Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Отсюда, в частности. следует, что появления того или иного числа собьпий в нецерссскающихся промежутках независимы. Свойство ординар»псков состоит в том, что вероятность одного изменения состояния в малом промежутке времени (1, 1+Лг) равна ХЛг+о(Лг), где !.>О, а вероязносгь сохранения прежнего состояния равна 1 — ХЛг — п(Л1). При этом подразумевается, что вероятность смены состояния более одного раза в промежутке (1, г+Лг) есть малая величина о(Л1), т. е.
собыгия появлякггся относит ельно редко. Следовательно, Р (0(1+Лг)=7! О(г)=1' — 1) =ХЛг+о(Л1), Р (О (г+ Лг) = 7' ! О (1) =у!!. = 1 — 2 Лг — и (Лг ). Зададим следующее начальное состояние: (! при 1=11, (О при 1'=1, 2, ... Вычислим безусловнукг вероятность какого-либо состояния. Для этого воспользуемся уравнением (14), в котором согласно (41) отличны от нуля только два коэффициента ад= — Х и гг, гц=1. Поэтому ФЯlдг= — 2Р7(г)+7Р7- (г), 7'>1, ~Р„!дг= — ХР (1). (3.3.43) Общее решение этих линейных дифференциальных уравнений первого порядка известно.
С учетом начально~о условия (42) получим ! Р,(г)=1ехр( — 7ег) ( ехр(Хх) Р,, (к) г!х, 1>1; о Р,(1)=ехр( — Хг), 1>0. Выполнив вычисления, придем к закону Пуассона ру(1)= Ц!ег)'/Я ехр( — Ъ.г), 7'=О, 1, 2, ... Прямое уравнение Колмогорова (9) принимает вид днцЯ(й= — 2.ац(1)+2.ньу г (3.3.45) Н етрудно убедиться, что это уравнение при начальном условии яц(0)=бц имеет решение Ц(й,г)у '!'(7' — !)13 ехр ( — Хг), 7'> г', ггц11) = (3.3.46) Укажем, что если бы параметр Х пуассоновского закона зависел от времени, т.
е. во все предыдущие выражения входил бы параметр Х(1), то процесс О(г) был бы неоднородггыпг. При 124 Р (е (1) ) = Х ) М (Ь ' (г, т, х)) г!т, о !и!и(!,, г,) 711(г„гг)=Х ) М(!г(гг, т, а)Ь(гг, т, =))дт. о (3.3.49) ' нпуггег П. Е. иппдопг Рогпг Ргоееегек — !4. уп .1о!гп %11еу. 1975. - 485 р. 125 этом все полученные соотношения остаются справедливыми при ! подстановке в них вместо 7 1 функции ) !. (т) дт.
В частности, о вместо (44) можно написать / ! г' ру(1)=-~ ) Х(х)дх)~ ехр1 — ) Х(к)дх . о о Более полные и подробные сведения о пуассоновском процессе и его различных обобщениях приведены в [4), а также в '. Укажем одно из важных обобщений --профильтрованный пуас- соновский процесс. случайный процесс (с (г), г > 01 называезся про!!гггггьтрггвггнггыпг пуггсгонопгкгы! пропеггсгглг, если его можно представить в виде ПП1 Цг)= ,'1 !г(1, т,, и,).
(3.3.48) =г Здесь (О(г), 1>0) — пуассоновский процесс с постоянным парамет- ром Х; (-,) — -последовательность взаимонезависимых и одинаково распределенных случайных величин, не зависящая от (0(г), 1>0); Ь(1, т, =)- детерминированная функция «рех вещественных пере- менных. Во многих практических задачах (например, применительно к дробовому шуму или импульсным помехам) допускается следующая интерпретапия отдельных величин в записи (481: т,, — -время появления случайного события; 2! --геамплитуда», связанная с этим случайным событием; Ь(1, тг,,) обусловленное этим событием значение ЭЛЕМЕНтарНОГО СИГНаЛа В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ 1 И е (1) — -ЗНаЧЕНИЕ Прн 1 суммы элементарных сигналов, обусловленных событиями, осуществившимися во временном полуигп ервале (О, 13.
Из выражения (48) следует, что для задания профильтрованног о пуассоновско!.о процесса необходимо указать: 1) параметр к порож- дающего пуассоновского процесса; 2) общее для всех с. в. вероятностное распределение и 3) конкретный вид функпии !г (г, т, .). Можно показать (4), чзо если М (Ьг(г, т, =)) с со, то случайный процесс г,(1) имеет конечные первые и вторые моменты, равные ьч (г ) = М (Д (1) ) = Х ( М (Iг (1, т, з) ) г!т, о 3.4.
БЕПРЕРЫВБЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС 1. Определяюпиее свойства. Характерная особенность рассмотренных ранее разрывных марковских процессов состояла в том, что для малых временных интервалов ЛЕ вероятность сохранения предыдущего состояния значительно превышала вероятность изменения состояния, причем каждое изменение состояния было существенным. В отличие от таких процессов непрерывный марковский процесс характеризуется тем, что в любом малом интервале ЛЕ имеет место некоторое малое (порядка lй) изменение состояния; реализации процесса на любом временном интервале являются непрерывными функциями времени с вероятностью 1. Приведем определение непрерывного марковского процесса ).
(1). Возьмем в последовательные моменты времени 10<1,«...1»,<1 отсчеты сл. ир. 70 —— ).(10) ) =).(1 ), ..., 2.„! =). (1„! ), 7.„=). (1„). Процесс 2. (1) является марковским, если условные и, в. Л~(~»' 1» ~ ) и !' Еи !' ' 7 ЕЕ!' )"О' 10) (3.4.1) =Р.+!()!' " )"о' ' - Ео)УР.О" -! " Е.о' Е.-! " Ео) зависят только от последнего значения 2.„! в моме1гг 1», и не зависят от других более ранних значений, т, е. !'п(7!н Еп ~ 7.»-Е, Еи-2,' " ' 70 'о)=л().». 1» ~ )„-Е, 1»,), и>1. (3.4.2) Следовательно, для марковских процессов выражение (1) можно записать в виде Ри+ ! ()и ''' 2'о1 Енп " ~о)=Р»(~н ! "' )"о*' 1» ' " ' ЕО ) Л (7"и ' 1» ) ~ " - ' 1» - ! ) ' (3.4.3) Интегрируя это равенство по 20, на основании условия согласованности и. в, имеем Ри(2» ".
~! 1 ° ". 1!) = =и» ! (Х„!, ..., 7»!', 1» Е, ..., 1 ) л(1„, 1„( ),„2, 1»,). Отсюда видно, что при любом н>1 в формулу (2) входит одна и та же условная п. в. л()., е ~ 2.', 1'), которую часто называют и. в. перехода (из состояния 7.' в состояние 7. за время между е' и 1). Применяя последовательно соотношение (3) для разных н, получаем Рп» ! Р' "' ) о ~ 1» " Ео)»» =Р(70' Ео)л(2! Е! ~)!о Ео) "л(2» 1»~)»-2, 1.-!). (3.4.4) Следовательно, многомерные и. в. марковского процесса выражаются через п. в. перехода л()!, 1) )!', 1') и одномерную начальную 126 (3.4.7) 11ш л(2» 1 ! 7», Е') = 6(Š— ) ); 3) удовлетворяет соотношению л (2„1 ~ 7„', е') =)' л(),, 1) ),", 1») л (7!.", е" ~ ).', 1') д) ", 1>1 >1 (3.4.8) являющемуся непрерывным аналогом уравнения Колмогорова в Чэпмена, которое также называют уравнением Маркова или уравнением Смолуховского.
В справедливости этого соотношения нетрудно убедиться. Ба основании (4) можем написать ) р, (7!, Х", ) '; 1, 1", Е') Л "= =р().'; е') ( л()., 1) 7 ", 1») л() ", 1» ~ 2,', 1') еЕ),". По условию согласованности п. в. интеграл слева равен двумерной и. в. р,()., 7'; 1, 1')=р(7'; 1') л()., 117.', Е'). (3.4,9) Приравнивая правые части двух написанных равенств, приходим к (8). В тех случаях, когда и. в. перехода зависит только от разности временных аргументов л(2.,1(2.',Е')=л()!, т/)'), т=1 — 1', 1,1'> 1„ (3.4.10) марковский процесс называется однородным во времени.
Если задана начальная п. в. Р().0; 10) и найдена п. в'. перехода и()., 1~ )., е') то можно вычислить все другие характеристики марковского процесса. Так, двумерная и. в. в произвольный момент времени 1>10 Р2(7" )"0 Е 10) Р(7'0 10) л(2' Е ~ ~'0 10) (3.4.1 1) !27 и. в. Р(~.0; 10). Поэтому двумерная и. в. полностью определяет марковский сл. пр. ВоспользовавпЕись соотношением (3) и теоремой умножения вероятностей, нетрудно проверить, что марковский процесс остается таковым и в обратном направлении, т. е. л() о Ео ( ).! 1! - ' 7!ю 1.)= я() о Ео ) ) ! 'Е) 'о <1! «-. ' (3 4 5) П.
в. перехода удовлетворяет нескольким условиям: 1) она неотрицательна и нормирована к единице: л()!, Е ()', Е')>О, ) л(), 1~).'Е')д).=1; (3.4.6) 2) переходит в дельта-функцию при совпадении рассматриваемых моментов времени (физически †мал изменение состояния за малые промежутки времени): а одномерная и. в. находится ее интегрированием: Р(»" 1)= ( Р(»о' 10) к(х 1!»о 'о)17»-о (3.4.! 2) Если пачальнаа и. в.
задана в виде дельта-фУнкцни Р(»,; 10)= а-8(Х вЂ” ».О), то одномерная и. в. просто совпадает с п. в. перехода Р(».; 1)=Я(»., 1!».. 10). Если существует стационарное состояние, то одномерная п. в. в стационарном состоянии р„® не зависит от времени, а двумерная и. в. зависит только оз разности рассматриваемых моментов времени т=-1 — 1'.
рт(», ».'; т)=рР. ».'; 01')=р„(»,')я(»., т!».'). (3.4.1 3) 2. Уравнения Колмогорова для диффузионных марковских процессов. Плотность вероятности перехода я(»., 1~ ».', Р) и одномерная и. в. »7(».; 1) важного, но частного класса непрерывных марковских процессов удовлетвсряе1 дифференциальным уравнениям в частных производных Колмогорова. Получим эти уравнения, предполагая при этом, что все условия, при которых правомерны приводимые ниже математические операции (дифференцирование, интегрирование, существование пределов и т.
п.), выполняются. Запишем уравнение Маркова (8) в следующем виде: я(». 1+Л1!»о 1о)=) я(»-,1+Л1!»' 1)пР' 1!»о 1о)«»', 1+ Л! > 1 ~ 1„, (3.4 14) где интервал времени Л1 предполагается малым. Запишем условную характеристическую функцию 0 (й !».', 1) случайного приращения (».— ».') за малое время Л! при условии, что ».' фиксировано. По определению характеристической функции, имеем 0 (й ~ Х', 1) = М (ехр (!й(», — ».'Ц !»,', 1) = ехр (!й(».— ».'Ц я(»., 1+ Лт !».', 1) 11» . Согласно обратному преобразованию Фурье можем написать я (»„1+ Лт !».', 1) = — ехр ( — )й(».
— ».') О (й !»,', 1) т!й). (3.4.! 5) Разложим 0(й !».', 1) в ряд Маклорена (1.1.26): а 0(й ~ »,'„1)=1+ ,'> --" — —,' (1й)", (3.4.16) а=1 где т„(Х', 1)=М((Х(т+Лт) — Х'(т)3" ! Х'(т)) — условные моменты приращения (».— ».') за время Лн т„(».', 1)= )' (».— ».')" я(»., т+Лт!»,', т)12»т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
