Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 33
Текст из файла (страница 33)
в., определенной равенством (3), уравнение (19) примет следующий конкретный вид: дрц(Л, г ! ).„, 1„)707 = — д [Кснрп(Л, 1 ! )е, 1„)фд Х+ к +(1/2)д~[К,Р„(л,!!Ха,г Ц7дл'+ ,'1 азр1,(л,г!)«»1„), (3920) марковского процесса !«7.(«). 0(«)!«. Поясним его вывод следу- ющими рассуждениями. Отметим, что согласно (12) вероятность сохранения состояния 0=9«прн заданном 7.
в течение малого интервала времени Л« приближенно равна Р~(0(«+Л«)=9«~0(«)=9«съ1+ал(2с, «)Л«. По- этому суммарная вероят«!ость перехода за г««г«из состояния 0=9« в любое другое возможное состояние О=Э, 1 — (!+ад(7с, «)Л«1= — ал(7, «)Л«. Фазовое пространство рассматриваемого двухкомпонентного марковского процесса схематически можно представить в виде К прямых, соотвезствующих разным допустимым значениям дискретного процесса 0(«).
Выделим на прямой, соответствующей О=Э, малый интервал Л7. приращение вероятности за малое время Л«на элементарном интервале Лу. равно сумме двух слагаемых: 1) потока вероятности (67(2., «) — 6«(2.+Л7с, «)) из-за непрерывного движения при условии отсутствия скачка и 2) разности приходящей и уходящей веро- ятности из-за скачков. Запишем эту разность. Обозначим через р,.(1с, «) Л1. вероятность нахождения изобража- ющей точки на прямой О=Э, в элементарном ичтервале Л1с. На этот интервал возможны скачки с различных прямых 0=9, lс ,-ьу.
По закону умножения вероятностей вероятность, поступающая на вьщелепный элемент Л7с из-за скачков с какой-либо прямой Э„, равна произведению вероятности р„(2., «)Л7 нахождения изобража- ющей точки в соответствующем элементе длины Л1с прямой 9, на вероятность а„«(Х, «)Л«скачка Э„-+ 9«. Поэтому суммарная вероят- ность. поступающая со всех прямых Э„, ЙФ«, очевидно, Л7сЛ«~ а!«(х, «)рс(7, «). По тем же соображениям вероятность.
убывающач с выделенного элемента Л«, на прямой Эл равна — а«7(г.,«)Л«р,(7с„«)Л7с. Воспользовавшись законом сохране««ия вероятности (3.4.34), можем написать ~1«7(7с, «+ Л «) — Р (Х. «) )Л7 =- г67(х, «) — 6;(х+ Л«., «) ) Л «х х(1 — ал(~.,«)Л«)+Л7.Л«2' а.,(1,, «)Рс(7.. «)— ! =- ! а -а! — ~ — с««7(7., «) р«(х, «ЯЛ7 Л«, Поделив обе части этого равенства на ЛлЛ«н переходя к пределу при Л«0, Л7- О, с учетом (3.4.32) получим ~р«(1с, «)= — —.
(а(2.. «)р«(«с, «)~+1 — ~ —, Ь(7.„«)р«(«., «)1+ !74 К + 2' ахз(7., «)р,(7., «). (3.9.23) г=! Если процессы 7.(«) и 0(«) независимы, то совместная вероятность равна произведению вероятностей каждо~о из процессов: рз(7., «) =р(«, 7.) р,(«), (3.9.24) где р(«, 7с) — одномерная п. в. процесса «.(«); р;(«) — вероятность состояния О=Э . Подставив (24) в (23) и разделив результат на р(«, 7.)р«(«), «юлучнм систему из двух самостоятельных уравнений, совпадающих с (3.4.29) и (3.4.24).
3.10. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ При моделировании непрерывных систем (входные и выходные процессы которых описываются в непрерывном времени) на ЭВМ берутся отсчеты процессов лишь в дискретные моменты времени. Широко применяемые на практике вычислительные устройства получаю~ и выдают данные о процессах также в дискретные моменты времени. В подобных случаях, сели даже исходная система непрерывна, в качестве ее модели удобно применять дискретную во времени.
Такая модель соответствуег существу вычислительного процесса на ЭВМ и часто упрощает исследование. Поэтому возникает задача корректного перехода в непрерывных системах к дискретному времени. Приведем методику решения такой задачи применительно к непрерывным динамическим системам марковского типа, поведение которых описывается стохастическими дифференциальными уравнениями.
Пусть на вход системы воздействует БГШ л(«), случайный марковский процесс "(«) на выходе системы является скалярным и определен стохастическим дифференциальным уравнением Ито «1~(«)=Т(«, ~(«))й+9(«,~~(«))с«„««(«), ~(0)=~а, 0<«<Т, (3.10.1) где Т(«, с) и д(«, с) -гладкие функции обоих аргументов, возрастающие на бесконечности не быстрее линейных: ф«, х)(г+ ~9(«, Х)!г<сг(1+ ~~(г) 0<с<со, причем это условие выполняется равномерно для всех О<«< Т. Ограничения, наложенные на коэффициенты уравнения (1), достаточны для существования и единственности решения г,(«) на отрезке (О, Т3. Стохастическому дифференциальному уравнению (1) эквивалентно интегральное представление «75 »»= >пах (М ! (с,— «„)з ! «о )) "з, 1=>' -л в которой ня>!>»з!ып,»е условия точного и приближенного решений совпала!от («„==«о). 3;пп!шехч ныйажснис (2) дли малого подынтеРвала (1„, Г„ь,).
У пя гладкость функций /(Г, «) и 8(Г, «), получим разностную схему Эйлера 5>«+/(л>)л+8(чл«)ло (3.10.6) ! 7Г> (3.10.5) ЦГ)=«(Го)+ (/(х, «(. )) Г/»+ )а(», «(»)) Г/о (. ). (3.10.2) 'о 'о Стохасгическое дифференциальное уран!Гение в форме Стразоновичн, эквивалентное (1), имеет вид Г/«=(/(Г, «(!)) — (1/2)я',.(Г, «(Г))д(г, «(Г)ЯГй+ и 8(Е, «(!))Г/о.»н «(0)=«о (3.10.3) где 8!(г, «)=д8(1, се),й/«. Здесь эквивалентность понимается в том смысле, что уравнения (1) и (3) при одинаковых начальных условиях дают одинаковые решения.
Уравнению (3) эквивалентно интегральное представление «(!)=«(Го)+ ) И», «(»)) — '8((», «(»))8(! «(»))1 /+ 'о + (8(':, «(»)) Г/о чо(»), (3.10.4) 'о где последний инте! рал справа нух»но вычислять в симметризованном виде. Итак, пусть поведение рассматриваемой непрерывной системы описывается ин.»егральными выражениями (2) или (4), что эквивалентно заданию стохасгических дифференциальных уравнений' (1) или (3).
Перейдем в них от непрерыиного времени к дискретному. Для этого отрезок (О, Т| разобьем и эквидистянтно расположенными точками Г„=-»Л, где Л= Т/и — шаг дискретизации по времени, ч=-0„1, ..., и. С помощью разностной схемы видя «т „=- «г+ Ч„(«„, Л, Лр„) при заданном начальном условии «о = «(О) по значениям приращений винеровского процесса Лр„=! (Г„ь!) — о(Г„) нужно получить оценочные значения «т, близкие в каком-либо смысле к точному решению «„=«(Г„).
Наиболее часто близость «„и «, характеризуют средней квадратической погрешностью гг, определяемой формулой в общем случае обладающую среднеквадратической погрешностью »7=0( ГГЛ) !. Согласно (4) имеем «„ч ! =«,+ ~/(чЛ, «,) — (1/2)8~(чЛ, «„)8(чЛ, «„))Л+ +а(чЛ+Л/2, «„+Л«/2)Ло+о(Л). (3.10.7) Разложим функцию 8(чЛ+Л/2, «„+Л«/2) в степенной ряд в точке чЛ, «„) и пренебрежем членами, порядок которых выше о(Л). огда (7) примет вид «„+з- — «„+( /(чЛ, «„)-(1/2)8~(чЛ, «„)д(чЛ, «„)3Л+ +8(чЛ, «„)Ло+8!(чЛ, «„)(Л«/2)Ло+о(Л).
Подставив в правую часть значение Л«=«„ч! — «, из (6), придем к формуле «„= «„+/ (чЛ, «„) Л+8 (чЛ, «) ЛО+ +(1/2)д((чЛ «')а(чЛ «)(Ло' — Л)+о(Л) (3.! 0.8) Это выражение можно трактовать как отрезок ряда Тейлора в стохастическом варианте. Можно получить обобщение формулы (8) на случай векторного процесса «(г): 2! .Г!« +о(Л), (3.10.9) где 8, — символ Кронекера.
Ради упрощения записей будем в дальнейшем опускать гильду сверху. Формулы (7)...(9) позволяют получать разностиые схемы для решения стохастического дифференциального уравнения (1). Так, из (7) следует простейшая разностная схема: «„чт= «„+Я„, «„) Л+8(Г„, «„)Ло„. (3.10.10) Используя (8), можно показать', что для этой разностной схемы глобальная погрешность (5) определяется выражением т сг(Л'"(~М(~8'(г, «(г))Я(г, «(г))]'$«о) Г/!) н*, о т. е. Разностная схема (10) имеет глобальную погрешность порядка Л"'.
Разностная схема, следующая из (8): ' Никитин Н. Н., Разевиг В. Д. Методы цифрового моделированиа стохастических дифференциальных уравнений и опенка их погрешностей//Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1978.— т. 18, 7>й !.— С. 1ОГ> —- 117. !77 «,„, =«„+/(!е, «„)+я((т, «„) Ас+ (3.)ОП 2) +(1/2)Я~(1„«„)я((„«„)(Асса — А) долхсзш иметь меньшую пот(эешность, чем (10). Этот факт подтвержден экспериментально . Можно показать, что лля любой разностной схемы справедливо следующее неравенство: - [(М(Ы( «(1)М( «(1)П'+Р- ( «(1)И')«) /11иг (3.10.13) где Е,,= — ', +/(, «) — +;д'(, «)-' —,. (3. 10.
14) Неравенство (13) можно использовать для выбора шага квантования Л. Если, например, /=- — сс«, я=(Ас/2) '", то сг < ссД (АгТ/2) 'ы Для векторных сл. пр. можно получить аналогичные разностные схемы. Так, аналог выражения (10) имеет вид «,.„=«„+Е(г„, «„)А+я(1„, «„)Ао,. (3.10.15) Для компонент глобальных ошибок можно воспользоваться формулой — аналогом (11). В разностной схеме (10) положим д(1, «)=()!//2) "~д(О «). Тогда получим — +/'(,А «)А+ 0 пги (3.10.!б) где и„— -стандартный дискретный белый шум (независимые гауссовские с.
в. с нулевым м. о. и М (иги!)~=бп). Р„=/)(дг(бм «„)/2. Формула (16) дает алгоритм для моделйрования последовательност.и «т па ЭВМ. При этом нужно задаться начальным значением «о н затем рекурреитно вычислять «„„, по В качестве гг„можно брать реализации датчика гауссовских случайных чисел, который имеется в математическом обеспечении любых ЭВМ. Пример 3.10.1. Гвуссопско-мврковсквй процесс. Пусть с(«/с(с= — а«ртл(с) (3.10.1 7) Прн а=7= 1/йС таким уравнением описывается напряжение на выходе интегрирующей цепи ЯС, когда на нес воздсйствусз БГШ л(с). Уравнение (17) ввлветсв частным случаем уравнения (!). Длв него разностнос уравнение (16) принимает вид ' %г!кйс П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
