Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Основная задача математической статистики — разработка методов нахождения оценок и исследование ~очности их прибли>кения к неиз>зестггыы статистическим характеристикам. Задачи оптимального приема сигналов. Покажем непосредственную связь некоторых задач, возникаю>них при опгимальном приеме сигналов, с перечисленными задачами математическойг статистики. В ряде случаев прглнятое колебание (наблюдение) можно представить в виде Ц(г)=. (г, ))+>го(г), 0 <1 < Т. (6.1.1) Здесь з(0 ) ) — — полезный сигнал, являющийся детерминированной и известной функцией аргументов г и )., ), = () г, ...

..., ).,„) — — параметры, ог которых зависит радиосигнал. Например, прямоугольный радиоимпульс определяется пя~ью параметрами: амплитудой. частотой, начальной фазой, длительностью и моментом появления (относительно принятого отсчега времени). Под гго(г подразумевается БГШ (см. ниже). ри решении задач теории оптимального приема сигналов ответ должен быль получен на основе предварительных (априорных) сведений о колебании с (г)„ггодггежащем приему, и надлежащей обработке реализации принятого колебания (наблюдаемого процесса).

Заметим, что если бы мы не располагали никакими предварительными сведениями о сигнале (т. е. о его форме и параметрах), то его нельзя было бы отггичить от любой помехи. Наоборот, прием детерминировшшого сигнала не доставляет никакой информации: если сигнал точно известен, то его можно воспроизвести на приемной стороне. Поэтому носителями полезной информации могут быть толыго неизвестные параметры сигнала. Относительно априорных сведений возмо>кны разные ситуации.

Если в прон>лом существовал и изучался ансамбль ситуаций, аналогичных условиям данного приема, то можно задать физически обоснованную априорную п. в. параметров сигнала. Однако гораздо чаще ца основании физических соображений бывают. известггы лишь пределы изменения параметров. В подобных случяял априорную и.

в. параметра обычно полагают постоянной внутри этого интервала и равной нулю вне его. Вообще следует иметь в виду, что выбор конкретного вида априорного расггределения параметра не является ограничитель- 300 (6.1.3) 30! ным. Роль начальных, априорных сведений уменыпается с увеличением «обьемя» наблюдений. При малом объеме наблюдений, когда априорные распределения сильно влияют на конечный результат, алгоритмы обработки получаются разными и работают плохо. При большом обьеме наблюдений оптимальные алгоритмы работают хорошо и асимптотически одинаково, т.

е. оказываются асимптотически нечувствительными к априорному распределению. Такой результат не удивителен и по существу подтверждает хорошо известный факт, что стационарный режим работы системы (в частности, с одним устойчивым состоянием равновесия), если он существует, не зависи~ от начальных условий в системе. Таким образом, выбор априорного распределения не особенно обязываюгций.

При его задании кроме физических ограничений следует также учитывать соображения удобства последующих выкладок н простоту конечных результатов. Возвратимся к записи (1). В различных радиосистемах приходится иметь дело с разными видами помех. Однако во всех случаях является общим н неизбежным наличие гауссовского флюктуационного шума, обусловленного естественными причинами, которые принципиально неустранимы (тепловые и другие шумы окружающего пространства и собственные шумы радиоприемных устройств). Тепловые шумы пространства, окружающего приемную антенну, принимаются ею вместе с полезным сиг.налом и суммируются с собственным шумом радиоприемного устройства.

Помехи, ко>орые суммируются с сигналом линейно, называются сгддитиеггылги. Следовательно, представление принятого колебания в форме (1) отражает основной вариант- -наличие адлитивного широкополосного гауссовского шумя, который можно рассма грнвать как БГШ по(г) со следующими характерис.гиками: !хз (по(г)) = О, М (>го (гг ) ио(гг)) =(гУо ~2) б(гг — г, ). (6.1.2) В зависимости ог целевого назначения разные системы передачи информации работают в различных условиях и к ним предъявляются разные требования.

Исходя из тпих требований, а также гиз методических соображений, для типовых систем можно сформулировать несколько частных задач, рассматриваемых в теории оптимального приема сигналов. Укажем некоторые из них и покажем, что они сводятся к перечисленным задачам математической статистики. Задачи обнаружения и различения сигналов на фоне шума в формализованном виде можно сформулировать так. Пусть в принятом колебании с(г) может быть только один из двух сигналов гп (б Хг) или зг(г, кг): с(г)=9хг(г, Хг)+(! — 9)зг(г ) г)+>го(г) 0<г< Т Здесь 0--случайная величина, принимающая лишь два возможных .ггга5<еггия< 0=1 (присутствует сигнал в,) с вероятностью р, и 0= — 0 (присутствует сигнал в,) с вероятностью р, = 1 — р,. Требуется по принятой конкретной реализации < (г) на интервале Т решить оптимальным образом, присутствует ли сигнал вг или вг.

Иначе говоря, требуезся оценить значение дискретного параметра (сл. в.) О. !1ри в,(г, ).>)=0 задача различения двух сигналов переходит в задачу обнару>кения сигнала в,(г, ).г) па фоне шума, которая характерна для радиолокации. Задачу различения можно сформулировать для любого параметра сигнала, принимающего дискретные значения.

Эта задача характерна для различных цифровых систем связи. Сформулированные задачи непосредственно относятся к проблеме статистической проверки гипотез. Однако их можно также трактовать как задачу оценки дискретной сл. в. О. Приведем типовую формулировку задачи оценки параметров. Пусть какой-либо параметр 3 г сигнала в(г, х) является постоянной, но неизвестной или сл.

в. с априорной и. в. р „()<г). Необходимо с минимальной погрешностью определить значение этого параметра Х, в принятой реализации (! ). Если сигнал зависит от нескольких случайных параметров, то может быть поставлена задача о совместной оценке двух и болыпего числа параметров, причем некоторые из них могут быть непрерывными сл, в., а другие дискретными. Помимо оценки параметров сигнала можно также интересоваться оценками некоторых параметров помехи ггв(г). Параметры сигнала, интересующие нас в данной задаче и подлежагцие непосредственной оценке, принято называть предстовллюгг!ими (иггг)горн<а<)ионггылги, сугг)есгпвсннылги), а остальные параметры — — соггунгсгггвуюи!ггми или сопровождающими (неин!7>орлгонионггылт, ггесуи!еспгвеггнылги ).

В радиотехнических приложениях в качестве представляющих наиболее часто выступают время появления, частот а и фаза радиоимпульса, а также другие параметры, характеризующие цель (размер, форма, отражающая поверхность) и характер ее движения (дальность, скорость, ускорение). Задача оценки параметров является характерной для измерительной техники, радиолокации, радионавигации, радиосвязи н др. Резуль.татом решения задачи являются структурные схемы соответствующих оптимальных измерительных систем и предельные точности измерения параметров.

Чтобы свести сформулированную задачу оценки параметров к той, которая рассматривается в математической статистике, нужно записать апостериорную и. в. оцениваемых параметров в принимаемом колебании (1). Апоетериорная плотность вероятности. Предположим пока., что производится дискретное наблюдение и сигнал в(б 7<) зависит 302 от одного непрерывного параметра 3., имеющего априорную п. в.

Р„„()5). Все то, что можно узнать о параметре 3. после приема колебания с'„, заключено в условной п. в. Рг>5(75) Р()5! (50)5 (6.1.4) называемой апостнериорной плотностью веролгиноспт. Согласно известной теореме умножения вероятностей имеем Р(Л ~о)=Р<(< в)Р()5!С о)=рг.(7<)Р(С о|) ). (6.1.5) Отбрасывая левую часть равенства и учитывая, что р<(с,') не зависит от интересующего нас параметра )5, па основании (4) и (5) можем написать ! „5(Х) =Р() ! 1 о) =!<Р,„().) р(Г,<> ! ).), (6.1.6) ! =5 „,() )р(1".!) ) л 1-' Рассматриваемая как функция от ). ус.повная плотность вероятности р(1о' )Х)=7.(7) (6.!.7) называется фуггкг)ггегг правдоподобия, При фиксированном значении Г,)>' она показывае~, >гас<<оды<о одно возможное значение параметра ) иболее правдоподобно», чем другое. Формула (6) по существу представляет математическую запись известной теоремы Байес50.

которая дает правило формирования апостериорного знания из априорных сведений и резуль~атов опыта (обработки принятого колебания). Если параметр ) является дискретной сл. в. и может принимать только одно из нескольких возможных значений ).г, )<г, ..., )<г с априорными вероятностями р,(),), г'=-1, !', то апостериорные вероятности этих значений определяются формулой Г ! — г р„().г)=Г<рв„(г<,)Е(7 г), 1 = ! ,'"„7>„„().г) Ц).г) ' (6.1.0) ~.,— г Формула (бг) обобщается на несколько параметров. Если сигнал зависи~ от т непрерывных параметров ) г, 3.2, ..., )<„„ т.

е. в(г, )5„..., 7 ), то формулу (6) следует записать в виде р»Д г, ..., 3„,)=7<р„„()5>, ..., )5,„)7 () г, ..., 3. ), (6.1.9) где коэффициент 7< по-прежнему определяется из условия нормировки. Эта формула остается в силе н в том случае„когда среди параметров ) „..., ). некоторые являются непрерывными сл. в., а остальные — дискретными. Хотя в записи сигнала все параметры выступают в качестве равноправных, однако в конкретной задаче в качестве представляющих может выступать лишь часть из них. Обозначим 303 я — ехр — — ~ л02; Л (6.1.1 4) совокупност] представля]ощих параметров сигнала тек]ором ).1=-(). „..., )к), а сопу]ствупо цих- вектором ],'0= 1111, „,.

Характеристики

Список файлов книги