Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 41
Текст из файла (страница 41)
2я77„„~ (4.4.!4) Г!омсха со спектральной плотностью (13) минимизирует отношение сээгналпомеха, причем из (!2) с учетом (13) и (14) следует, чзо шэпгэ= — з ~ ~ !5()вэ)!Нш| —.. п,~~ Ь (4.4.15) Считая ~еперь, что сигнал принимается на фоне помехи со спектральной плопюсгью (!31, спектр сигнала, максимизирующего отношение сигнал-помеха при дополнительном условии (9), находим из выражений са (5)/г75 = О, 3(5)=: — - .ьЛ,— (5(1 )!.", (5(йв)! 1 2 ~Ю' 2 где хз — -постоянный множитель Лагранжа.
Выражение для амплитудно-частотного спектра сигнала имеет вид )5(1вэ)(= — 112хз эЪ„, аэвЛш, (4.4.171 1.2 = — П /2) (Дгв(2хЕ)7„)! э . Из (17) видно, что в случае применения оптимальной помехи следует использовать сигнал с равномерным спектром в заданной полосе частот. Спектральная плотность оптимальной помехи в этом случае также равномерная. Отношение сипэал-помеха согласно выражениям (15) и (!7) будет при дополнительном условии (10). На основании правил варнационного исчисления уравнения, определяющие спектральную плотность помехи, имеют вид 07(5„))05„=0, где (4.4.18) 22! 220 ' Типп бл 1.. Мппгпах Гнгагерйеч Гог Мвэс(эьч(-!!Нег Оеэесйоп/7!ЕЕЕ Тгапч.— !975.-- Уо!.
СОМ-23, Д» 11. - Р. !370. — !371. ЕЛгв Р, т„аш шах ппп 1',э = — = — * —" —, хо.эхы, 2кр. 7Э 2п ' (4.4.19) (4 4,20) (7 ==- 2 > 7 гзт( Ко ( 1в) =. г5 ( 1в) ел Р ( — 1оно), гг;с с -некоторая постоягшая, характеризующая усиление <(>и>зьг1за, Г-- знергия сипгала: е'=- $ >< <г = — ) 1тц <!'> (4.4.21) Запишем ыгскзр ьходного сигналя и комплексную частогную <арактерцсгику фильтра в виде 5( 1«з) = ~5()в)$ ехр()<р>(с<)), К()<о) = $Ко()в)~ акр(1<р(со)), (4 4.22) Для согласовашюго фильтра из (20) получим !К<>(гсо)~=! !Л(1со)1.
<р(со)= — (<р,(со)+в<„). (4.4.23) Впдгго, что амп.гнигулно-чагуготняя характеристика согласованного фильтра пропорциональна амплитудно-частотцому спектру входного сипгала (амплитудно-частотная характеристика «согласована» со спектром сигнала), а фазочастотная характерисзика равна сумме фазочасто.пюго спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки ( — вго). Подставив в (2) частотную характеристику (20), получаем выражение сипсала на выходе согласованного фильтра .т(г) = — ~ 5()<о)) ' ехр [ гв(г — го))с)оз == — (5()аз) ~ ' соя в(/ — г,)<газ.
(4.4.24) 222 гле г>, . средняя мои<ность сигнала; т„длительнс>с> ь сш нала. Выигрыш в отношении сш нвл-номсхв нв выходе о>пимвльного фильтра нропорннонвлси бизе сигнала т„г>ш~2к. Озмсзнм. что фнрмиров:шнс сиивлв конечной Шнпельностн со строго рввномсрным снск>ром в зв,.<инной полосе чистот невозможно. Оливка можно нову н>о, холопке нриближснне, иснолштв иссвлошумовыс сложные сигналы и сшн.ь>ь> с внутр,шм»ульснол шс>ошшй модулянисв с бгшыиоб базой.
Назовем часпзый' вид оптимального липейшого фильгра для случая, когда помехой ц(г) является БГШ, гослсиооониыги липейиыч ьг>гг>гг>ггг)голе. Иначе говоря, согласованный фильтр — линейный фильтр. на выходе которого получается максимально возможное пиковое ог >ошение сипвл-шум при приеме полностью известного с; пшна >.' фош оелого гнуссоввсог > шумя. 1ггп<м<н>цм»ол генные формулы (6) и 17) к данному случаю. Дла .ного голожим в ннх 5в(в) — -гзг<2=-сонь<. Тогда У .„(го) = — ' ~ 5()в)1'йо =-)сЕ. (4.4.25) Укажем, что согласованным фильтром (20) можно воспользоваться и при приеме полностью известного сигнала на фоне стационарной помехи с произвольной спектральной плотностью 5„(со). Для этого достаточно формально пропустить принимаемое колебание (1) через дополнительный линейный фильтр, который преобразует помеху гг (с) в белый шум. Фазочасготная характеристика фильтра может быть любой, а амплитудно-часзопвя характеристика такого дополнительного «обеляюьсего» фильтра должна иметь вид ~ К()со)~ =/с,> 55„(<о), (4.4.26) где и -- постоянная.
На выходе обеляющез о фильтра помеха превратится в белый шум с постоянной спектральной плотностью 5„(в)1К()аз)1з =газ = — сопя<, а комплексный спектр сигнала булез 5()в)=lс5()в)>> ~5„(в). После э~ого можно воспользоваться полученными вьцце формулами. Так, на основании (20) записываем комплексную частотную характеристику соотвез ствующего согласованного филы ра Ко()со) = с5'(1<>з) ехР( — )все)/ У> 5„(в), Оптимальный фильтр представляет собой последовательное соединение двух фильтров: обеляющего К()в) и согласованного Ко ()в). Его комплексная частотная характеристика К( (оз) = К()со)Ко ( (в) определяется формулой (7). Пользуясь допустимой свободой выбора фазовой характеристики обеляющего фильтра, можно попьпаться выбрать ее так, чтобь> оптимальный фильтр был физически возможным.
Если спектральную плотностыгомехи 5„(в) можно аппроксимировать рациональной функцией частоты (что практически не ограничительно), то для получения физически возможного оптимального линейного фильтра часто пользуются известным положением факторизации —— разложением 5„(со) на два комплексно-сопряженных сомножителя. 22З Сигнал на выходе согласованного фильтра определяется только амплитудно-частотным спектром входного сипгала и не зависит от его фазочастотного спектра.
Последнее объясняется тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала <рх (в) компенсируются фазочастоз ной характерно гикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момеьп времени г = го н, складываясь, дают пик выходного сигнала Импульсная характеристика согласованного фильтра (20) находится по формуле )зо (!) = „— 7ео ()а) ехр ()аз!) с(ггз = '— 9в ()а) ехр [ )а(! — (о)) с(а = — и с — — .'з в ( — )а) ехр [)а (! — !)з) с(а = — я()а) ехр [)а(! — !) ) с(а.
с Учитывая выражение для входного сигнала л(!) = — Я(1а) ехр()а!)с(со, получаем /го(!) ск(! !) (4.4.27) Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала (нсогласована» с сигналом). Полный сигнал иа выходе согласованного фильтра определя- ется интегралом сверчки ! т) (!) =[)з(!о — !+и)с(и)суп=-с(л(!о — !+и)с(и)с(и, (4.4.28) о о а его значение в момент времени 1=(о=т„. соответствующий концу полезного импульса «(!), равно ц (т„) ==с ) л(и)с (и)с(и.
(4.4,29) о Видно, что слабые значения полезного импульсного сигнала у(!), содержащегося в е (!), дополнительно ослабляются весовым множителем х(и) и, наоборот, большие значения полезного сигнала усиливаются этим множителем. Отметим, что среди всех линейных фильтров согласованный фильтр позволяет получать на выходе максимальное отношение пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума, равное уг2Е,'Лг, причем это значение не зависи~ от формы сигнала. В радиоприемных устройствах супергетеродинного типа ком- плексная частотная характеристика усилителя промежуточной частоты (УПЧ) в принципе должна совпадать с комплексной частотной характеристикой согласованного или квазиоптималь- пого фильтра.
Однако па практике полосу пропускания УПЧ 224 выбирают в 1,5...2 раза больше оптимальной. Главная причина этого --нестабильность частоты принимаемого сигнала и частоты ге- д5 теродина приемника. Целесообразность расширения полосы пропускания УПЧ при наличии рассгройки Лг — -(„-ус мсжду частотой радиоимпульса („и центральной частотой фильтра ГЬ можно уяснить на следующем частном 44 примере. Пусть прямоугольный радиоимпульс (4.3.10) воздействует на согласованный с ним фильтр, расстроенный относительно частоты радиоимпульса нв величину Лг В данном случае отношение (4.3.25) рвано рд р=йп(яЛ г„),'адгг„.
Дч Можно показать, что при воздействии прямоугольного радиоимпульса на рассгроснный колебагельный контур с комплексной частотной характеристикой Л(1сз)=яс 2шс1(2пыч-1(ср — ы',о)), сзо — -2пус, О,5 Да Д Леся Рис. 4.12. Влияние полосы пропускания на отношение сигнал-шум при случайной рассгройке справедлива формула 1 — 2ехр( — пг„)сов21гЛ г„з-ехр( — 2аг„) ) ( .-', ]= (пг„) е(2пЛ г„)' В отсутствие расстройки (Лг — — О) зга формула переходит в (4.3.4).
Если расстройка Лг меллснно н случайным образом изменяется во времени по нормальному закону р(Лг) =(1!аг с 2я) ехр(-Лу)2о!). го естественно интересоваться средними значениями М(р) или М(р М(Р)= ( РР(Лг)~г, М(Ре)= ( Рел(Лг)4Л,. 4.4,2. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ На практике все большее применение находят не рассмот- ренные аналоговые. а цифровые согласованные фильтры. При этом из входного воздействия (1) периодически„через интервал 225 К вЂ” 2247 Результаты численных расчезов величины М',р", лля колебательного контура при нескольких значениях огг„приведены на рис. 4.!2. Из графиков видно, что при заданной величине огг„сушссгвусг свое оптимальное значение Луч„, прн котором М(р') имеет максимум. С увеличением о г„оптимальное значение Луг„медленно возрасгасг, а максимальное значение М(р') резко уменьшается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
