наоборот, если нужно вычислить распределение первого времени достижения фиксированного уровня с как функцию начального состояния «.о, то целесообразно пользоваться обратным уравнением. В некоторых случаях, когда на поведение процесса «. (1) наложены ограничения, может оказаться, что прямое уравнение в обычном виде не применимо, в то время как обратное уравнение остается в силе (4). Линейное уравнение в частных производных (24) относится к параболическому типу, и для отыскания его решения можно применять обычные методы решения уравнений этого типа'.
Решение должно удовлетворять обязательным условиям (6) и (7), 1, е. оно должно быть неотрицательным, нормированным к единице и удовлетворять начальному условию х(«со1«о со)=ЬР— «о). (3.4.26) Решение уравнения (24) для неограниченного пространства при дельтообразном начальном условии (26) называется фундаментальиым решением задачи Коши. Если значение марковского процесса «.(1) в начальный момент времени 1 не фиксировано, а является случайным и имеет и.в. ро(«.), то в качестве начального условия-указывается эта п.в. р(со «")=роР).
(3.4.27) ' Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебник мм университетов.— Мг Наука, 1972,— 735 с. 131 р(б Х) >0; ( р(6 Ц (2.=1. (3.4.30) Отметим, что если условия (2! ) не выполняются, т. е. марковский процесс не является диффузионным, то на основании (19) для одномерной п. в. вместо уравнения (29) получим обобщенное уравнение — р(1, Х)=- 2 ( — !)" — — [К„(Х, с)р(6 7.Ц, (3.4.31) где коэффициенты К„(Х, г) определены формулой (20).
Этим обобщенным уравнением в принципе можно пользоваться при анализе более широкого класса марковских процессов. Однако получение решения оказывается очень сложной задачей. 3. Граничные усзовия. Для отыскания решения уравнения ФПК (29) кроме начального условия нужно указать еще и граничные условия. Последние могут быть весьма разнообразными и определяются существом физической задачи. При формулировке граничных условий и при решении уравнения может оказаться полезной следующая наглядная интерпретация уравнения (29). Будем трактовать вероятность как 132 При этом одномерную п.в. р(6 Х) в произвольный момент времени ~ ) ~о можно вычислить двумя способами.
Если п.в. перехода уже найдена, то Р(д ~)= ) н(1 с~!о. со)Р(со,7 )М (3.4.281 Однако более целесообразно сразу искать решение для п. в, р(б Х) с начальным условием (27). Умножив (24) на р(со, 7 ) и проинтегрировав по 2.о, с учетом (28) получим --р(6 Х)=1. (р(6 Х)) = — а [а((, Х)р(1, ХД+ — —, [Ь((, 3)р(д 2)~. (3.4.29) Следовательно, одномерная и. в. марковского диффузионного процесса удовлетворяет уравнению ФПК (29). При дельтообразном начальном распределении п. в. совпадает с и. в.
перехода и соо~ветс~венно становятся идентичными уравнения (24) и (29). Имея в виду, что во многих задачах непосредственный интерес представляет именно и.в. р(6 Х), в дальнейшем будет рассматриваться в основном уравнение (29). Уравнение (29) нужно решать при начальном условии (27). Решение должно быть неотрицательным и нормированным к единице; некую субстанцинь Например, п.в.
р(Б Х) можно рассматривать как концентрацию (относитсльное число) частиц в точке 2. в момспг времени и Поток частиц б вдоль оси Х складывается из систематического потока ар, где а- локальная скорость системагического движения, и случайного (диффузионного) потока— (1)2)д(Ьр)(дХ, т. е. б(б Х)=а(6 2.)р(б Х) — (112)д[Ь(6 Х)р(6 Х))/02. (3.4.32) Из (29) и (32) следует, что уравнение ФПК представляет собой уравнение непрерывности др(6 Ъ.)(дг+дб(б Х)(дХ=О, (3.4.33) выражающее сохранение числа частиц. Взяв достаточно малые приращения ЛХ и Лб уравнение (33) можно записать иначе: [Р(С+Лб 7) — р(6 ~)) Л3,=[б(0 ~) — б(б 3.+2!2)) ЬЬ (3.4.34) Видно, что приращение вероятности за малый промежуток времени Й на элементе фазового пространства ЛХ равно разности потоков за этот же промежуток времени Лп приходящего через левое сечение Х и выходящего через правое сечение 2.+АХ (рис.
3.6). Выражение (34) можно назвать законом сохранения вероятности или законом непрерывности. Он используется при записи аналогов уравнения ФПК для различных классов смешанных (дискретно-непрерывных) процессов (см. 5 3.9). Если сл. пр. Х(~) может принимать всевозможные значения от — со до оэ, то уравнение (33) справедливо на всей прямой. В качестве граничных условий при этом следует брать условия на +ос. Интегрируя (33) по Х от — х до оэ и учитывая условие нормировки (30), получаем обязательно выполняющееся равенство б(0 — ж)=б(0 оо).
Однако, помимо этого равенства для выполнения условия нормировки (30) должны выполняться более сильные условия 1пп р(6 Х)=0, !пп — „р(б Х)=0, г ы т ело (3.4.35) которые можно назвать нулевыми граничными условиями. В тех случаях, когда функция Х(1) вй,л! а(с,лвлл! принимает ограниченные значения на ьяк — ~ интервале (с, с(), уравнение (29) следу- 1 ег рассматривать лишь в этой об- ) ласти. При этом граничные условия нулевого потока имеют вид б(б с)=б(б с!)=О. (3.4.36) Рнс. 3.6.
К вычислению потока вероятности !33 х!с! с в л в с в с л Рис. 3.7. Влияние отражающей граниссы на ссроссесс и плотность вероятности Задание граничных условий в таком виде физически означает, что не допускается поток частиц через границы с, а'. Можйо считать, что в граничных точках с, с/ поставлены отражающие экраны, и если частица достигает эти экраны, то она зеркально отражается от них, Поэтому условие (36) можно назвать условием отражающих границ (экранов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
