Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 37
Текст из файла (страница 37)
На практике часто применяются три вида аппроксимации нелинейных характеристик е(х): полиномом, ломаной линией (кусочно-разрывная аппроксимация) и трансцендентными функциями. Каждый из этих видов имеет свою область применения, а также свои преимущества и недостатки. Часто требования точности аппроксимации и простоты аналитического выражения оказываются противоречивыми и не всегда согласуются между собой.
Нелинейные безынерционные преобразования сл. пр. по существу были рассмотрены в Е; 1.5. Математические модели детерминированных инерционных нелинейных систем обычно задаются нелинейными дифференциальными уравнениями, например, вида >95 т~'(1)=(.(б ц(1))+д((, «)(1), ~(1)), т)(0)=По, (4.).34) где Г"() и д(.) — заданные детерминированные функции, определяемые параметрамр системы. Известно, что характер решения нелинейного дифференциального уравнения зависит о«его вида, формы внешнего воздействия и начальных условий, причем невозможно в об1цем случае записать решение в квадратурах (даже при г(1)ии0).
В этом состоит существенное отличие нелинейных инерционных преобразований сл.пр. от безынерционных и линейных, для которых выходной процесс аналитически выражается через входной. Для нелинейных инерционных преобразований не существует рецептурных методов решения и каждую задачу приходится рассматривать самостоятельно. Помимо нелинейных дифференциальных уравнений в последнее время используется частный метод задания моделей нелинейных систем с помощью функ«(иопильных рядов Вольтеррп, имеющих вид т) (1) = Ьо(1) + ~ ) ...) )«, (б т „..., т;) Ц (т «) ...
1 (т;) Ы « « ... ь( тс (4.1. 35) Применительно к дифференциальному уравнению (34) такое представление возможно, когда функцию ((б «)(1)) относительно можно аппроксимировать рядом Тейлора, а функция е не зависит от т)(1). Для систем с постоянными параметрами ряд Вольтерра имеет более простой вид ц(1)=Во+~„~...~Л(т„т„..., т,) ~(1 —,) ...
~(1-т) )т,... )т, =Ьо+ 1 — ь + ) 1««(т«)Ц( — т,)+ )) Ь,(ты т,)Ц( — т«)Г(1 — т,)с(т«ь(т,+... (4.!.36) Функции )«,(т„..., т,.) называются ядрами Вольтерра даннои системы. Первый член )«в правой части (36) можно трактовать как постоянную составляющую выходного сигнала или как заданное начальное значение, поскольку т) (1) = )т при Ц() = О. Второе слагаемое представляет собой выходной сигнал стационарной линейной системы с импульсной характеристикой )««((). Третий член т),(1)= )) )«,(т«, т,)ф — т,)ф — т,)т(т«с(т, Линейная сиьтииа ' Веяинсин ~й ияьминт пд ';(е) н (Е) д (е) тг ~й) Рнс. 4.3.
Простая квадратичная система есть двумерная свертка входного воздействия с(1) и импульсной характеристики Ь (т,, т ). Простейший пример такой системы приведен на рнс. 4.3. В данном случае й,(т,, та) = А (т,)й («,). Поэтому третье слагаемое в правой части (36) можно рассматривать как выходной сигнал, получающийся на выходе квадратичной ветви системы. Следующий, четвертый член представляет собой составляющую выходного сигнала на выходе кубической ветви системы и т. д. Таким образом, если заданную нелинейную систему с конечной памятью можно описать рядом Вольтерра (36), то систему можно моделировать функциональной схемой рис.
4.4. Напомним, что при анализе преобразований сл. пр. линейными н нелинейными системами задача ставится так: предполагая известными параметры математической модели системы (т. е. конкретный вид оператора Т) и вероятностные характеристики входного процесса Ц(1), требуется найти необходимые вероятностные характеристики выходного процесса т)(1). Те характеристики выходного процесса т)(1), которые нужно находить, определяют. ся физическим содержанием конкретной задачи, и в частности тем устройством, на которое воздействует случайный процесс Р(1). Обычно интересуются моментами (чаще всего м. о.
и кор- я и Лин и ая яма с памятью ' Шетсен М. Моделирование нелинейных систем на основе теории ВинераоТИИЭР.--1981.— Т. 69, )чя 12. С. 44 —.62. 196 Рис. 4.4. Нелинейная инерционная система (а) и ее представление рядом Вольтерра (б) 197 реляционной функцией) или же плотностями вероятности (чаще всего одномерной и двумерной) выходного процесса т)(!). В данной главе будут изложены преобразования случайных процессов детерминированными линейными системами. 4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НЕПРЕРЫВНЫМИ СИСТЕМАМИ 4.2.1.
ОДНОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В практических приложениях при рассмотрении преобразований сл. пр. линейными одноканальными системами могут встретиться разнообразные задачи. Однако можно сформулировать следующую, достаточно общую задачу анализа. Пусть на вход линейной системы с заданной импульсной характеристикой !г(т) воздействует. сл. пр. г(т) с известными п.
в. рог, ...,Гг; тг, ..., г!). Требуется найти и. в. р„(т),, ...,т),; т„..., б), ! <!г, сл. пр. на выходе линейной системы. В общем виде не существует прямого метода, который бы позволял находить непосредственно и. в. для процесса т1(т) на выходе линейной системы по заданным и. в. процесса Цт) на входе. Здесь исключение составляют гауссовские и марковские процессы г,(т), а также некоторые частные примеры. Сформулированную задачу приходится решать следующим образом. По заданным п. в. р ( ) вычисляют моментные или корреляционные (кумулянтные) !)гункции процесса Е(т).
По моментным или корреляционным (кумулянтным) функциям входного процесса г,(т) можно найти моментные или корреляционные (кумулянтные) функции процесса т1(!) на выходе системы. Определив их, записывают в виде ряда характеристические функции и затем находят соответствующие и. в.
р (см. рис. 1.4). Применительно к гауссовским процессам ((т) решение задачи упрощается на том основании, что при линейном преобразовании гауссовского процесса он остается гауссовским. Поскольку гауссовский процесс полностью определяется м. о. и корреляционной функцией, то для нахождения и. в. процесса т)(т) достаточно вычислить его м. о. и корреляционную функцию. Если выходной процесс т)(т) является марковским, то и. в.
р„в принципе можно получить из решения соответствующего уравнения ФПК. Установим теперь правила пересчета моментных и корреляционных функций. Пусть на вход стационарной физически возможной линейной системы, начиная с момента ! =О, воздействует сл. пр. (сигнал) г,(!), причем начальные условия нулевые. Тогда выходной сл. пр. (сигнал) т)(т) определяется интегралом свертки ! т) (! ) = ( !г (! — и ) Ци ) г(и = !) !! (и ) "г,(! — и ) г(и.
(4.2.1) о о 198 Разобьем интервал интегрирования (О, т ) на т подынтервалов длительностью Ли, и обозначим средние точки подынтервалов через и„(и, < и « ... и„,). Тогда интеграл можно представить в виде суммы Ю т т1(!) = 2. !!(! — и,)Ци.) Аи = 2. !т(и,т! — и.) Аи,. «=! = ! Известно, что м. о.
суммы сл. в. равно сумме м. о. отдельных слагаемых. Поэтому П 1« М(т1(г)) ,'! (г(! — и„)МЯи,))Аи„= ,'! !г(и„)М(ф — и„))Аи„. «=! =! Теперь в этом соотношении фигурируют обычные (детерминированные) функции. Поэтому при выполнении известных условий непрерывности функций и Лгг„- О это приближенное равенство перейдет в точное, а сумма справа-- в интеграл. Таким образом получим окончательную формулу для м. о. т„(т)=М(т1(т)) =) )!(г — и)М(((и))г!и = о =) !!(и)М(г(! — и)) т(и (4.2.3) о Эта формула показывает, что операции взятия м.
о. и интегрирования можно менять местами. Этим результатом воспользуемся в дальнейшем. Запишем выражение (1) для нескольких моментов времени перемножим левые и правые части полученных равенств и результат вероятностно осредним. Поменяв затем местами операции интегрирования и взятия м. о., получим выражение для и-мерной начальной моментной функции выходного процесса М(т)(т!)т)(тг) ... т)(т„)) = )' ...))г(и!)!г(иг) ... !!(и„) х о о х М(ь(т~ и!)«(тг иг) "««(т» и )тт(игг(иг" т(и, (4.2.4) При т,=! =...=т„=! отсюда следует формула для одномерных начальных моментов ! М(т) "(!)) =)...) )!(и,) ...
й(и„)М(г,(т — и,) ... г(! — и„)) г(и!... г(и„, (4 2.5) о о а при и =2 †форму для ковариационной функции М(т)(т!)т1(гг)) ) ))т(и!)!г(иг)М(Ц(г! — и!)г(тг иг))!!и!!!иг оо (4.2.б) Яе„(т ', ! ) =. )т Ь (! — и) 11 (! ', и ) й( — )( )( ( и ) К (! '. т — и ) Ыи. о о Из (9) при 21=22=2 получаем выражение для дисперс!ли Ов(л) 1.(Ь(л — и1)Ь(л — 2)тхл(и1, иг)((и14(122= оо ( = ~ ()((и())2 (иг) я (л — и(„г — иг)(1!и(((иг. (4.2.10) (4.2.1 1) оо 200 или '1'г кв(! ! гг) = )г г) 11 (и())1 (иг) ка(л( — и,, лг — иг) ((и(((иг. оо Аналогичным путем получается выражение для (л( +л)-мерной взаимной моментпой функции между входным с(!) н выходным т)(!) процессами: М(че(л'1)" че(л~ )Ч(л!)".Ч(лв)) = 1(...
(й(и,) ... (2(и„) х о о 1( М(Ч(Л 1) ...,(Г' )(',(Г( — и,) ... фв — и„))((и(... й(„. (4.2.7) В частности, взаимная ковариацнонная функция между входным с(!') и выходным т)(г) процессами определяется формулой ( К!в(л', !)=М(Ц)')т)(л)) =) )((и)Мгл((г')ф — и)) г)и = =(й(и)Кл(л' г — ~уу (4.2.8) о Нетрудно получить формулы для центральных моментных функций. Для мого вычтем из (1) выражение (3) и обозначим центрированные функции нулевым индексом: ( ()о(Л) = (й (! — и До(и)(1и =)')1(и)Е (Л вЂ” и)е(и. о о Повторив приведенные выше рассуждения, нетрудно убедиться, что формулы (4), (5) и (7) останутся в силе, только теперь в них нужно подставить соответствующие центрированные функции. Запишем формулы для корреляционпон Я (л„! ) и взаимнои корреляционной Лап(л', !) функций: 1(2 )~в(г!' 2) 2 ) )2(2~ и~) 2(лг иг)~л(и(.' иг)г'и!((и2 о о = ( ( Ь(и,))) (иг) 7(а(21 — и„л, — и,) (и( )иг, (4.2.9) о о Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
