Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 55
Текст из файла (страница 55)
При этом для решения 239 10 в 2247 конкретных задач необходимы следящие измерители (автодальномер, фазовая и частотная автоподстройка, автоматическая регулировка усиления и др.) или многоканальные устройства. Основное назначение таких измерителей †автоматическ слежение за интересующим нас параметром полезного сигнала с приемлемой ошибкой. При наличии случайных помех огпибка слежения будет случайной и временами может достигать настолько больших значений, что дальнейшее слежение практически прекратится, т, е. произойдет срыв слежения.
Одной из важных характеристик, дающих представление о нормальном функционировании подобных систем, является случайное время т первого достижения ошибкой заданных границ. К подобным проблемам сводятся разнообразные задачи оценки надежности и устойчивости технических систем, задачи определения периодов занятости, времени ожидания и моментов потери требований в системах массового обслуживания и др.
7. Многие приборы, применяемые в сейсмологии, метеорологии и медицине, основаны на измерении «частоты», высоты и длительности выбросов наблюдаемых процессов случайного характера. При этом возникает возможность заменить трудоемкий и субъективный анализ осциллограмм сравнительно простой автоматической регистрацией показаний специализированных вычислителей. Приведенными примерами не исчерпывается область применения теории выбросов сл. пр., однако они позволяют составить некоторое представление о широком научно-прикладном значении, которое имеют исследования по проблеме пересечений.
Важность исследований по проблеме пересечений была осознана сравнительно давно. Первые фундаментальные результаты в этом направлении принадлежат Л. С. Понтрягину (1933 г.) и посвящены вычислению характеристики времени первого достижения границ марковскими сл. пр. Прогрессивную роль в разви~ии разносторонних исследований выбросов как важных характеристик сл. пр. сыграла теоретическая работа С. О. Райса (1945 г.) ', в которой для некоторых видов случайных процессов получены формулы для среднего числа выбросов и распределения максимумов, а также указан приближенный путь решения задачи о п. в.
длительности выбросов. В последующие годы частные задачи проблемы пересечений рассматривались в ряде теоретических и экспериментальных работ, итоговые результаты которых изложены в монографии з. В проблеме пересечений для ряда часто встречающихся в радиотехнике сл. пр. известны следующие результаты: мате- магическая методика вычисления вероятностных характеристик времени то первого достижения границ марковским процессом; общий путь вычисления п. в, для т и 9; формулы для вычисления м. о. и дисперсии числа пересечений л и п. в, с.
в. Ц и а также м. о. т и 9. Ниже из общей проблемы пересечений рассмотрены лишь два частных примера: о «дрожании» момента срабатывания реле из-за шумов и вычисление среднего числа пересечений и сл. пр. 2. Нестабильность момента срабатывания реле. Пусть на пороговое устройство типа электронного реле воздействует сумма детерминированного импульсного сигнала я(1) и помехи г,(Г) малой интенсивности. Считаем, что пороговое устройство является безынерционным: оно срабатывает каждый раз, когда воздействующее напряжение превышает некоторое пороговое значение О. Пусть в отсутствие помех реле срабатывает от полезного импульса у(Г) в некоторый момент времени го (рис.
5.12), определяемый равенством .т(Го)=Н при з' =.я'(го)=гЬ(Г )/гГГ>9, (5.б.1) где я' — крутизна фронта импульса з(1) на уровне О. При наличии помех г,(Г) реле срабатывает в другой момент времени Го=уо+Л, где Л вЂ” смегцение момента срабатывания реле. Ясно, что смещение Л является с. в., разной для разных реализаций помех.
Для того чтобы теперь произошло срабатывание реле, должны выполняться условия у('о+А)+б,(1о+б)=о з'(Го+21)+1'(Го+21)>9 (5.0.2) Примем в качестве помехи Р,(1) стационарный дифференцируемый процесс с заданной совместной п. в. р(б„р') для процесса ~(1) и его производной Р,'(1) в один и тот же момент времени. Поскольку помеха с, (1) предполагается малой, то смещение 291 ' В!се В. О. Ма1йегоа11са! Апа!уз1з ог Вапх1ощ !Чо1зеоВВТ1: — 1945.— Уоь 24, № 1.— Р. 46 — 15б.
-' Тихонов В. И., Хименко В. И. Выбросы траекторий случайных проиессов.— Мс Наука, 1937.— 304 с. Рис. 5.!2. Смещение момента срабатыва- ния реле из-за помех Рис. 5.13. Условия наличия положительного выброса при «' = сопя! > 0 Л будет тоже малой величиной. Для малых значений Л дифференцируемые функции х(~) и г,(~) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки ~ и ограничиться линейными относительно Л членами (линейное приближение): з(~„+Л)я.к(~о)+з'„Л, ~(~,+Л)=~(~„)+~'(~„)Л.
(5.6.3) При этом условия срабатывания реле (2) с учетом (1) примут вид гоЛ+1(~о)+1 (~о)Л=О 1 (~о)> хо или Л= 1(~о) ~зо+1'(~оЦ ' г4'(~о)> зо (5,6.4) Эти соотношения позволяют получить и. в. смещения Л по известной совместной п. в. р(г„~'). На практике часто интересуются дисперсией смещения 12 . Для нее из (4) в частном, но важном случае можно получить очень простую формулу. Дисперсия 1)~ для производной сл.
пр. 1,(~) с корзиеляционной функциеи 11 (т)=13 г(т) равна 17,= — 12 с(~г(0)/с(т . Если выполняется неравенство х~>>>12~"~, то в знаменателе формулы (4) можно пренебречь вторым слагаемым, т. е. Л= — г,(~ )/зо. Отсюда следует, что 17,=12 ф'о)'. (5.6.5) Если принять в качестве основной количественной характеристики нестабильности момента срабатывания реле дисперсию .Ок, то естественно интересоваться условиями, при которых она имеет по возможности малое значение. Уменьшения величины 1) можно достигнуть двумя путями: выбором вида полезного сигнала з(~), а при выбранном сигнале — оптимальной обработкой его.
Такая обработка детерминированного сигнала на фоне аддитивной стационарной помехи с известной корреляционной функцией выполняется оптимальным фильтром. Поставим перед электронным реле оптимальный фильтр для производной от сигнала з'(~). На выходе фильтра в определенный момент времени ~ будет получено наибольшее отношение пикового значения производной сигнала к среднеквадратическому значению выходного шума.
При этом величина 12 для заданного сигнала будет минимальной. Формулой (5) можно воспользоваться для приближенного решения ряда задач (в частности, оценки з.очности определения временного положения радиоимиульса па фоне адцитивного шума, сочности работы тактовой синхронизации, получения распределения интервалов между нулями гармонического колебания и слабого гауссовского шума и др.). Среднее число пересечений.
Получим формулу для среднего числа пересечений вещественным сл. пр. 1, (2) фиксированного уровня Н в интервале (О, Т). Предполагается, что процесс дифференцируем и известна совместная п. в. р(~(~), г,'(~))=р(г„г,'; ~) для значений процесса г,(~) и его производной в один и тот оке момент времени 6 Реализация процесса г,(() пересекает фиксированный уровень Н в некоторой произвольной точке Г=(о если в окрестности этой точки [~,.— Лг)2, О+Л~(2] при Л~>0 выполняется условие (1(~,— Лг(2)-Н)(((1,+Л~/2) — Н ~<0.
(5.6.6) Очевидно, что пересечение уровня Н може~ происходить снизу вверх, т. е. с положительной производной Ц(с,)=-Н, г,'(к,)>0, (5.6.7) или сверху вниз, т. е. с отрицательной производной ЦО) = Н, Ц (О) < О. (5.6.8) При (,'((,) >() условие (6) эквивалентно условиям с (~) < Н в интервале (г,— Л(/2, с,) и Ц(~)>Н в интервале (г,, ~,+Лг/2). Пересечение в этом случае можно назвать положительным выбросом (положительным пересечением).
В противоположном случае, при г,'(~,.)<0, условие (6) эквивалентно выполнению условий с(~)>Н в интервале 1и(1,— Л1/2, 0) и с(()<Н при ~н(~„г,+Л~/2). Такое пересечение принято называть отрицательным выбросом (пересечением). Формулировка условий пересечения реализацией ь(~) уровня Н в разных задачах может быть различной. Однако при указанных выше условиях различные определения по существу приводят к одинаковым конечным результатам. Обозначим какую-либо конкретную реализацию процесса г,(~) через г," (1).
Разобьем полный интервал времени (О, Т1 на равных примыкающих, но непересекающихся малых подынтервалов Л~,.=Л2=сопв1, причем 9Л|=Т. Возьмем длину элементарного подынтервала Лг настолько малой, чтобы можно было пренебречь вероятностью более чем одного пересечения на этом подынтервале. Для «непрерывной» .функции г,(~) это условие можно выполнить, так как для любых ~ и ~', находящихся на одном малом подынтервале, функция близка к прямой: Ф') =Ф)+~'( )( '- ) (5.6.9) Поэтому на малом Л! практически может быть не более одного пересечения, т. е. имеется лишь две возможности: на интервале Л~ не будет выброса (с вероятностью р ) или же будет один выброс (с вероятностью р, =1 — ро). Поставим каждой реализации ~" (~) в соответствие 9 с.
в. Б)', б~', ..., б,", ..., б'„', определенные следующим образом. С. в. 8 о может принимать лишь два значения 0 и 1, причем 8)9=1. если в 22м подынтервале реализация ~'о(~) пересекает уровень Н снизу вверх, и 8)9=0 в про~ианом случае. 292 Очсвидно, что число положительных выбросов реализации 1«11(т) на интервале (О, Т] определяется суммой л1о(Н, Т)= ,'„8,"'. 1=' 1 С. в.
и«'(Н, Т) можно назвать счетчиком числа выбросов. М. о. (среднее значение) числа выбросов равно Н (Н, Т)=М(льэ(Н, Т)) = 2' М(б,"), 1=1 где операция м. о. относится к ансамблю реализаций с разными номерами В соответствии с определением с. в. Б«' ее м. о, на фиксированном подынтервале Лтз равно М(б)в) =0 Р(б)9=0)+1 Р(8)л=(т1=Р~~=1)=рт. (5.6.!2) Вычислим вероятность р, наличия положительного выброса на подынтервале Лтз Пусть точка т = тз соответствует началу элементарного подыйтервала Лт, и пройзводная в этой точке г,'(тз) >0 фиксирована.
Воспользовавщись линейной аппроксимацией (9), путем геометрического построения (рис. 5.13) нетрудно убедиться, что в этом случае на подынтервале Лг, будут иметь положительный выброс только те реализации процесса, которые удовлетворяют условию Н вЂ” Л~э<(тт) < Н, Л~з= ~'(тз)Лтг Поэтому для р, можем написать р, = 1'(Н вЂ” Лц,.< с(т,.) < Н, ц'(тэ) >О). (5.6.1 3) Имея в виду последующий предельный переход и полагая Лт, и Л9, малыми величинами, вероятность события, указанного в фигурных скобках, просто выражается через совместную п. в.
р(с (т), г,' (т)) для процесса г,(т) и его производной Г'(т) в один и тот же момент времени. Согласно определению п. в. имеем Р(Н вЂ” Л~э<~(т )<Н, «'<(,''(тз)<(,''+тть') =р(Н, (,''; т )Лг, т(г,'. Для нахождения вероятности р, нужно в правую часть этого равенства подставитыЦ2 = с 'Лт и затем согласно (! 3) выполнить интегрирование по всем положительным значениям производной г,'(т) от 0 до со: р, =Лт1) ~'р(Н, г,', тз)~Ц'. (5.6.14) о Подставив это выражение в формулу (11) и перейдя затем к пределу при Лтэ — Й, 9-+со, получим окончательную формулу для среднего числа положительных выбросов 294 Н~(Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
