Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Такой вывод имеет общий характер: решения стохастических дифференциальных уравнений, получаемые с помощью методов, обычных для дифференциальных уравнений, соответствуют их пониманию в смысле Страсоиовича. Физически зто объясняется тем, 'по БГШ л(с] в стохастичсском интеграле (дифференциальном уравнении) Стратоновнча можно трактовать как гауссовский стационарный процесс я[с) с нулевым м. о. и корреляционной функцией й[т), имен>шей очень малый интервал корреляции т„по сравнению с постоянной времеви системы т,[т„.же,).
Результат воздействия такого коррслированного (очень широкополосного> процесса й(с) на систему будет практически таким жс, как и при воздействии белого шума л(с), если заменить й(т) на Лсб(т)12, т. е. положить Однлко замена белого шума л(с! на коррслированный процесс й[с) в уравнении (ЗЗ) позволяет рассматривать последнее как обычное дифференциальное уравнение. Проиллюстрируем это на нашем примере.
Представим формально корреляционную функцию широкополосного процесса й(с) а виде рй(рт), где безразмерный параметр ц характеризует широкополосность шума; ширина спектра процесса и соответственно его дисперсия стремятся к бесконечности при р со. Например, корреляционную функцию А[т)=дсЛс"ехр[ — ЛУ)т~) запишем в виде Я(т)=[сйсЛ[сехр[ — ОЛТс!т!), гле О=Л7)Лус; Л/,— полоса частот, соответствующая ц=! ауйуг=х(!)н(!), г,, -г<!,. !3 6.50) Решение его известно: а) Поступая, как и раисе.
получаем 1.(!)=).,ехр(!1(!) — 0(!с)). 0(!)=-) !1(т)!!т. о (3.6.5П йш М(ЛЛ!!)=(9)г))г,.— г,,), Х,.„=ф,(Х,)48,().,) л„ В итоге получим 159 !58 Запишем уравнение 133) на каком-либо подынтсрвалс для данного случаи: Процесс б(!) при р ю становится винеровским и решение (51) стремится к решению (39). Действительно, найдем, например, дисперсию приращения процесса за некоторое время Т: М((гт(г4Т) — гз(!)3! ) —— )( М(л(т!)л(т!))г!тзг)тз= Ц рй(р(т! — т!))г)т!!!тг= т гт (т) 5 =Т 1 — — й(рт)1(цт)=Т ! — — К(з)Ух Т К(з)га при р со.
Т) ) (, рТ) -г . вт Последний результат совпадает с дисперсией приращения вииеровского процесса, если выполняется равенство (49). Для гауссовских процессов корреляционная функция и м. о. (в данном случае равно нулю) определяют п. в.
любого порядка. Поэтому приведенный результат означает сходимость процесса Н(!) к г(!) по распределению (в слабом смысле). Поэтому процесс Х(!), определенный (5!), сходится в этом же смысле к ь(!), определенному (39). Полученный результат носит общий характер. Обозначим через Х(!) сл. пр., заданный уравнением (46), н правой части которого вместо белого шума и(!) стоит гауссовский процесс л(!) с коррслядиониой функцией рл(рт) при ц оэ. Тогда процесс Х(!) скопится в слабом смысле к процессу Х(!), описываемому стохастическим дифференциальным уравнением 146) в смысле Стратоновича при интенсивности белого шума, определяемой формулой вида (49). Приведем решение Иго уравнения (33) с коррелированиым процессом й(!) в правой части.
Теперь процесс У(!) на каждом подынгервале описывается уравнением г1Х)гу! = Х(г! ! )!1(!), г!, < ! < !ь (3.6.52) !. с. Х(г,)=Х(г, !)(1З-Ло,), Лс,=!1(!) — 0(г;,). Рис. 3.11. Схемы, соответствующие уравнениим Стратоновича (а) и Иго (6) Это выражение полностью аналогично полученному выше при замене Лг! на Л!1,. Поскольку характеристики процессов а(!) н е(!) при В-э со совпадают, и в частности то останется справедливым и результат (43) Х (г) = Хо ех р (!7(г) — а (га ) — (Лг)4) (! — го ))- Следовательно, если интервал корреляции т„процесса л(!) стремится к нулю (р го), то процесс Х(г), заданный уравнением (33) и определяемый по Ито, сходится к решению (43).
Видно, что разница между уравнениями Стратоновича (50) и Иго 152) оказывается существенной нс только лля белого шуми л(!), но и для допредельного (не белого) коррслированного шума й(!). Применительно к рассматриваемому примеру уравнения (50) и (52) моделируются разнь!ми схемами (рис. 3.11). Уравненшо Стратоновича соотвс гсз вует обычная аналоговая система. Особенность схемы для уравнения Иго заключается в импульсном характере обратной связи, обеспечивающей перемножение входного процесса й(!) нс с теку!цим значением выходного процесса Х(!), а с задержанным Х(г! !) на один шаг Л=) г! — г!, ).
При этом средняя задсрхска Л должна бып больше интервала корреляции т„процесса й(!). Это условие бьшо использовано при выводе формулы (3.5.14), использованной в (43), гле предполагалась независимость приращений Лг! при разных Гели в схеме рис. 3.! 1, б уменьшать длину подьштервала ) г; — г;, )- О. а знач!гы и задержку Л, го эта схема станет практически эквивалентной схеме рис. 3.11, и и сумма 5„, опред9лсиная (3.5.14), буде~ стремиться к нулю.
Последний результат следует из !ого, что при !, — !,, <т„. м. о. приращения М (Ла!) становится порядка — (малые изменения процесса л(!) на подынтервале) и сумма (3.5.!4) стремится к нулю. Прн этом процесс будет определяться нс (43), а (39), (51). Отметим, что схемы типа рис. 3.11, 6 встречаются в радиотехнике. Это импульсные системы радиосвязи и радиолокации, если приближенно (при высокой частоте повторения импульсоа) описывать нх а непрерывном времени. Так, если система описывается нелинейным разностным уравнением где л; дискретный белый шум с дисперсией Р, то при малых Л=)г; †;.,), != 1, и!, се можно приближенно описать уравяением в непрерывном времени гг! Зху ( — 7., Ф~(г ) П, 17, — — — — — к;();) — '=1(г. х)чх(г. х)а(г).
гд Л Л (3.6.53) глс л (г) ьГШ сс снскз рзальной пдгн ностьш Л,"~ =-гз Л Прн тгом ураансннс (53! слслус1 поломать н смысас Иго Вмчнгднм козффнпчснты сноса и диффузии для ураннсння (ЗЗ). Прнняа 1.(г) за начальнос пгачспнс, лля прнпагнсння процесса Х(г) на ннтсранлс Лг нз обобщсннш о рсп1сння )4Х) нмссм Л(гз-Лг)- х(г)=Х(г) ',слр(Лгж(ч — О 5) !17гЛ12) — ! '„. Имен а аиду пос ыдушшнй продольный пароход к Лг О, прн послсдушшнх аычнглсннях лшжно аоспояьзоаагьгя прнб.покснным рласнстном схр.т- ! ! х„ ! к ! < !.
В разул ьз н гс получим л о(г„г) — йш . - з! ([Х(1ьЛг) — Х(г)))г (г)', =-с!.—, а 1Л' ! гу 1~ (Х. Г) = !ПН вЂ” М ((Х (Г-, Лг ) — Х (Г)) ) !. (Г)) =Мзз —. а -н Л' Видно, чзо козффнцнснт лнффузан нс заанснт оз с. т. с. он один н тот жс для формы Птратононнча н Иго, а козффнцнснты сноса разлнчны и раапы соотасгстнс~но а (Х)= 7.Л"4. о (Х) =О Попому урааньння ФПК оудут нмсзь разньш апл Решения нх дашзся выражениями (37) н )44) В заключение приведем физические соображения о соотношении между стохассическими уравнениями (интегралами) Стратоновича и Иго. В принципе математическую модель реальной физической системы можно описывать стохастическим дифференциальным уравнением, если минимальная постоянная времени систсл и т, значительно превьппаег интервал корреляции т, случайного широкополосного процесса, воздействующего на систему, т.
е, при выполнении неравенства та » т„. (3.б.55) Белый шум всегда является идеализацией решгьпых широкополосных процессов. Поэтому при выполнении условия (55) вопрос о том, в каком смысле следуе~ понимать стохастическое уравнение, должен решаться иа физическом уровне. Приведем некоторые рекомендации общего характера. 1. Пусть аналоговая система (без элементов задержки), на которую возле йствуе! гауссовский широкополосный процесс, описывается стохастическим дифференциальным уравнением в непрерывном времени, Эзо уравнение следует понимать в смысле Стратоновича.
7. Пусть система, на которую воздействует гауссовская дискретна!я шумован последовательность, описывается рекуррент- Гбб ным уравнением В дискреттюм времени. Допуст'им, что осуществлен формальный переход от дискретного описания к приближенному описанию системы в непрерывном времени. Здесь необходимо различать два случая. Если соседние значения воздействующей шумовой последовательности, отстоящие по времени на А, можно считать некоррелированными (Л>т„), то аналоговое стохастическое уравнение нужно понимать в смысле Иго. В противоположном случае, когда шумовые отсчеты сильно коррелированы (Л<т„), аналоговое стохастическое уравнение следует понимать в смысле Стратоновича.
3. Пусть в непрерывном времени рассматривается сисзелча с широкополосным шумом на входе (т„«т,), в контуре которой имеются элементы временной задержки. Часто такие задержки пренебрежимо малы по сравнению с постоянной времени системы (т, « т,) и их не учитывают в уравнении. Однако в подобных ситуациях необходимо учитывать соотношение между временной задержкой т, и интервалом корреляции т„входного шума. Если т,«т„то описание системы стохастйческим уравнением нужно понимать в смысле Стратоновича, а если т,»т,— в смысле Ито. Соотношение между т, и т„оказывается решающим и в других случаях.
Так, в первом случае т,=0, во втором т, = Л. 3.7. МНОГОМЕРНЫЕ МАРКОВСК1ЛЕ ПРОЦЕССЫ Предположим, что состояние модели системы описывается случайным вектором я(!)=(хг(г), ..., хят(!)) в м-мерном пространстве. Компонентами Зз(7) случайного вектора я.(г) могут быть координаты системы, или же часть из них представляют координаты системы, а остальные — скорости, ускорения и т. д. Векторный сл. пр. ) (7) определяется безусловными п.
в. р„„() о, ..., З.„; го„..., 7„), через которые могут быть выражены условные п. в. (и. в. перехода) 71()са~ Гя(~'я-1 Га — 1 " )Ь1 71 ~О )0) Р,(ка ' Х,-б га — 1,-Д (3.7.1) Многомерный марковский процесс определяется точно так же, как и одномерный (~ 3.4). Для этого нужно в формулах (3.4.1)...(3.4.10) формально заменить скалярную случайную функцию я.(!) векторной ) (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
