Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Роль отражающего экрана наглядно иллюстрируется рис. 3.7, где изображен один отражающий экран, расположенный в точке Л=с. Конечно, граничные условия могут быть заданы и в другом виде. Например, в граничных точках с, ас могут быть расположены поглощающие экра>сы: частица, достигшая экрана, поглощается им (т.
е. остается там навсегда) и исключается из дальнейшего рассмотрения. Поэтому п.в. р(с, Л) должна обращаться в нуль на границах: р(с, с)=р(с, с/)=(!. (3.4.37) Это есть условие поглощающих границ (экранов/. Влияние поглощающих экранов на поведение процесса и п.в. схематически изображено на рис.
З.о, на котором показан один поглощающий экран в точке Л=с. С задачами такого типа часто приходится иметь депо при анализе срыва слежения в следящих измерителях (автодальномер, фазовая автоподстройка и др.). При этом следует иметь в виду, что теперь п.в. р(с, Л) не будет нормирована на единицу, так как из рассмотрения исключаются те частицы„которые поглощены экранами. Их число возрастает с течением времени. Методика решения задач при наличии поглощающих и отражающих границ была предложена Л. С. Понтрягиным' и приведена с примерами в (4).
' Понтрягин Л. С.. Андронов А. А., Витт А. А. О статистическом Рассмотоении динамических систем//ЖЭТФ.— 1933. — Т. 3, № 3.— С. 165 — 180. Рис. 3.8. Вливние поглощающей границы на процесс и плотность вепоятности Возможен также более общий случай, когда в точках с и с/ расположены упругие жесткие экраны: часть попавших на них частиц отражается, а остальные поглощаются. В этом случае граничные условия задаются линейной комбинацией условий поглощения и отражения. Возможны различные комбинации трех перечисленных границ. Например, в точке с расположен поглощающий экран, а в точке с/ — отражающий и т.
д. Необходимо отметить, что методика математического решения задач с указанными ограничениями (отражающие, поглощающие границы и их комбинации) известна только для марковских процессов. 4. Методы решения. Для решения уравнения параболического типа (29) можно применять известные методы решения уравнений этого типа. Во многих случаях просто находится стационарная п. в. р„(с, Л) = 1!ш р(с, Л), если она существует. Она не зависит от с е времени с и начального распределения р„(Л).
Поэтому в стаци- ОиаРНОМ СОСТОЯНИИ дР с(Л)/дС ив О И, СЛЕДОВатЕЛЬНО, 6(Л) = б=СОП81. При этом уравнение (29) переходит в линейное дифференциальное уравнение для р„(Л) с/( сг(Л) р„(Л)3/с/Л вЂ” 2а(Л) р„(Л) = — 26, для которого известно общее решение х р„(Л) = — ехр 2 — с/х С вЂ” 2б ехр — 2 — с/х с/у х г Здесь постоянная Сопределяется из условия нормировки, а поток Сг находится из граничных условий. В качестве нижнего предела 135 а (т, р)= — ~-Ь(г, Х); ча(с, Х) ' + — ' ! Г 1 д~ф(Х, !) дФ(Х, !) дФ(Х, с) 1 и ч>(и) ~3 ' дх' ' дх д! Ь„(т, р)= —,Ь(О к) (3.4.42) !36 интегрирования 3с' можно взять любую точку интервала, в котором определен процесс Х(!). При нулевых граничных условиях для потока (6=0) уравнение упро!цается; сЬ(х)Р ~ (2 Ц/!1Х вЂ” 2а(Х)р„(х)= О Общее решение этого уравнения дается выражением С )' ~Ь() (3.4.38) где постоянная С определяется из условия нормировки (30).
Этой формулой часто пользуются при решении конкретных задач. К сожалению, получение нестационарного решения уравнения (29) является довольно сложной задачей и возможно ли!пь в некоторых частных случаях. Можно указать шесть часто применяемых методов [4]: 1) разделение переменных; 2) преобразование Лапласа; 3)метод характеристической функции; 4) замена независимых переменных; 5) приближенный метод гауссовского приближения и 6) численные методы. Изложим здесь кратко 4-й и 5-й методы.
Метод замены независимых переменных. Заменой независимых переменных в ряде случаев удается существенно упростить уравнение ФПК (29). Перейдем в нем от независимых переменных г и Х к новым переменным т и р путем взаимно однозначного преобразования =!Р(!), Н=ф(3., г), (3.4.39) где ср(г) — непрерывная и нигде не убывающая функция; ф(Х, !) относительно ! произвольна, а по Х допускает непрерывную производную, При этом Р(б Х) =Р, (Д Х)=Р„(т, Р) (дф(Х, гт(дЬ4. (3.4.40) В результате перехода к новым переменным для п.в. Р„(т, р) получим уравнение, аналогичное (29): д2 [ок(т, Р)Ря1+- —, ~Ь„(т Н)РД. (3.4.41) Здесь коэффициенты сноса а„(т, р) и диффузии Ь„(т, р) определяются равенствами где Х и ! в правых частях написанных формул предполага!отса выраженными через р и т.
В зависимости от конкретного вида коэффициентов а (д Х) и Ь(б Х) путем подбора соотвегствующих преобразований (39) можно получить разные упрощения. Пусть, например, процесс 1(!) однороден по времени: г!(и Х)ч-а(Х), Ь(!, Х)=! (Х). 11оло7«им т=-г, р=ф(Х). (3,4.43) В данном случае коэффициенты а„и Ь„как функции старой переменной имеют вид . к Р,) = Р.) ф Р)+(1!2) Ь(3)ф" (3), Ь„(3.) =Ь Р.) (ф'(Л)1'. (3.4.44) Из первого равенства !44! след ет, что если нужно !юлучигь процесс с нулевым коэффициентом сноса а„(Х)ив ч О, !о преобразование (43) должно бысть таким, чтобы выполнялось соотношение Х !~'!Ц=Ф' (1.)=-ехр — ' — -'- а'Х'! т, Выбирая Ф'(к) = Ф', (Х) = Ь пз (3,), а1лучаек! процесс р(г) с единичным коэффпциснчом диффузии !!к (й) =! .
В неко)орых случаях оказывается полезной замена самой исходной функции, !. е. переход в уравнении !29) от Р [г, Х.) к другой функции, например:(и Х)=!пр(п х). Гауссовское приближение, В некоторых задачах па основании физических соображений можно заранее ожидать определепцый впд п. в, Р(!, Х). Так, если коэффициенты сноса и диффузии имеют вид в(3)=э!.+ !х Ь(1)= — Ь=-сопк!, э. Н=сопк!. !3 4 45) !очным !7ешш!ием уравнения !29) для пеогрш!нченно!о сгр;шства является нормалыгая п. в. Р(!, Х) =-(2«0.,) пзехр , '— ) 2 — вй (!))-'1223, (!),'.
(3.4.461 Она определяется двумя параметрами: м.о. ьч (!) и дисперсиеи 17.,(!). Исходя из этого иног.да применкпот следующий приближенный способ решения (так называемое гауссовское приближение). В простейшем варианте это!о способа коэффициенты а(Х) н Ь(Х) разлагают в ряд Тейлора в окрестности точки т, и ограничива- ются первыми членами разложения; п(1.) = п(>п!)+ с!'(и!т) й — и> ), Ь(Х) = Ь (т,). (3.4.42) !37 Подставив выражения (46) и (47) в уравнение (29) и приравняв члены при одинаковых степенях разности ()о — т„), получим систему нз двух обыкновенных дифференциальных уравнений йт,7йг=а(тк), йР-,7й1=2Р а'(тк)+1«(тк). (3.4.48) Начальные значения «л,(«о) н Р„(го), необходимые для решения системы, легко вычисляются по заданной начальной п.в.
р(!о, )о)= =р(Х). Найдя т (г) н Р,(г) из этой системы и подставив в (46), получим решение (29) в гауссовском приближении. Отме~им, что описанное гауссовское приближение следует рассматривать как один из приемов, позволяющих получить из основного сложного дифференциального уравнения в частных производных (29) систему из двух сравнительно простых обыкновенных дифференциальных уравнений (48). Разумеется, что вместо гауссовской п.в.
(46) можно задаваться и другими видами п.в., соответствующих ожидаемому физическому результату. 5. Общий путь анализа систем. Обычно поведение моделей динамических систем описывается дифференциальными уравнениями (с указанием начальных и граничных условий) или функциональными соотношениями.
При применении аппарата теории марковских процессов для анализа поведения системы необходимо выполнить последовательно следующие этапы: 1) проверить, является ли рассматриваемый процесс 7«(!) марковским согласно основному определению (4). Во многих случаях ответ на этот вопрос дает теорема Дуба Я 3.7).
В тех же случаях, которые не охватываются этой теоремой, требуется самостоятельное рассмотрение. В радиотехнических задачах часто встречаются задержанные во времени процессы вида Х(! — т(г)), где т(г) — временное запаздывание (например, принимаемого сигнала относительно переданного).
Если процесс 2. (7) марковский, то процесс Х(! — т), где т — с.в. илн марковский процесс, удовлетворяющий условию ф — т(!)))й1=! — йт(!'уй! >О, сам по себе не булет марковским'. Марковским будет двухкомпонентный процесс ()о(г), т(г)). Аналогичное положение имеет место для процесса Х(г), представляющего собой сумму или произведение двух марковских процессов Х«(г~ и ) (!). При вырожденных безынерционных нелинеиных йреобразованиях марковского процесса 7«(г) преобразованный процесс р(г) в общем случае оказывается немарковским. В частности, в результате квантования марковского процесса Цг) по уровням (например, !«(г)=яйп 1(г)) сам по себе процесс р(г) будет не марковским. Однако марковским будет двухкомпонентный процесс ()о(г), р(г)); 2) если рассматриваемый процесс Х(!) марковский, то для него по формулам (22), (23) нужно вычислить коэффицненгы сноса и диффузии а(0 ).) н Ь(ц ),); 3) нужно записать уравнение ФПК (29) и указать соответствую«цне начальные и граничные условия для п.в.
р(ц ).); 4) отыскивать точное или приближенное решение уравнения (29) тем или иным методом. Проиллюстрируем изложенную методику рассмотрением трех простых частных примеров. 3.5. ГАУССОВСКО-МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 1. Постоянная величина. Пусть й).'!й! =О, р(1ш Х) =8() — Хо). Для такого тривиального примера 7 =). =сопят, а(О ),)=О, Ь(0 а)= =0 и р(0 ))=о(х — )«). Постоянную величину можно трактовать как марковский процесс с коэффициентами сноса и диффузии, равными нулю. 2. Процесс Винера. Виивровский процесс о(!) определяется через БГШ л(г) с помощью стохастического (см.
9 3.6) дифференциального уравнения йо,«й1=л(1). о(О)=0, (3.5.1) где л (1) — гауссовский стационарный процесс с нулевым м. о. и дельтообразной корреляционной функцией М(л(«)) =О, Я„(г,— 1,)=(А««2)8(гт — г,). (3.5.2) Уравнение (1) можно интерпретировать и иначе: как определение БГШ через винеровский процесс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
