Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 49
Текст из файла (страница 49)
5.1), состоящей из двух нелинейных безынерционных устройств, между которыми включена линейная система с импульсной характеристикой гг(г), при нулевых начальных условиях: д (г,, гг) =-М (д(Г (гг))д(г,(гг))) — т,(г,)т„(г,) = = 11 й(нг)в(»г)Р~(1г»г: гг гг)агьгггьг — тг(гг)тг(гг), (5.1.!) ,(г) = М Ь(~(г))) =Х~(ч)р;(".' г) йь Отсюда видно, что для вычисления требуемой корреляционной функции необходимо знать двумерную и. в, процесса ч(г) на выходе линейной системы. Если принять, что входной процесс е(г) гауссовский, то процесс ц(г) на выходе первого нелинейного элемента будет негауссовским и задача определения двумерной п.
в. р (г,„г,г; г,, г,) может быть решена лишь приближенно (с. 198). Приведенные рассуждения можно обобщить на нелинейные системы, описываемые функциональными рядами Вольтерра (4,1.35). Встречаются трудности при анализе сл. пр. в нелинейных системах второго вида, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Будем говорить, чго сиснгема имеет порядок гг, если она описывается дифференциальным уравнением lс-го порядка. Применительно к нелинейной системе первого порядка нелинейное дифференциальное уравнение может, например, иметь вид г)'(г)=)(г, г)(г))+д(г, т1(г), Г(г)), т1'=йоге(г.
(5.1.2) Вид функций г'(.) и «(.) определяется параметрами рассматриваемой сисгемы. Для детерминированной системы (преобразования) эти функции считаются детерминированными и известными. Если функции (' и д нелинейны относительно ц, то (2) есть нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. 2й2 В гом случае, когда входное воздейсгвие е(г) содержит белый шум и (г), уравнение принято называть стохастическим диффереггциальнылг уравнением.
Если же ч(г) содержит только коррелировапное воздействие (сл. пр. с конечным, не нулевым интервалом корреляции), то соозветствующее дифференциальное уравнение будем называть флннгтуационнылг дифференцнальнылч уравнением, хотя в литературе встречаются и другие названия (уривнетге Лаггжевена, кинетическое уравнение). Формулировка задачи анализа остается прежней: предполагая известными параметры модели системы, т.
е. конкретный вид уравнения (2) и необходимые вероятностные характеристики входного процесса (воздействия) е(г), требуется найти нужные вероятностные характеристики выходного процесса г) (г). Те характеристики выходного процесса г1 (г), которые нужно находить, определяются физическим содержанием конкретной задачи. Обычно интересуются моментами (чаще всего м. о. и корреляционной функцией) выходного процесса ц(г) или же п. в, (чаще одномерной и реже двумерной). Известно, что характер решения нелинейного дифференциального уравнения зависит от его вида, формы внешнего воздействия и начальных условий, причем в общем случае невозможно записать решение в квадратурах. В этом состоит существенное отличие нелинейных инерционных преобразований сл. пр.
от линейных, для которых выходной процесс выражается через входной с помощью интеграла свертки. По этой же причине нелинейные инерционные преобразования принципиально отличаются от безынерционных преобразований и сводящихся к ним. При безынерционных (функциональных) преобразованиях сл. пр. известны сравнительно простые методы «пересчета» вероятностных характеристик (1.5.9).
Для нелинейных инерционных преобразований не существует единого метода решения. Метод решения нелинейных флюктуационных дифференциальных уравнений, в частности уравнения (2), определяется двумя факторами: 1) интенсивностью случайного воздействия г, (г) и 2) отношением интервала корреляции т„воздействия к характерной постоянной времени системы т,. При этом, говоря об интенсивности случайного воздействия, здесь имеем в виду не фактическую величину самого сл. пр.
е (г) (например, величину его дисперсии), а вызываемый им в системе эффект (случайный разброс). Отметим, что если система сложная и характеризуется несколькими постоянными времени, то в качестве времени т, следует брать минимальное из них. Аналогично, если внешнее случайное воздействие г, (г) характеризуется несколькими временами, то под т„следует понимать максимальное из них.
В зависимости от указанных двух факторов можно указать следующие частные случаи и соответствующие методы их рассмотрения. 263 1. С))учи!и!ое иоздеиствце малой ннтенснвиосги. В ла) ном СЛУЧПС НЕЗПНИСНХЛО ОЗ СООГНОН:СИНЯ Г,, И те:.!РНМЕПИМ МЕ)ОЛ лине цшз пцп!. Оп заюно'н)с)ся и п)м. '1!О с)шч;!Иа нахол1пся решение псхолного нелинейного дифференциального уравнения в отсутствие мплгпо случайного воздействия, а затем уравнение линеарпзуется о!носи!сльно малых случайных отклонений от нсвозмущснпых значений и делается пренебрежение нелинейными членами, содержащими зги случайные огклонения. В результпе для случайных отклонений получается линейное дифференциальное уравнение. Метолы преобразования сл.
пр. линейными системами были рассмотрены (ьз 4.2). Метод линеаризацин позволяет сравни.!слыло просто вычислить м. о. н корреляционную фупкпи)о процесса 11 (!) в стационарном и нес)ационпрном состояниях. Однако при негауссовском возмущении г,(!) весьма трудно (например, методом вычисления моментов) найти даже од~омерную и. в.
для г((!). 2. Случайное воздействие большой ин генсивности. Здесь нет елнного и универсально! о ме)ода решения; выбор мегода зависит от соотношения т„и т„,. а. Если т.>>т, и входное воздействие 6(1) предо)авляет собой гауссовский сл. пр., го применим хорошо разработанный аппарат марковских процессов. В частности, для анализа понедения динамических спс)еч можно использовать известное уравнение ФПК.
а задачи. связанные с достижеш!см границ (срывом слежения н автозахв лом), реп!ать с помон!ьк) уравнения Понтрягина. Данный случай характерен для мноп!х следящих радиотехнических устройств. Метод марковских процессов даже в существенно нелинейных задачах в принципе позволяет находить нсносредсгвенпо п. в. выходного процесса П(!). Сложность фактического получения решения для конкрегной задачи существенно зависит от порядка диффсрснциалыюго уравнения, описывающего поведение рассматриваемой системы, и вида начальных и граничных условий. К настоящему времени аналитическими и численными метолами получено много важных и орипншльных результатов основном 2)ля Одномерных и,!вук!Срных пс.!Инсйных сис!сч.
Применительно к динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями третьего и более высоких порядков, часто возникают трудности в получении точных и компактных аналитических и шслснпых результпов. В полобных случаях, когда возинка!От за.! Руднсння, иногда можно продуктивно воспользоваться явлением нормализации сл. пр. Иа выходе инерционной системы. При атом заранее принимается, что и. в. выходного .процесса является нормальной, и затем зем или иным способом вычисляются ее определяющие параметры.
В частности. если дисперсия выходного процесса чала, то ее можно определять из линеаризованно) о уравнения. а ы. о. из нелинейного 264 уравнения. Кроме такого метода применяют также квазилинсйный метод (час'!о называемый методом стгппстической линеаризации). При его применении предполагается заранее извес пюи и. в. выходного процесса, и поэтому он часто фактически базируется на том жс явлении нормализации. Метод марковских процессов достаточно полно представлен в математической н прикладной литературе', б. При т,«т„можно ограничиться решением задачи в квазистатическом приближении.
Оно характеризуется тем, что в первом приближении делается пренебрежение врел!енпой производной, например в уравнении (2). Посг!е .)того запача сводится к нелинейному безьшерционному преобразованию Х(!. П (!)) = -Р ( ) (!). 8 (!)) (5.1 3) Решив зто уравнение относгпельно П(1), получим )1(1)=с(), .;-())). При кназистатичсском приближении внешнее случат)ое возлсйстпис считас! ся пастОлььО ыс !лсппО изысняки Нимся. 11О сигу!сма с определенной деформацией бсзынер !конно Огслс)кипае с)о. В некоторых задачах и сведении ипсрц;юнно!.о нслнпс(шо! О преобразования к безьшерциснпк)му цспссообрпзио восио.1ьзов«п ься мсп)дом осрелнсния И.
И. Бо)олюоовп. В. СЛУЧай ПРОМСжУ)О ШЫХ ВРСМЕН КОРРСЛЯЦИИ (те Е-.„) ЯВЛЯС!СЯ наиболее сложным при анализе. Рял пслиненных сис см прн таком условии мо)кно апализирова)ь, используя функциональное представление Вольтсрра нелинейных диффсрен)Р!и )пнь1) урп. внсннй-. Озме!им., что области применения перечисленных мегодов анализа нринципиа!)ЬПО в!с Огранпчпвак) гся порядком пслн)ый1ю) О дифференциального уравнения, Однако с повышением !Орядка уравнения существенно возрпсгае! !рулоемкос)ь вычислений. В дальнейшем проиллк)стрируем методику применения разных ме)одов на конкретнь)х разно!ехничсских г!р)!ые(п!х.
Рассчо!Ронне ко)орых прело! авляе ! самостоятельный нптсрсс 5.2. КВухЗИСТАТИЧЕГКИ)б МЕТОД Оо!цие условия применения квазис)п ! Нческо! о ыстодп и его сущность бьши крепко указаны выше. Получим зтпм методом конкретные результпп ! применительно к детектировшнпо ' Сгратоновпч Р, Л. Избранные вопросы !еории флюк)уапи!! в ралио)охапке. М. Сов. радио, 1961 558 е, Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковеких пронесена и их приложения: Пер. е ан!л Под ред. )).
Н. Ширяева, .Мп Наука. 1969. 512 е. Гардинер 1). В. Стохае)ические методы в ее) вогнанных пауках. Г)ер с англдПод род. Р. Л. С!рагоновича.— Мп Мир, 1986. 526 е. - Шетеен М. Моделирование нелинейных систем па основе теории Винера)УТИИЭР..)981 Т 69, ))Г) 12.. 62 44 -62. 265 ЕЯ- Рис. 5.2.
Упро«1«синая схема типового радиоприемника случайных узкополосных процессов. Основными элементами типового радиоприемника являются УПЧ и детектор (рис. 5.2). Обычно УПЧ представляет собой линейный узкополосный четырехпол«оснпк. При воздействии на него широкополосного гауссовского п«ума л (Е) (например, собственных шумов предыду«цих каскадов) и полезного гармонического сигнала л(е) выходное напряжение можно пред- Рнс. 5.3 Схема ал«плнгути«ого де гектора ставить в виде (4.7.42); «(Е)=В(Е)соя(го Е+«)е(Е)1. (5.2.1) Для простоты предполагается, что частота полезного сигнала совпадает с центральной частотой полосы пропускания УПЧ.
Случайное напряжение «(е) воздействуе~ на детектор. Найдем характеристики случайного напряжения «)(Е) на выходе детектора, Проиллюстрируем методику применения квазистатистического метода на примере амплитудного детектора огибающей, схема которого изображена на рис. 53. Пусть нелинейный элемент Д (диод) имее~ вольт-амперную характеристику е'=я(п). и=« — «1. Считая равным нулю внутреннее сопротивление генератора входного напряжения «(е), из очевидных соотношений е, +!2=!, т(=- е««Ее=«2Я получим дифференциаль- нос уравнение и +(ВС)-«1=С-«я(« — и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
