Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В частности, компактное и точное решение задачи можно получи~ь лля гауссовского процесса. Если «(Е) — гауссовский процесс, то процесс Ч(Е) на выходе линейной системы будет тоже гауссовским и дело сводится к вычислению и. о. и корреляционной функции процесса т! (е). Приведем решение этой задачи.
При фиксированном Е каждый член в уравнеНии (1) есть сл. в. Беря м. о. от обеих час~ей и учитывая формулу (4.5.11), получаем пкп>'„"'(Е) + а„, тся" "(Е)+ ... + ао>вн(Е ) = гак (Е). (4.6.3) Поскольку согласно (2) начальные значения первых (л — 1) производных >1(е) равны нулю, то п>н (0) = лт'„(О) = ... = л>'„о ' (0) = О. (4.6.4) Таким образом, м.
о., являющееся летерминироваш!ой функцией времени, определяется обыкновенным линейным дифференциальным уравнением (3) с нулевыми начальными условиями (4). Методы решения таких уравнений известны. Зная правило вычисления и. о., лля упрощения записей примем. что в уравнении (1) фигурируют центрированные случайные процессы «(Е) и т|(Е), т. е. процессы с нулевыми м. о. Положим в уравнении (1) Е=Е, и умножим обе части его «(Е ): "(Е>)гаяЧ (Е2)+ст» >Ч (Е2) + "+с>ОЧ(Е2)1 «(Е!)«(Е2).
Согласно формуле (4.5.13) можем написать 242 ч(о)=-чо, дчО)Ед>(, о=ч'о. (4.6.!0) 243 М(«(е )Ч>'(е )) — — дЛ (е е )(с>ез Е=О 1 ... л — 1. Взяв м. о. от обеих частей равенства. >юлучим сз"л (2 > ) А с>'> Чтобы задать начальные условия, умножим начальные значения (2) на «(е,): «(е,) Чсй(0)=0, >'=О, 1, ..., л — 1.
Беря м. о., находим пачалы>ые условия, при которых нужно решать уравнение (5): д>тссн(Ен 0)(д>2=0, >=О, 1, ..., л — 1. (4.6.6! Запишем уравнение (1) для != !, и умножим обе части его на Ч(Е,): (а Ч»" (Е,)+ао Ч'" "(Е,)+ ...+а,Ч(Е,Н Ч (Ез) =«(Е>) Ч(Е2). Взяв м. о., получим '"л б" >!с(с т) т На основании (2) имеем т!Еп(0) т! (е ) = О. Операция м. о. лае.г начальные условия для уравнения (7) д'Е(„(02 Ет)(дг>=0, >'=О, 1, ..., л — !. (4.6.8) Если м.
о. процессов «(Е) и Ч (Е) не равны нулю, то в уравнениях (5) и (7) нужно заменить корреляционные функции на соответствующие ковариационные функции. Отметим, что хотя в (5) и (7) формально фигурируют частные производные, однако по существу каждое из пих является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением: первое относительно переменной е, а второе относительно е,. Для получения интересующей нас корреляционной функции Ес„(е„ез) нужно сначала решать уравнение (5)„а затем (7).
Комбйнируя (5) и (7), можно получить дифференциальное уравнение, выражающее гсн(е„ез) непосредственно через Л!(е>, е ). Однако ввиду >.ромозлкости оно не приводится. Общее выраже!>не в матричном виде дается формулой (29). Пример 4.6.1.
Ноздсйствис бсло о п>ума иа колсбатсльный контур. Пусть на колсбатсльный контур (рис. 4.18) воздействует белый н>ум п(т) с пудовым м. о. к одностороннсй спектральной плотностью Ет'. 1!айдсм коррслянионную функпию >юя тока т>(>) в инлуктнвной вотан. ток т>(>! онрсдслястся линсйвым диффсрснлнальным уравнснисм второго порядка: Ч() 1(), 2 2 2 э 2о — -чсооч(>)=сооп(т), о= —, со'= —.
(4.б.9) сй' сй 2>'.' оС Пус>ь начальныс условия заданы в виде п(8) Эти начальные условия могут быть детерминированными (постоянными величинами] или случайными; в последнем случае должна бьць указана начальная совместная п, в. р(>1о. цо), Будем пока очи~ать начальные условия детерминированными.
Извес>по, что характер ранения уравнения (9) зависит от вида корней харакзеристического уравнения,и различают три случая: П во> а, решение колебательное (корни характеристического уравнения комплсксныс); 2! в =-а,предельно аперноднчсское решение (корни вещественные и ровные) н 3) в„<а, апериоднческое решение (корни вещественные н разлпчныс). Приведем сначала общие выражения. Воспользовавшись уравнением вида (31, находим условное (при заданных начальных условиях) м. о.
Рис. 4.!8. Воздействие белого шума на колебательный контур >с аз> м(ц ( >!о, 08) =с — ~ ~13 — ! ехр(в!)ч( 1 — — ! схр( — в!) 2 о> о> ! — (схр(о>!) — ехр( — о>!)) ехр( — а!), !)О, Чо 2в (4.6.1 П <по г 1- Во(!)= — ~ р(( — во)!) (ехр(( — »т)п(т)с(ся- 2о> ~ о 6схр г !— (а Рв) !) ) ехр (г(а 4 в)т)п(т) с(т о Пользуясь им и выполняя необходимые вычисления, получим обн<ее выражение для корреляционной функции Я„(с, сл-т)=Р„ехр( — а ! с!) (сйвтЧ-(а<в) зйо> !т!— — (сьсотч-(а(о>)заев(2<4) ()ь(~><в')(с(>(2>ч-)т!)— (4.6.12) — саве)3 схр( — 2а!),', Рч=в479 78а.
Формул>л (1!) и (!2) можно копкрсти>иропать для трех указанных частных случаев. Прн вова, в= а' — во>=1в, получим М(ц ( г!о цо) =(>!основ> <4(ацо4 до) в, ' ипв, !)ехр( — ои), (4.6.131 Я„(с, с+т)=Р„схр( — а)т()(совы,сч-ав> ' я<ив> )т! — ((14-а'в> ')созв, <4 па<о, ' впв, (2<4!т!) — агв, >соко>, (2>9!т!)1 ехр( — 2а!)). (4.6.14) где в=-(а'-в„')нг.
В данном случае м. о. не зависит от воздействующего шума и целиком определяется начальными условиями. Оно стремится к нулю при с- сс. если ввести центрированный процесс и„(!).=.с!(!)--м(п ! >1„, г!о), то он оудет удовлетворять прежнему дифференциальному уравнению (9), формальное репвннс которого имеет вид Спектральная плотность случайного процесса >1(!) в стационарном состоянии для всех трех случаев определяется формулой 5„(со)=(>ЬП2) в87[(о>г — о>о) ! 4< <о 1.
И> полученных результатов видно, что начальныс условия входят только в выражение для м. ох корреляционная функция нс зависит ог начальных условий. В том случае, когда начальные условия г!о. по являются не лстерминированными, а сл.в. н для них задана совмесп>ая и. в., формула дяя корреляционной функции не изменится, а выражение лля м о. (1П следус> рассматривать как условное. Безусловное м. о. находится по формуле М ( >! ', = ( ( М ',>! > т1 о, >! о,' р (>! о. т! о) с(цо с(ц о. (4.6.17) Пример 4.6.2. Модели движения летательного аппарата. Из разных возможных математических моделей движения летательного аппарата укажем две'. Пусть в выбршшой системс координат расстояние до аппарата г(!), его скорост г(!) и ускоренно и(!) заданы системой из трех линейных уравнений г'(!)=.г(!), < '(!)= — уопа, а'(!)= — аа-! и(!) нлн г'(!)=о(!), о' (!)=-и. а'(!)= — аа — уо-',и(!).
(4.6.!9) Злесь штрихами обозначены производные по ярсмени; а и у- — постоянные козффпцнсн>ы; н(!) БГШ с нулевым м. о. и спектральной плотное>ью Д>72. Рапи простоты примем начальныс условия нулевыми: г(0)-0, >*(0)=0, о(0)=-0. Нетрудно убелиться, что в обеих молелях дифференциальные уравнения лля скорости приводятся к уравнени>о второго порядка типа (9), а именно г".ь(а у)о'Ч-ауо=п(!). (4 6.18') ь" < аоаруо=п(!). (4.6.19') Совместная плотность вероятное>и р(г, м а) в обе>нл случаях нормальная, в для ее фактического определения нужно лишь вычислить корреляционные я взанмныс корреляционные функции.
При вычислении корреляционной функции скорости Я„(с„с,) можно восповьзоваться формулой (12) с соответствующей заменой в ней ко>ффициентов. Корреляционная функция для расстояния находится нн гсгрирова пнем Р.„>Е-, сг)= ( ( Я„(и,, Яг) суп>с!иг. оо Коррсляциошвя функция ускорения накопится для модели (18) в соответствии с формулой (4.5.16) а для модели (19) (4.6.1 51 В стационарном состоянии (при ! <о) М (ц > г1, т!о) =-О, Я„(т)=Р„схр( — сс ! с!) (созв, сжав; ' а(пв, <т !).
244 ' Зингер Р. А. Оценка характеристик оптимального фильтра для слежения за пилотируемой целью,ч Зарубежная радиоэлектроника. — 1971. № 8. С. 40— 57. Л,(е„б)=д Я.(ео ез)/дбдец При вычислении взаимных корреляционных функций следует исходить из записи решений о~дельных уравнений в квадратурах, хотя, например, для второй модели Л„. (ен е,) = дЕТ„(ео б)Едеи (4.6.21) т), (Е) А=[а;Д; т1(Е)= Ч,„(Е) п, (Е) Что в(Е) = (4.6.24) п„(Е) Так как система стохастических дифференциальных уравнений (20) является линейной с постоянными параметрами и белые шумы пе(е) гауссовские, то плотность вероятности р(Ч; е) будет нормальной.
Для ее определения нужно вычислить м. о. нз=М(т1) и матрицу дисперсий (значения всех компонент Ч, (е) берутся в один и тот же момент времени е) еу = М ((Ч вЂ” ш) (Ч вЂ” тв) ) . (4.6.25) 246 Рассмотрим общий случай, когда векторный случайный про- песс Ч(е)=(Ч,(е), Ч (е), ..., Ч (е)) задан системой линейных сто- хастических дифференциальных уравнений т),'(е)= — 2 а;,Ч„+п,(е), е=1, т. (4.6.20) а=к Здесь а;, ††постоя коэффициенты, не зависящие от времени и Ч,(е); пе(е) — ВГШ с нулевыми м.
о. и корреляционными функциями М(п,(е,) пе(ез))=(1е2)(Х)зуе)и~ Рыб(е — е,), В;,=1 при е'=е', коэффициенты )ТЕ, и Яп не зависят от времени. Требуется найти совместную плотность вероятности р(Ч; е)= =Р(Чы Чз, ..., Ч; е) пРи детеРминиРованном начальном Условии Р(т)„з), ..., Ч„; Е )=б(т),— т),о) х и 8(Чз — Ч.о)" б(Чт — Чио) (4.6.22) Запишем систему уравнений (20) и начальное условие (22) в матричной форме ° 1'= — АЧ+в(е), Р(Ч, О) =Ь(Ч-Чо), (4.6.23) где Это можно сделать путем непосредственного вычисления м. о. вт и дисперсии Р по виду уравнения (23). Осредняя правую и левую части (23), получаем ве' = — А из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
