Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Перейдем эенсрь к количественному анализу схемы ФАП первого порядка. 3. Марковская теории работы ФАП. При исслсцовании сне<ем, описываемых дифференциальными уравнениями П5), (!7) со случайными воздействиями, весьма пролуктивным являешься аппарат теории марковских процессов (4). Прц условии т„«т„где т„-время корреляции случайного воздействия; т„-характерная постоянная времени системы, реакцию сисэемы ца такое воздействие можно считать приближенно марковским процессом. Во многих практических приложениях ширина спектральной плотности внешнего случайного воздействия п(е) и фазовых несгабильностей <7<(<<<7< значительно превышает полосу удержания Л бссфильгровой системы ФАП.
Эго означает, что уравнение (15) можно рассматривать как с<охасгичсское дифференциальное уравнение <)<РЕ<(е = Л, — Л <й и <р — э' < (е), (5.4.22) гце Ь< (е) — эквивалентный гауссовский шум с нулевым м. о. и дельтообразной корреляционной функцией: 2НО (5.4.26) при граничном условии р( — к, е)=р(к, е) и условии нормировки (5.4.28) ) р(<р, е) <<О=1. (5.4.29) Наибольший интерес представляет выражение для стационарного распределения Еэа(<р)= 1пп р(<р, е). Очевидно, что в стацис х онарцом состоянии <)р„(<р)<<0<=0, и тогда из (25) для р„(<р) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение -- "( ) — — [(гэ — <Р) ( Р)) =О (5.4.30) 2Н! М (~ < (Е),' = О, М ',Г„(Е < ) ~ < (Е,)', = (Л< <<2) О (Е, — Е, ).
(5.4.23) Спектральная плотность Ле< этого бело~о шума определяется известной формулой (2.7.3): — — Я„(т)+А,э (т) <(т, (5.4.24) гце Ян (т) = М <<[<Е<(е (е)/<7<1 [а<<Р(<+ т)ее<)т1). Отметим, кстати, что уравнением, аналогичным (22), описывается поведение захваченного автогенератора [4). Диффузионный марковский процесс <р(е), заданный стохастическим цифференциальным уравнением (22), полностью определяется коэффициентами сноса и диффузии, которые соответственно равны а(<р)=Л,— Лн(п<р, ЕЕ=А<«<2.
Для таких коэффициентов уравнение ФПК цля одномерной п, в. р(<р, е) имеет вид — — — — — [(˄— Л гйп <р)р|. Будем в дальнейшем интересоваться не одномерной п. в. р(<р, е) для полной фазы, а и. в. р(<р, Е) для феезье. прикедсьчиэй к инпар<<телу — к«р< к. По определению, р(<р, е)= 2 р(<р+2)<я, е). Для отыскания р(<р„е) необходимо решить уравнение в частных производных (25) с начальным условием Р(р, О)=б(р-фо), — <Р<п, (5.4. 27) тле пу г,г г,п 12 1,0 ав 1 ри(ор) =- — ехр 6(ор) ехр ( — гт (х))!ух„!ср! < л.
(5.4.32) уа Ро=4Ло!Л'!: 0=-2)!А!5(А1,'гУ!) (5.4.31) Параме!р 0 характеризует отношение сигнал-шум, а Р,— -начальну!о расш ройку по частоте (Ро,Р=Л Л -относительная величина начальной расстройки по частоте), Решение уравнения (30), удовлетворяющее граничному условию 128) и условию нормировки (29), имеет вил ччто Здесь С(!Р)=00!Р+Рсоч!Р: М=-'(4лг!ехР(лРоЦ$7о (0)$г; (5.4.33) 1„-- забулированная функция Бесселя мнимого индекса и мнимого аргумента. Интеграл, входящий в (32), не выражается через известные функции. Однако в частном случае при нулевой начальной расстройке по частоте (О = 0) из (32) для п.
в, получаем простое выражение ри(ср)=ехр(0совйз)!2л70(0), Л =-О, (тр!<л, (5.4.34) !де 7 (х) -- функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента. П. в. (34) для разности фаз колебаний в стационарном режиме работы ФАП в литературе часто называют распределением Тихонова . На рис. 5.9 приведены графики п. в, (34). Они имеют симметричную форму с нулевым м. о. По мере увеличения парамет ра 0 от нуля до бесконечности п.
в. (34) изменяется от равномерной до дельтообразной. Отме~им, кстати, чго при надлежащем подборе параметров п. в. (34) почти совпадает с и. в. (4.7.48). Это наглядно видно из рис. 5.9, на котором штриховыми линиями изображены и. в. (4.7.48) для нескольких значений отношения сигнал-шум о. При больших отношениях сигнал-шум (а>3) приближенно можно полагать Ржаг. Во многих случаях предпочтительнее оперировать не п, в. (4.7.48), а и в. (34) ввиду простоты аналитического выражения последней. Действительно, если отношение сигнал-шум мало (0 «1), то можно воспользоваться приближенными равенствами ехр(0соаор)=1, 7 (0)-1.
При этом получим равномерную и. вд ' Тихонов В. И. Влияние шумов на работу схемь! фазовой автоподстройки час!озын'Автоматика и телемеханнка. 1959.— Т 20. № 9. С. 1188 — 1196. 282 пв а» и» -ж -г -! и ! г зги а пг и» ав ав упт/и Рнс. 5.10. Значения дисперсии разности фаз, полученные разными методами при '!о=п Рнс. 5.9.
Стационарные плотности вероятности приведенной разности фаз в отсутствие начальной расстройка 10о †- О) (5.4.37) я=1 Ри(!Р)=-112л, М(!Р! — — О, .Р,=М(сит) =л!!3, ~!Р!<л. Когда отногпение сигнал-шум велико (0» 1) и, следовательно, обеспечивается точное слежение за фазой сигнала (!р«1), справедливы приближенные соотноцгения сов !р ж 1 — орг/2, Хо (0) =(2л0) '" ехр О. На основании их из (34) приходим к нормальной п. вл Ри(сР)=(2л0 ) '"ехР( — сРг120 ), 0 =0 ', !сР(<л. (5.43б) Для промежуточных значений 0 дисперсию разности фаз при 0 =0 можно вычислить по формуле я г и' 4 ( — 1)" т„(21) 0 = р ри(р)жр= + т„(гу) „ которая получается из (34) при использовании разложения ехр (+ 0 сов !р) = Ео (0)+ 2 „'1 (+ 1) я 7„(0) сов и !р.
(5.4.38) При наличии начальной рагстройки по частоге (1) ФО) и. в. 1«о(93) осзаю)сн Унимолальными, но сзановЯтсн асимметричными (4]. 5.5. ДРУ1'ИЕ МГТОДЪ! АНАЛИЗА ФАП. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ Применим лля анализа работы ФАП первого порядка, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением вида (5.4.15), другие методы. указанные в (] 5 1. Прн этом каждый раз будем предполагать, что необходимые условия для их применения выполнены. 1. Метол линеаризации. Ради прос)оты и наглядности опустим фазовые флюкгуации, т. е. в уравнении (5.4.15) положим х]х(г) =-О.
Допустим, что случайное воздействие, (г) имеет малую интенсивность по сравнению с амплитудой А, полезного гармонического сигнала (А,1)„ " » 1). Из ранее описанной работы ФАП (см. рис, 5.8) ясно, что малые случайные воздейсгвия будут вызывать (по крайней мере в стационарном режиме рабогы) небольшие случайные колебания разности фаз гр(1) около неко горого устойчивого состояния равновесии, например хр' =агсяп(Ло,'Л)=-М (<Р). При этом работа будет происходизь практически на линейном участке характеристики рис. 5.7. Поэтому применим метод линеаризации— уравнение (5.4.15) можно линеаризовать о~носительно малых флюкт.уационных отклонений ог невозмущенных значений и пренебречь нелинейными членами, содержащими эти флюктуационные отклонения. Введем в рассмотрение случайные колебания разности фаз Х(г) = гр (1) — гро и, УчитываЯ нх малость, положим гйп )( = У, сов )( = 1.
С учетом этих равенств уравнение (5.4.15) после элементарных преобразований примет вид -+(л — Ло) Х = — Л вЂ” ' — (Х соз хро+ А,(х) +81пхро) — — — -(созгро — У 81пгро) .А, Дисперсии квалратурных составляю1цих А (г) и А,(г) согласно (5.4.7) равны 1)„. Поэтому в правой части уравнения случайными составляющими )(Ас(г)/А, и уА«(г)1А,, как имеющими второй порядок малое~и по сравнению с остальными, можно пренебречь. Таким образом, в линейном приближении приходим к следующему линейному дифференциальному уравнению для флюк1уаций разности фаз: х111г11+ (Л' — Л,') и'7(= — Л«(1), (5.5.1) 284 где «(г) = гйп гр,'3А,(г)/А, — соя хро А,(г)!х(,.
(5.5.2) На основании соотношений (5,4.7) нетрудно убедиться, что случайная функция «(г) представляет собой гауссовский стациона ный процесс с нулевым м. о. и корреляционной функцией й,(т =А;21)„р(т), азовые флюктуацин 3((г) являются гауссовским процессом, поскольку они описываются линейным дифференциальным уравнением (1), в правую часть которого входит гауссовский случайный процесс «(г).
В стационарном состоянии м. о. фазовых флюктуаций равно нулю (М ()1) = О), а дисперсия находится по известной формуле 1)=Р= х и =Лх) ехр(-и /Лх Лох)уц ( Я (о)ехр( — (и-о) /Л' — Лох]Ао о Ю Для простоты вычислений примем р(т)=-ехр( — сх! с~). Такое выражение получается в том случае, когда перед ФАП включен колебательный контур, на вход которого воздействует БГШ. В результате вычислений; 1) = — "; — + 1 — - о ! — —" . (5.5.3) В частном случае при Ло=О отсюда имеем 1) ч = (1)„1А х ) Л 7(се+ Л). (5.5.4) При Ло- Л из (3) следует 1) — «оо, что практически невозможно. Поэтому метод линеаризаций не применим при больших значениях начальной расстройки (Л =Л). Таким образом, применительно к схеме ФАП первого порядка метод линеаризации позволяет сравнительно просто вычислить м. о.
и корреляционную функцию фазового рассогласования. Однако он принципиально не позволяет обнаружить эффекты (перескоки фазы, срыв синхронизации, среднее смещение частоты), связанные с нелинейными свойствами системы и, следовательно, учесть ее специфику. 2. Квазилипейиый метод. Другой возможный подход к приближенному исследованию системы ФАП основан на применении квазилинейного метода (так называемого метода статистической линеаризации) '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
