Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Общий поток в интервале Л) с разных уровней 2 ' будет определяться интегралом от этого выражения по всем возможным значениям )ь'. 8" ((,")'с=Л).Л( ) р((, 2.') и(Г, Х, )ь') с()ь'. (3.8.4) — и Подставим (3) и (4) в (2), поделим обе части равенства на ЛХЛ! и затем перейдем к пределу при Л(-+О. В результате для рассматриваемого скачкообразного процесса получим интегродифференциальное уравнение -'р((, ~)=д((, ~)р((, ).)+ ( р((, 3.')и((, 2., 2.) (2 . (3.8.5) Если рассматривать не только скачки, но и непрерывное изменение процесса 6.(!), то в правую часть равенства (2) нужно добавить поток из-за непрерывного изменения 6((, 2)Л)ьЛ(, где 6((, Х) определено вырахсением (3.4.32).
Следовательно, для разрывного марковского процесса )ь(() получим следующее интегродифференциальное уравнение: 167 )ар()У) прн 8=0. (08(х') >ри л, О, (3.8.6) !3.8.81 а при л--.О, 7(1, х)= ! прп 1.ИО. Подстащщ (8) и [5), получим (3.8.7) + ри().')и()., )ь')»)).'=О. 13.8 ')1 (3.8.!01 Введя обозначения (3,8.!!1 (3 8.!2) 8(л), из (121 получаем (3 8.13) рч(Х)=(О»а) с>8(Х) при л=О. Рч(Х)=(»О)гллс~.) пРи ).ЫО.
(3.8.141 т 01 - р(», Л) =- — д (», Л) р(», Х)+ 3» р (»„).') ц(1, Л, ).') 1)3.'— — -„- [а(1, л) р(1. 2.)1+„- — „', [(>(», Х)р(», л)1, Уравнения (5) н (6), определяющие одномерные п. в. соответственно скачкообразного и разрывного марковских процессов, называются уривпепиллги Колмогорова — - Феллера. Если начальная и. в.
задана в виде дельта-функции р(»о, Х)= =- б (). — 3. ), то уравнения (5), (6) определяют и. в. перехода. Когда коэффициенты уравнения (6) не зависят явно от времени и существует стационарная и. в. р„(Х), то для нее из (6) можно получить более простое уравнение, ноложлв др(», Х)»д»ьвО: ; —, [)> (Х) Р„(Х)1 — — [а (Х) Р„() )3 — »» ().) Р„Я+ Основное уравнение (6) может быть обобщено на многомерные разрывные марковские нропессы. Однако задача нахождения даже стационарного решения уравнения Колмогорова — Феллера вида (7), как правило, оказывается довольно сложной, а в более общих случаях и вообще аналитически неразрешимой'.
Пример 3.8.1. Импульсный ычриовсивй процесс'. Достаточно общей марковской молслью импульсной помехи может сяужить цослеловательность случайных импульсов (видсо илн ралио), заданная следующим образом (рис. 3.13). Если процесс л(1) находится в нулевом состоянии (л=О), то в течение малого промежутка времени (1, 1+Лг) он останется в этом состоявии с вероятностью 1 — аЛ» или с вероятностью аЛ 1 перейдет в новос случайное состояние Х', характеризуемое и. в.
»>(л'). если же процесс л(1) находится в любом состояяии лпО, то оц останется в прежнем состоянии с вероятностью 1 †((Лг или перейдет в нулевое состояние с вероятностью ((Лг. процесс )>(1) представляет собой последовательность прямоугольных импульсов со случайными взаимонсзависимыми ампли>удами, случайными длительностями импульсов и случайными интервалами между ними. Длительности импульсов и интервалы распределены по экспоненциальному закону с параметрами )( и а соответственно, а амплитуды импульсов имеют непрерывную п. в.
рл(л'): ' Брусеицов А. Г. и др. Методы анализа марковских моделей разрывных процсссовДРадиотехника и электроника.-- 1981.— т. 26, № 8.— С. 962 — 969.. - 'тихонов В. И., Ерюов Л. А. Оптимальная нелинейная фильтрация импульсного пропессаДРадиотехника и электроника. 1979.— Т. 24, № 3.— С. 551--556. Плопгость всроятцосги р(1, л) расом:привасмого сьачкообртнюго марковского процесса л(1) опрелсгщстся уравненном (5)„причем функции. входящие в (11, имеют ви,г Поскольку состояпче 1.—:О чвлясг- осгбо вылеза>гнь>м, го разобьем обл>сп* интегрирования в (5) пз лвс полоб;юсгч.
(О -Л, 0-> Л) и оставюуюся подобласть л. Очевидно, что сслп полынтеграчьнвя функпия ч>(х') нс содерхцп' лсльта->рункц>п> 6(л'), то л !пп ( С>(л')>»Х'=О. л-е -л О О1 -л л ~ар(1, !.) при л=О, где»(1, х)=( (((р(1, Х) Прн Х>л0. Определим и. в. в стационарном состоянии Для нсе нз (9> нмссм л »>лР.) ( Р„(Х)г»Х Ч-(18(Х)(»гч(Х')В'. — »ч(Х)=-О, л л )арл(Х) при Х=О. [1)р„(Ц при ХМО. ( рч()у)В.'=гл. (р„(Х')г»л'=-г>.
>лег, =1. -Ь л уравнение (10) можно перспищпь в с.>сдуюц»ем виде: ас>р (Х)Ч-()с,б(Ц вЂ” »;,(Х)=-О Пренебрегая значением рл(л) при л=О по сравнении> с Ос > 8 (л) — арч [1 ) = О п рн л = О. аг„р (Ц вЂ” Ор (Ц=О при Х ИО или Проинтегрировав (13) по л в окрестности пуля, а (14) — в оставщейся полобласти, с у>етом (11) найдем св=-М Ч-)3) = «'( -«И Подставив !!5) в !13) и !14). получим выра!кение лдя и. в. в стапионарном состоянии Р»(л)=(()«( +)3)) 8(л) ( «( +)3)) р (х). Можно показать, что ковариационная функпия стационарного определяется формулой !' ц \т( )3 к»(т)=«3» —.екР(-1))т!)+нгт( ! '1» — екР( — (о+1)))тД цч- )3 (,ц-«11,«( и где гн„=(кр (Х) ИХ; «3, =-((Л вЂ” гп!)тра(Л) ИХ.
(3.8.!5) процесса к(!) (3.8.16) процесса Х (г) (3.8.17) 3.9. СМЕШАННЫЕ ПРОЦЕССЫ Рассмотрим смешанный двухкомпоиентный сл. пр. «3.(«), О(«)), у которого одна компонента (л(«), -- непрерывна, а другая (О(«)) =Э,, «г =1,К -дискретна. В общем случае эти компоненты могут быть зависимыми и не марковскими. Тем не менее для вероятности перехода такого двухкомпонентногп пропесса можно получить уравнение типа ФПК (4).
Обозначим двумерну)о условную и. в. смешанного процесса через р.(Х «)Х, У) р()„«)Х)р(9(«) Э ~У). (3.9.1) Величина «з„()., «)Х, У) означает вероятность одновременного выполнения условия л(«) и ()ь, л+ т«л) и О(«) = Э„при некоторых дополнительных условиях Л и Х=)0(«)=Э,.; Х(«о), 0(«„)=Э,.), У=()(«о). 9(«о)=Э!) !'.« =1.К (3.9.2) Условие Х является более полным (ограничительным), чем условие У. При таком задании условий введем специальное обозначение совместной условной п. в.
рц()., «))о, «,)=р()., «~0(«)=-Э,.; Х(«,), 0(«о)=Э,.) х х Р(9(«)=Э«)л(«о), 0(«„)=Эг). (3.9.3) В общем случае эти условия могут включать в себя как различные связи между компонентами смешанного процесса и его предыдущими состояниями. так и зависимость данного процесса от других сл.
пр. и некоторых параметров. Согласно правилу полной вероятности для условной п. в. смешанного процесса рк(л, «+Л«)Х) можем написать соотношение к' р ()ь, «+Л«!Х)=( ') р()., «+Л«)).', «; Х)р(),', «!Х) х гк=! 170 р(Л.«+Л«$,«; Х)= Х (:1) (3.',«; Х) — и '8(Л' — )), (39,5) ги ' ' 83" ! де пт„(3.', «; Х)=М((Л(«+Л«) — Ц«)1" | Л', г; Х). (3.9.б) Сумму произведений вероятностей дискретной компоненты О(«), входяпгей в (4), можно представить в следующем ниде: ,')" Р )О(«+ Л«) =- Э, ~ 9(! ) = Эк: У ) Р (0(«) = Э! ) У ) = =Р',О( )=.Э,! У',+ ~ А„у(«; У)Р(0(«)=Э„! У). Здесь А 3(«; У)=Р)«0(«+Л«)=-3,~9(«)=Эк; У) — бц, !де бт)=1 при « =7', ЬМ=О при «ги'-/'. Подставив (5) и (7) в (4).
получим р,(Х, «+Л«)Х)=-рз(Л, «(Х)+ ,')„'--- — '-7(«и»(Х,«; Х)рф.,«~Х)]+ » — "! к + ~ А«и(«; У)р,(Л, «! Х). !3.9.9) (3.9.8) где «коэффициенты» т» и А)ц определяются соответс! веннп форччулами (б) и (8). Предполагая существование предела, при Л«- 0 получаем обобщение уравнения (3.4.19) на смешанный прпцегхч -„-р«(3., «(Х)= ) ( — -- —.'' (К»(л, «; Х)р,()ь, «1Х)3+ =1 + Ха!у(«; У)рк(3., М (3.9.10) к=! Коэффициенты этого уравнения определяются по формулам !71, х Р ) 9(«+ Л «) =- Э,)0 («) == Э,.; У г Р ', 0«г«) =-- Э, ) У )г сГа'. (3.9.4) Написанное соотношение можно рассматривать как обобщение уравнения Маркова (3.4.8).
Аналогично тому, как зто было сделано в ", 3.4. и. 2, птгедставив р(). «+Л«~ л', «; Х) в виде преобразования Фурье от характеристической функции. разложив под знаком интеграла характеристическую функцию в ряд Тейлора и почленно проинтег рировав, получим выражение вида (3.4.18) к„().,г; х)= 1пп — м([л(1+лг) — Цг)3"!),1; х,', (3.9.11) ас,(П У)= йпз — [Р(0(1 РЛ1)=97!О(г)=9,: У1 — 01,3. (3.9.!2) Отметим, что предел при Л1 — 0 можно брать справа или слева.
В том случае, когда Л1 — 0+ (предел справа), получается прямое уравнение, а при Л1- 0 (предел слева) ††обра. В дальнейшем везде используется прямое уравнение. Выбирая в основном уравнении (10) соответствующим образом условия Х и У, можно получить различные частные случаи, например уравнение для п. в.
перехода смешанного марковского процесса, у которого компоненты не являются марковскими. Рассматривая независимые компоненты, можно получить уравнения для условных и. в. и вероятностей немарковских процессов. Рассмотрим последний случай Для независимости компонент рассматриваемого двумерного процесса нужно допустить, что взаимонезависимы как сами компоненты (7) и (О), так и условия Х и У. В этом случае сомножнтелн в правой части (1) будут независимыми, Подставив (1) в (10) и разделив результат на р()., г/Х)Р(0(1)=3,/У), после элементарных преобразований получим 1 —.
р (7., 1 ! Х) — 2 — —. „„-, [К„(2„1; Х)р (Л, 1 ! Л )3 (р ' ()., 1 ! Х) = к — — „Р (0(1) = Э,. ! У ) + '> а17(1: У) Р (0(Г ) = 91! У ) х х(Р(0(г) = 9, ! 1")) ' =сопя!. (3.9.1 3) Так как равенство (!3) должно выполняться при произвольных л и О„то правая и левая части его для сохранения условия нормировки должш1 быль тождественно равны нулю. Следовательно, д м —," р(), г(Х)= 2 —,'-„-[К„()с, П Х)р(л,1!Х)3, (3.9.14) и= 1 17 к — Р (0(г ) = Э; ! У) = „'1„а17(1; У ) Р (0(г ) = 91 ! У ). (3.9. 15) Если условия Х н У имеют сложный вид, например в Л' входит значение 0(Р) в предшествующий момент времени Р с О а в У входит значение 7,(1'), т.о процессы л(1) и 0(1) в отдельности будут немарковскими, хотя написанные уравнения, похожие на уравнения для марковских процессов, останутся в силе.
Полагая в (!4) Х =(Х, 1 ), придем к известному уравнению (3.4.19) для непрерывного процесса ).(1). Если непрерывный процесс л(г) является марковским, то коэффициенты К„не 177 (3.9.! Э) где К„з = йп — М ( [Ц1+ Л1) — ) (1))" ! 0(1+ Лг ) = 37); Ц1), 0(1) = 91); (3.9.2! ) ак,=!пп --[Р(0(1+Л1)=37!л(г), 0(1)=9 ) — Ь1,3.
(3.922) Ранее было показано (см. (3.4.24) и (3.4.29)), что формулы вида (16) и (!7) остаются в силе не только для вероятностей перехода, но и для абсолютных (безусловных) вероятностей состояний. Аналогичный результат справедлив и для смешанного 173 зависят от Х и, кроме того, коэффициентами К„при и >3 в диффузионном случае пренебрегаютс При этих условиях с уче- том обозначений (3.4.2), (3.4.22) и (3,4.23) уравнение (14) переходит в уравнение ФПК (3.4.24): да(), 1! 7«, 1«)11дг= — д [а (л, 1)к3!д Х+(172)дз[Ь(л, 1)к31д ).'. (3 9.! 6) Если У = 110(Г ) = 9, ), то дискретный процесс 0(г ) является марковским.
Введя обозначение кц(1, г) = Р (0(1) = 97 ! 0(1 ) =-Э;,' и учтя независимость коэффициентов а„от У, получим уравнение (3.3.9) для дискретного процесса О(1): ""(.'"')= Х сн(),.(., ) (3.9,17) гс 1=1 В данном случае величина асз(1)Л1 равна вероятности перехода дискретного процесса О(1) за малое время Л! из состояния 0=3, в состояние 0=97 при 1с ~7', причем к а11(1)= —,> а,,(1), Когда обе компонеты )с(1) и 0(1) являются по отдельносги марковскими процессами, но не обязательно независимыми, коэффициенты а„могут также зависеть от «возраста» л, При этом основное уравнение (10) можно записать в виде сзр7(7,1! лс» 1е)1дг = — д [К1(л, г; Х)р.)70 Х+(112)д '[К,(Х,1: Х) х х р,3(сз).1+ 2 а,,()„1; 1')р, 7'=1,К (3.9.19) 1=1 Применительно к условной совместной п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
