Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В многомерном случае -элемент п. в. перехода я(Х, !)) ', !')г)Х характеризует вероятность перехода из точки )ь'=(Х1„..., Хм) в область 7+1()ь=(Х1+д1Х„....)ам+11)м) за промежуток времени ! — Р>0. Повторив рассуждения Р) 3.4, можно убедиться, что одномерная п. в. р(б Х) и и. в. перехода п(я., !) З.о, )о) многомерного б — 2247 !6! диффузионного марковского процесса Л (1) удовлетворяют прямому и обратному уравнениям Колмогорова. Применительно к п. в.
р(1, «.) прямое уравнение (многомерное уравнение ФПК) имеет вид дР(1, Х)1'с»1= Е (Р (1, Х)), (3.7.2) !! Е (р(1, «.)) = — ~ — [а,(1, Л) р(1, Х)~+ ;=»ЬЛ +-,' „'»„„', [Ьп(1, «.)р(1, Л)). (3.7.3) »,»=1 ! ! Коэффициенты а,-(1, «) и Ьп(1, «) этого уравнения определяются формулами (3.7.4) 162 а,.(1, Х)= 1пп — М ([Х,(1+Л») — Х,.(1)~(«.(1)=Ц, 1 6! О»з» Ь!»(1, «)= 1пп — М ([Х,(1+Л») — «,(»Ц х 1 »,Л» х [«»(1+л») — Х»(»п ~ Л(1) — — Х). Можно показать, что если Л(1) — М-компонентный марковский сл. пр., имеющий почти все траектории непрерывными и удов- летворяющий условию (4), где а! (1, Ц и Ьц(1, Х) — функции непрерывные вместе со своими производными, и квадратичная форма 2„Ь, (1, Л) хсх -- неотрицательно определенная, то для процесса л(1) существует и.
в. р(1, Л), удовлетворяющая уравнению (2). Марковские процессы, для которых выполнены указанные условия, называются диффузионными. Естественно, что формулировка граничных условий и решение уравнения (2) являются существенно более сложными задачами, чем в одномерном случае. Обширный класс сл, пр., которые являются марковскими диффузионными, определяет следующая теорема Дж. Дуба. Пусть векторный сл. пр. Л(1)=(Л! (1), ..., Хм(1)) задан системой обобщен- ных стохастических дифференциальных уравнений с(Х,.(1)=7,.(1, Л) »11+ 2 8л(1, Х) »7„о„(1), Х(1 )=Ци »=1, М, (3.7.5) с=! где7, (», Х) и 8»! (1, Х) — непрерывно дифференцируемые детерминиро- ванные функции, удовлетворяющие условию Липшица; о, (1) — независимые винеровские процессы с известными характеристиками М(о,(1))=0, М([ос(»!)-ос(1,)3 [о (1,)-н (1,)3)= =8»,Ь»! ~»з — 1, (»!2, lс,у'=1, »«Х, б,с-- символ Кронеккера.
Тогда многомерный сл. пр. «с(1) является марковским лиффузионным. Формальное доказательство этой теоремы полностью аналогично одномерному случаю, приведенному в э 3.6. Заметим, что задание характеристик (6) эквивалентно заданию вектора БГШ с нулевым м. о. и корреляционными функциями (О lсзс/, »с, 1'=1, М. Повторив рассуждения, использованные при выводе (3.6.24) и (3.6.26), можно показать, что локальные характеристики многомерного диффузионного процесса «с(1), заданного обобщенным стохастическим лифференциальным уравнением (5), определяются формулами и и а,.(1, «)=(;(1, 3.)+и,!„',> '8,с(1, Ц 8,.„(1, «.), , 2 1 ' сз«! м Ьо(1, Л)=- "„„»1»„8я(1, Л)8гк(1, Л). (3,7.7) с=! При !»=0 и и=0,5 из (5) и (7) получаем запись стохастического дифференциального уравнения соответственно в форме Иго и в форме Стратоновича, а также соответствующие им выражения коэффициентов сноса ас(1, «.) и диффузии Ьп(1, «.).
Подстановка их в (2) дает аналитическую запись уравнейия ФПК. В прикладных задачах часто встречаются два частных случая: 1) модель динамической системы описывается стохастическим лифференциальным уравнением, содержащим производные от Х(1) по времени высокого порядка; 2) модель описывается системой линейных сгохастических дифференциальных уравнений. Допустим, что дифференциальное уравнение разрешено о гносительно старшей производной и имеет вид «" (1)=»7 «(й!=р(1, Л, «с', ..., Х! ", н(1)).
(3.7.8) амены переменных Л Л!, «! «! «! — « -! УРавнение (8) сводится к частному вилу системы (5) из»п уравнений первого порядка, и, следовательно, анализ модели (8) может быть выполнен с помощью теории марковских процессов. Пусть векторный сл. пр.
Л(1)=(Х! (1), Х! (1), ..., Х (1)) задан системой линейных стохастическйх дифференциальных уравнений — — 2 а,сЛ„+и,. (1), !'= 1, нс. (3.7.9) а! Здесь ас„— постоянные коэффициенты, не зависящие от Х, и времени; лс(1) — БГШ с нулевым м. о. и корреляционными функциями 163 М (и, (1,) пу(гз)) =()12) Я!1.,/Й!Л~1 б(1з — 1,), др Идх дФ, дф — = — — = — - 1'-à — Кп (Г). г1г дк дг ЫХ г1Х (3.7. 12) Согласно (3.6.26) для симмстризованного уравнения (12) получаем выражения для коэффициентов сноса и диффузии процесса Н(г): ' Стратоиович Р.
Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике.-- Мэ Сов. радио, 1961,--558 с. Ло=! пРи г=1. (3.7.)0) В данном случае решение задачи нахождения п. в, р (1, 3.) упрощает.ся. Так как сл. пр. )с (1) будет гауссовским, то п. в. р(1, 3.) является нормальной и для ее фактического определения нужно лишь найти м. о.
щ(1)=М(3.(1)) и матрицу дисперсий 0=М (Р(1)-щ(1Н Р (1)-щ(1Ф Эта задача решается сравнительно просто (4). Можно доказать следующие утверждения'. Гауссовско-марковские сл. пр. имеют рациональную спектральную плотность и, наоборот, всякий гауссовский сл. пр. с рациональной спектральной плотностью может быть представлен в виде многомерного марковского диффузионного процесса. Отсюда следует, что описание любой линейной системы с рациональной ампли~удночастотной характеристикой, на вход которой воздействует БГШ, надлежащей заменой переменных можно свести к системе стохастических линейных дифференциальных уравнений типа (9), т.
е. процесс на выходе такой системы будет марковским диффузионным. Приведенный результат важен с принципиальной точки зрения. Спектральную плотность реального процесса всегда можно аппроксимировать с той или иной точностью рациональной функцией частоты. Следовательно, реальный (даже строго немарковский) гауссовский сл. пр. приближенно можно представить в виде марковского процесса. В заключение укажем способ замены независимой переменной в уравнении ФПК вЂ” методически более простой и несколько отличаюьцийся от примененного при замене (3.4.39), начав с одномерно~ о случая Пусть нужно найти п. в.
Н„(6 Н) для переменной н(!)=ф(х(г)), (3.7.1 1) где ф(Х) непрерывная и взаимно однозначная функция. а уравнение ФПК (3.4.29) задано для и. в. р(г, х)=рг(г, Х). Известно, что л. в. связаны соотношением р (' н)5р ('х))дф(Ц(дх1 ' х=ф (н). Дггффереггцируя (11) по времени и подставляя (3.6,1), имеем (ар~ умснты функций опущены) дф 1 а„(г, Н) = — 1-1- — -.— Ь„(г, Н). Л.' 4 йн Ь ( Н) '~ Ф Хг Ыг 1э( Л) Но Поэтому дзф дф ! дгф а (г, Ц= — 74 — — -1-- — ь=а — ч- — ь —. — 211г Х 2 Хг Таким образом, при замеяе переменной (11) коэффициенты сноса и диффузии пересчить|ваются по формулам а (г, н)=а(г, Ц ч--Ь(г, "ь) дф(Х) 1 Ы'ф(Х) а'Х 2 ' Лз (3.7.! 3) Ь (г, Н)=-Ь(г, 'ь) (дф(Х)1дк)' при 1=ф '(Н). :зги формулы следуют из (3.4.42) как частный случай.
Полученные коэффициенты сноса и лиффузии полностью определяют уравнение ФПК для р„(г, Н). В некоторых случаях заменой переменной улается нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение свести к линейному. Например, нелинейное уравнение типа Бернулли г1Цг1г=их — ТХг(г)л(г), 1г) 2„ заменой переменной х=р'л' "' преобразуется в линейное уравнение АН)дгч-п(й — 1)=7(й — !) л(г). Если векторный процесс 3. (1) подвергается взаимно однозначному преобразованию Н,(!)=ф,(г, Х), 1=1, Ы, (3.7.14) то с учетом (5) можно показать, что для компонент а„, вектора сноса а,(г, р) справедливо выражение дф,(г, Х) дзу,.(г, Ц ! " дг~ь(г, Л) аы(г, р)= 2; а„(г, Ц '.
— е- ' -г- 2 Ьп(г, Ц вЂ” ' ', (3.7.!5) дЦ д! 2... ' дхгдЦ а элементы матрицы Ь„(г, р) коэффициентов диффузии равны (3.7.16) г,м1 г при Н =ф (г ь) Пример 3.7.1. Переход от прямоугольных координат к полярным. Пусть процесс Х=(тм Х,) задан стохастичсскими дифференциальными уравнениями АХс(с(С = — п2, О и, (С), С= 1, 2, (3.7.171 х(62 где л, (с) н «,(с) .- нсзавнснмыс БГ!Н с одинаковой одпостороянсй спектральной плотностью ((; с., (с) н Хз(с)- нсзавпсимыс гауссовско-марковские пропсссьс В данном случае коэффициенты сноса н лиффузни равны л(с) а,.(с, Х)=а,(Х)= — пуч Ь, (с. Х).=(с, .=-) ( О. (Ф!.
Введем новыс псрсменныс р=-ссл, ср,'. А--н, (с, х)==(х"-,ч х()'сс, о — 2с,(с, х)=с ссв(э,нсх,) Из (15) н (161 получаем а„(с, р)=-ссл(А)=. — а44-(дс(4А), ая(с, р)=-О, !3.7.101 (3.7.192 Ь„„ (с, р) = Ьс(2, Ь (с, р)= Ьс(24 з, Ь (с, р) = О. Г!ри .стом стохастичсские уравнения для А н ср имеют вид АЛ(с(С= — пЛ 4-дс(4л.нас(С), Ляз(ЛС=с1„(С)(А, (3.7.20) где лл (с) и сс (с)-- независимые ВГГД с олноссоронней спектральной плотностью сУ: пл (!)=Пс (с)СОБчзч нс(с)х1лсу, сс (с)=а| (с)Я!лсй — ссз (с)соассъ. Согласно (!9) н зеореме Дуба процесс А (з) сам по себе является марковским.
Иа основании (3.4,30) его стаююнарная п. в. являетгя рзлеевской: Ря (Л ) =(Л(П) Р ( — Л ГВП), П = ЛС(4 4, Л З.О. (3.7.2!2 3.8. РАЗРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Рассмотрим одномерный непрерывный марковский процесс со скачками и получим уравнение длч и. в., аналогичное урав- нению ФПК для диффузионных марковских процессов, Начнем с простейшего случая — чисто разрывщзго (скачкооб- разного) процесса. Пусть поведение модели описывается следу- ющей схемой. За малый проыезкуток времени ((, (+Л!) сл.
пр. Х(!) с вероятностью ! — с(((, Х) Л! сохраняес прежнее зна Гение и с вероятностью и((, 3.„2 ') Л(ЛХ' переходит нз ) в )", где 2'<2 ч<Х'+ЛХ'. При этом, естественно, предполагается, что я )' и((, Х, )У)г(Х=-с(((, Х), так как сумма вероятностей сохранения и смены состояния должна равняться единице. Рассматрнвчемый процесс будет марковским.
Чтобы получись уравпешю для и. в. р((, 2), воспользуемся законом сохрпссснизс ве)зосгтлсостп (3.4..з4). записав его несколько исппсе: (р((+Л!. зт) — р((, л) ! Л(.=-Л' (с, л)-,, !', 2), (3.8.2) 166 Рис. 3.12. К вычислению по- Рис. 3.13. Импульсный процесс тока вероятности где я ((, Х) и я ((, 2) †приходящ и уходящий потоки изображающих точек в элементе фазового пространства Л) за малый промежуток времени Л!. Запишем выражения для этих потоков.
Вероятность того, что изображающая точка находится в интервале ЛХ, равна р(с, Х) Л), а вероятность того, что она выйдет из этого интервала за время Л(, равна сс((, сь)Л! (рис. 3.12). Поэтому (Г, Х)=8((, Х) р((, ~.) Л(ЛХ. (3.8.3) Выражение для потока д~ (Г, Х) получим на основании следующих рассуждений. Вероятность того, что изображающая точка находится в каком-либо малом интервале Л) ' (рис. 3.12), равна р((, сь')Л).', а вероятность ее перехода в интервал Л) за малый промежуток времени Л! равна и((, Х, сь')Л(Л(.. Поэтому поток вероятности за малое время Л ! в интервале Лл. из произвольно взятого элементарного интервала Л) ' равен Л).Л(р ((, )ь') и ((, л., (ь') Л)ь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
