Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 48
Текст из файла (страница 48)
огибающей и фазы: я р(А)= р (А, гр)г7гр= — ехр — — 1, А>0, (4.7.39) и, , 2Р, г' 1 р (гр) = р (А, гр) гг'А = —, ) гр (< к. о Поскольку р (А, гр)=р(А) р(гр), то огибающая А(!) и фаза гр(!), взятые в один и тот же момент времени, независимы, причем огибающая распределена по закону Рэлея (39), а фаза равномер- но в интервале ( — к, к). Если записать совместную нормальную и.
в. для четырех случайных величин А,(!), Ая(!), А,(!+ г), А (!+т) и затем по формулам (17) перейти к огибающим и грязям, то получим совместную п. в. для огибающей и фазы в два момента времени: Ря(~] гр гр]) 4 зрз(! з) Р 2Р (! з) ! + т 4к Р, ! — г — 2г,АА,сов(гр,— гр)+2АА,г„а)п(гр,— грЦ, (4.7.41) где введены нормированные корреляционные функции за(т)=гз(с)+гз,(т), г,(т)=Ве(т)/23, г„(т)=тх„(т)/23 . Указанная методика может быть обобщена на часто встреча- ющийся случай, когда рассматривается сумма узкополосного гауссовского процесса с(!~=А (!) соа(гао!+гр(!)3 и гармонического сигнала .г(!)=Ао соя(оз,!+ ). Введем огйбающую В(г) и случайную фазу з)з(!) такой суммы (рис.
4.22) 5(!)+ Р(!) =А (!) сок(озо!+гр(!))+Ао сов(азо!+Лаз!+9)= =В(!) соя(озо!+ф(!)), Ага=аз,— озг], (4.7.42) / Р ! ! 258 ' тихонов Гь И. Статнстическаа радиотехника.— Мс Сов. радио, 1966.— 678 с. В(1) =(Вз(1)+В,'(1)) ЕЕ'>0; ф(1)=агстй(В,(1)/В,(1)1; (г(е (<и; В, (1) = В (1) соз ф (1) = А, (1)+ А„сон(Лозг+ 3); В,(1)=В(1) япЧе(1)=А,(1)+А яп(Лнзг+3). (4.7.44) При выполнении условия (1) и малой расстройке Лот «со огибающая В (1) и случайная фаза че(1) являются медл,/е) ленво изменяющимися функциями по СРаВНЕНИЮ С СОаптог. 9/Е) Если в нормальной п. в.
(37) пе- рейти от переменных А, и А, к новым Яг/е) пеРеменным В и Че с помощью соотлиеЕ+й' ношений и А (1)=В(1) сон че(1) — Ао соз(Лозе+3), Рис. 422, Геометрическое пред- А,(Е)=В(1) яп'че(Е) — Ао 8!п(Лнзг+Э), ставление суммы гармонического сигнала и узкополосного (4.7.45) пронесса то получим совместную п. в. для огибающей В(1) и случайной фазы ф(е) (В, Че)= — ехР— Л 1В'+Ао — 2ВА х сов (ф — Лене — ЭЦ (4.7.46) Отсюда находим (4.7.47) ,з'т Г Рг(ф)= — ехР— — ) ~1+ /2ппасо88Ф(асоз8)ехР -азсозз 8 а= —, 8=Че — Лозг — 3, ле (4.7.48) где 1 (х) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента; Ф (х) — интеграл вероятности.
В заключение укажем, что огибающую А (1) и случайную фазу ер (1) узкополосного сл. пр. ~ (1) можно определить~ без использования преобразования Гильберта и введения аналитического процесса, а через исходный процесс 9(1) и его производную г,'(1): 4.8. О НОРМАЛИЗАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРО- ЦЕССОВ ИНЕРЦИОННЫМ И СИСТЕМ А М И На с. !98 было указано, что если на вход линейной системы воздействует негауссовский сл. пр.
г, (1), то получить точные вероятностные характеристики (например, и. в.) выходного процесса не удается. В некоторых случаях приближенно решить зту задачу позволяет использование эффекта нормализации сл. пр. инерционными системами. Если негауссовский процесс с(1) с интервалом корреляции т„воздействует на инерционную линейную систему интегрирующего типа с постоянной времени т,л т„то процесс т)(1) на выходе такой системы приближается к гауссовскому по мере увеличения отношения т,Ет„. Этот результат часто называют эффектом иормализагтии сл.
пр. Примем следующие определения величин т, и т„, Если линейная система является простой (в том смысле, что различные разумные определения постоянной времени т, дают примерно одну и ту же величину), то в качесте возможного определения постоянной времени системы можно принять следующее: т,=-!/Е„,„(-' ( !/е(1)!е/1, о (4.8.1) где /е(е) — импульсная характеристика линейной системы и й .„„ ее максимальное значение.
Если же линейная система сложная А (1) =- ! Г з (1)+ Ь, з Г,' (ЕЯ ' ". (4.7.49) При таком определении огибающей в отличие от определения с помощью преобразования Гильберта предполагается, что процесс с (1) является дифференцируемым. В этом смысле определение огнбаюгцей (49) является в принципе менее общим, хотя оцо имеет ряд преимуществ и физически более наглядно, так как выражает огибающую через локальные значения процесса. Допущение о дифференцируемости процесса практически (напрпмер. для собсгвенных шумов на выходе УРЧ или УПЧ) не является ограничительным.
Пренебрегая при вычислении г,'(1) производными по времени от медленно изменяющихся функций А(1) и ер(1), имеем г,'(1) — оз А(1)яп(ен е+ер(1)1. (4.7.50) Из (2) и (50) следует определение случайной фазы ЕР (1) = — ого е — а гс18 г,' (1),'гно Р, (1). (4.7.51) Базируясь нн таких определениях огибающей и фазы, для узкополосного процесса „е(е) можно получить все резуль~аты, приведенные выше.
ц(г)= „'>" ) Ь(г — т)г(т)~й= ',> (4.8,3) о=о где и характеризуется несколькими постоянными времени, то в качество общего времени т, нужно брать минимальное нз них. Когда входной сл. пр, является простым (различные определения приводят примерно к одинаковому результату), то в качестве оденки т„. можно пользоваться, например, формулой (2.4.33).
Эффек~ нормализации сл. пр. при линейных преобразованиях интегрирующего типа является следствием центральной предельной теоремы. Представим сл. пр. т1 (г) на выходе линейной системы с импульсной характеристикой 6(г) через входной процесс г,(г) интегралом свертки (4.2.1): з)(г)=) 6(г — т)г(т)гй.
(4.8.2) о Примем, что г>т„.. Разобьем отрезок интегрирования (О, г ] на большое число я=г/Л элементарных интервалов одинаковой длительности Л точками 0=го, й, г„..., г„=д причем выберем Л«т,. При этом импульсная характеристика системы на каждом из элементарных интервалов будет мало изменяться и можно полагать Ь(г — Л) =й(г). Запишем интеграл в виде суммы 11 +Ь 1 Проделав примерно те же вычисления, с помощью которых была получена формула (4.2.29), находим Ь Ь г, — ) (Л вЂ” т) (г(Л+т) — г (Л вЂ” т)) гй/2) (Л вЂ” т)г(т)с/т— о о (тг(т)ут)2Л ) г(т)гй — — "«1. о о 24 Если принять соглашение, что некоррелированность слагаемых в какой-то мере характеризует их независимость, то придем к следующему результату.
При выполнении неравенств г>т,~Л>>т„ (4.8.7) процесс т1(г) на выходе линейной системы согласно центральной предельной теореме приближенно будет гауссовским. Правое неравенство (Л» т,) обеспечивает слабую коррелированность (зависимость) слагаемых суммы (3), а неравенство т,»Л гарантирует наличие большого числа слагаемых в сумме (3). Г л а в а 5.
МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИ- СТЕМАХ ганг=в(г — г„) ( г,(т)пт. (4.8.4) ! Отдельные слагаемые суммы, вообще говоря, являются зависимымн. Однако если выполняется неравенство т,»т„ (4.8.5) и Л»т„, то они будут слабо зависимыми. Доказательство этого утверждения в общем случае дать затруднительно; оно должно проводиться в каждом конкретном случае самостоятельно путем вычисления моментных илн корреляционных функций (по крайней мере коэффициентов асимметрии и эксцесса). Здесь лишь покажем, что при Лл~т„даже соседние члены суммы (3) (на примыкающих временных интервалах) практически цекоррелированны. Примем, что входной процесс «(г) является стационарным в широком смысле, имеет нулевое м. о.
и заданную корреляционную функцию Я (т) = 21г(т). При этом допущении оценим значение нормированной взаимной корреляции между двумя слагаемыми суммы (3) .1=М(~ 1 .,)(27 21 -1) '" 21 =М(~ ). 2бо 5.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОДЫ АНАЛИЗА В соответствии с классификацией преобразований сл. пр., приведенной в ч 4.1, рассмотрим детерминированные нелинейные инерционные преобразования. При таких преобразованиях интересующий нас процесс на выходе нелинейной системы т) (г) связан с входным процессом г,(г) нелинейным дифференциальным уравнением. Вид этого уравнения определяется конкретной системой или устройством. В качестве примеров типовых нелинейных радиотсхничсских систем можно указать следующие: все автоколебательные системы (автогенераторы гармонических и импульсных колебаний), нелинейные усилители и детекторы различных видов, модуляторы, разнообразные следящие системы (фазовая и частотная автоподстройки, дальномеры, автоматическая регулировка усиления), триггеры и др.
При этом следует различать два вида или класса моделей нелинейных систем: системы, представляющие собой разные комбинации нелинейных безынерционных устройств 2б! н(е) Нелинейное г (Г) Лонейнол е(е) нелолейоое р(е) уетройеогоо еоетеога уеогооиитоо Уо г~' "1) 'г г ') у(ьг'х)) Рггс. 5Л. Прнмср нслннсйной снсгсмы и линейных звеньев (см., например, рис. 4.3) и системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Анализ моделей нелинейных систем первого вида по существу сводится к раздельному пересчету вероятностных характеристик сл, пр. через нелинейные безынерционные устройства и линейные системы; правила таких пересчетов были рассмотрены ранее. Пусть, например, требуется вычислить корреляционную функцию на выходе нелинейной системы (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
