Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В простейшем варианте идея квазилинейного метода заключается в том, что действительная безынерционная ' Синицин И. И. Метод статистической ««инеаризацлий Автоматика и телемеханика. - 1974.— Т. 35, № 5. С. 82 — 94, Деиеле Ж. А. Пороговый критерий для синхронной демодуляцииЦТИИЭР— 19бЗ.--Т. 51, № 2.— С. 380-- 387. 285 нелинейность заменяется эквивалентным (в некотором вероятностном смысле) коэффициентом усиления линейного элемента. Г!рименительно к ФАП по сугцеству предпринимается попытка расширить область справедливости линейной аппроксимации гйп гр = гр ну~ем введения эквивалентного усиления.
Г!риведем здесь способ вычисления дисперсии фазовой ошибки для случая отсутствия начальной расстройки (Ло=О), В системе ФАП первого порядка (5.4.15) единственным нелйггейным элементом является фазовый детектор, который обусловливает появление в уравнении (5.4.15) нелинейности /'(гр)=Лгйп гр. Дифференциальное усиление такой нелинейности /'(цг) =т(/г'т/гр=Лсозцг.
Заменим нелинейный элемент с характеристикой Т(гр) осредненпым коэффициентом усиления /с= ) /'(гр)р(гр)йр=Л ) созцгр(цг)г/тр, (5.5.5) где 77(цг)---и. в. фазовой ошибки. Обычно принимают, что п. в. р(цг) является нормальной (апалогично широко известному методу гауссовской аппроксимации); р(цг)=(2лР ) икехр( — гр~/2Р ). Подставив эту плотность вероятности в (5) и выполнив интегрирование, получим /е=Лехр( — Р /2). После замены в уравнении (5.4.15) нелинейности на «эквивалентный» коэффициент усиления /е путем обычного линейного анализа для определения дисперсии разности фаз получим следующее трансцендентное уравнение: Р ехр( — Р /2)=(Р„/Азг)Л/гх. (5.5.6) Таким образом, квазилинейный метод позволяет приближенно вычислить м.
о. и дисперсию фазового рассогласования. Однако этому методу присущи все недостатки метода обычной линеаризации (исключаются из рассмотрения существенные нелинейные эффекты) и не всегда оправданным является использование гауссовского приближения. 3. Сравнение результатов.
Приведенные выше результаты позволяют сравнить разные методы на примере исследования ФАП первого порядка по точности вычисления дисперсии разности фаз в том частном случае, когда начальная расстройка по частоте отсутствуег (Л =О) и, следовательно, М (гр) =О. Соответствующие результаты показаны на рис. 5.10, где по оси абсцисс отложена величина 1/Р = ЛР„/гкА '„характеризуюгцая отношение сигнал-шум на входе системы, а по оси ординат — дисперсия Р .
Кривая 1 соответствует методу линеаризации [формула (4)), 2 — квазилинейному методу [формула (6)], 3 --марковской теории [формула (5.4.37)). На рисунке также приведена кривая 4, получен28б ная методом функционального разложения Вольтерра (с учетом первых пяти членов)': Р =Р '+(1/2)Р' з+(13/14)Р (5.5.7) Из сравнения кривых видно, что метод линеаризации дает заниженные результаты по сравнению с марковской теорией.
Погрешность результатов не превышает 10% при использовании квазилинейного метода для Р' ' с0,65 и при использовании функционального разложения для Р ' с 0,8. Для отношений сигнал-шум Р>5 все методы дают практически одинаковые результаты. Отметим, что области применимости перечисленных методов анализа систем ФАП принципиально не ограничиваются порядком нелинейного дифференциального уравнения со случайной правой частью.
Однако с повышением порядка уравнения существенно возрастает трудоемкость вычислений. 5.6. ПРОБЛЕМА ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 1. Содержание проблемы. Приведем основные определения и укажем практическую значимость отдельных задач, связанных с проблемой пересечений. Все физически реальные сл.
пр. Г,(г) предо~валяют собой непрерывные функции времени. Пример отдельной реализации такого процесса приведен на рис. 5.! 1, Функция Г (г), г и [О, Т), может несколько раз пересекать фиксированный уровень Н или заданную кривую /г(г) снизу вверх (с положительной производной), причем в момент времени т впервые происходит такое пересечение (т. е. в первый раз снизу достигается граница Н). Поэтому величину то можно назвать временем ггервого доспгижени» границы. Реализация с (!) па конечном временном интервале [О, Т) имеет конечное число максимумов и,„.„и минимумов и;„с различными высотами Г„„„ причем в момент времени г=-г„, реализация имеет наибольший (абсолютный) максимум Когда траектория процесса с(у) пересекает уровень Н снизу вверх, имеет место положипгельный выброс (положительное пересечение); если же уровень Н пересекается сверху вниз — отрицапгельный выброс (отрицательное пересечение).
В соответствии с этим можно сказать, что реализация с (г) длительности Т имеет и (на рис. 5.11 их три) положительных (отрицательных) выбросов на уровне Н, а указанные на рисунке величины х и О можно назвать соответственно длительностлми положительных и от/гицагггельных выб/гогов (часто величину О называют также длительностью иггпгервалов между выоросами). ' Ваи Трнс. Функциональные мстолы анализа нелинейного повеЛения фазовой автополстройки чаетотыбТИИЭР.— !964.— Т. 52, № 8. С. 957 975. 287 Рис Х11 К опрслсцснинт осповныт характеристик выбросов сл>чайного процесса Все перечисленные харакгеристики можно отнести к характеристикам выбросов сл, пр., поскольку они связаны с особенностями поведения положительных и отрицаседьных выбросов реализации с.)г).
гн )О. Т), на некотором уровне Н. Величины т, О и '„, в пределах одной реализации могут принимать несколько значений и вместе с величинами то, и, и а„, инни и с„ни изменяются случайным образом от одной реализации к другой (в завпспчосгц от вида процесса '(1). уровня и и интервала Г). Проблема пересечений включает в себя определение вероягностных характеристик с. в, и, и „, и;„, т,, т, 9, г,„, с„,„по извесытым необхочимым вероятностным характеристикам сл. пр. г, (1). Помимо то1 о, ч го эт и с.
в. представляют интерес сами по себе как детальные характеристики процесса сС1), знание их необходимо для решения разноплановых практических задач. Приведем несколько конкретных примеров из области радиотехники. теории надежносги н массового обслуживания, механики и медицины, хотя этими примерами не исчерпывается область применения результатов. !. В радиотехнических устройствах часто применяются электронные реле и триггеры. Они используются в счетно-рептающих устройствах, в радиосвязных, радионавигационных и радиолокационных системах, в различных устройствах кодирования и деколирования информации, в дозимсгрических приборах и приборах для измерения времени и частоты колебаний, в системах синхронизации и лр. Обработка полезных (информационных) сигналов всегда осуществляется при наличии помех (в частности, флюктуационных шумов, органически присущих самим элементам радиоустройств).
Анализ совместного воздействия на реле полезных сигналов и помех зависит от отношения «порогового» напряжения срабатывания реле к интенсивности помех. Если уровень помех мал по сравнению с пороговым напряжением, то можно пренебречь маловероятнычи ложными срабатываниями реле. Слабые помехи будут вызывать небольшое «дрожание» как момента срабатывания реле, гак н момен~а окончания его работы (с. 29!). В сех случаях, когда интенсивность помех сравнима или преиьпп;сег пороговое напряжение, будут происходить ложные зкв срабатывания реле, которые приводят к ошибкам фушсционирования соответствующих устройств. Если допустимо рассматривать реле как практически безынерционное устройство, то число ложных срабатываний реле за время Т будет определяться числом и положительных выбросов помех, превышагощих порог срабатывания реле.
При учете инерционных свойств реле для определения числа ложных срабатываний нужно кроме и знать п. в. случайных величин т и О. 2. По своей формулировке задача анализа работы инерционного реле при воздействии на него регулярных импульсов и помех близка к классу распространенных задач теории очередей нли теории массового обслуживания; иначе говоря, работа инерционного реле в таких условиях может служить моделью одноканальной системы массового обслуживания. При этом время формирования выходного импульса реле можно интерпретировать как время обслуживания одной заявки„регулярный поток импульсов — как регулярный поток требований, положительные выбросы помех- как случайный поток непредусмотренных заявок и т. д. Описание подобных систем базируется на вероятностных характеристиках с. в.
и, т, О. 3. Одним из распространенных методов сжатия информации в информационно-измерительных системах является «жесткое» (идеальное) симметричное амплитудное ограничение. Обработка непрерывного процесса г, П) заменяется при этом обработкой его знаковой функции, в которой сохраняется информация лишь о пересечениях траекторией Ц(г), га )О, 71 нулевого уровня. Распределение числа «нулей» и длительности интервалов между нулевыми пересечениями относится в подобных системах к основным информационным параметрам. 4. Величины и, О и г,„при определенных условиях являются основными характеристиками замираний радиосигналов, возникающих из-за многолучевого или диффузного характера распространения радиоволн в турбулентной среде или же за счет отражений от неровных поверхностей. При этом излученный полезный радиосигнал может трансформироваться каналом так, что в месте приема будет наблюдаться узкополосный сл.
пр. Применительно к огибающей такого узкополосного сл. цр. величина и характеризует «частоту» замираний (федингов), Π— длительность замираний ниже определенного порогового уровня и с — глубину замираний. 5. Физически наглядную картину таких «тонких» явлений, встречающихся в теории оптимального приема, как неоднозначность оценки параметров, пороговые эффекты (в частности, при приеме частотно-модулированных радиосигналов), вероятное~и ошибок и др,, можно дать только с привлечением теории выбросов. б. В общей проблеме оптимизации передачи информации все болыпее значение приобретают методы синтеза различных измерителей на базе теории фильтрации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
