Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Из выражения (7) получаем фундаментальную формулу 11!'»)= ( Ц.с)»с(», т)срь (4.1.9) Для фс;зическп возможных систем должно выполняться условие Ь(», т)=0 прн»<т (4.!.10) н формула (9) приобретает вид т!»!)=. ( 9(т)/!(», т)с»т. (4.1.1 1) Веслом определения стационарных н нести»ионарных систем. Система называется гп»аиионорной (инваришггной к сдвигу или ннварнантной во времени, если независимой персчесшой является врехся).
ко! да сдви» вхс дного сигнала приводит к такому же сдвигу выходного сигнала: ц (» — »ь) = 3'(Ц»- »«Ц. (4.1.! 2) С»»сгечы, Лля которых это условие пе выполняется„являются несо»си»ио»н»»н»ызи!. Очевидно, что все безьшерцнопные системы (2) относятся к сгационарнь!м. Если линейная система не имеет памя и и инвариантна к сдвигу, то В(»)=еЦ»).
где г- постоянная величина. Импульсная характеристика линейной стационарной системы может бьггь представлена функцией Ь(», т)=Ь(» — т). Для таких систем основная формула (9) упрощается н принимает внд интеграла свертки; 190 (4.1.1 3) 1!(»)= ) г(т)Ь(» — т)сй= )' Ц!-т)Ь(т)»7т. ) ! Ь(т)(с!т<со. Линейная система (4) является устойчивой, если все корни !с! характеристического уравнения а !с" +а с!с" '+ ... +а«- — 0 имеют отрицательные вещественные части. Иногда вместо импульсной характеристики Ь(») используют переходную характеристику 8(»), представляющую собой выходной сигнал системы при входном сигнале в виде единичной функции (1(1)=0 при»<0 и 1(1)=! прн»>0) ч(»)=М( П (4.1.15) Эти характеристики связаны соотношениями ()=~Ь() ' Ь()= — '„" (4.1.16) Комплексная частотная характеристика стационарной линейной системы есть преобразование Фурье от импульсной характеристики: К(!в)= ) Ь(т)ехр( — Звт)с»т=!К((в)(ехр(7ср(в)З, где ! К()в)! — амплитудно-частотная характеристика; ср(в) — физо-частотная характеристика системы.
Из обратного преобразования Фурье следует выражение импульсной характеристики через комплексную частотную характеристику: Ь(»)= 1 ) К(Зв)ехр(!в»)с!в. (4.1.18) (4.1.14) (4.1.1 7) 191 Импульсная характеристика Ь(») определяет «память» системы. Она может быть комплексной или вещественной функцией. Если Ь(г) — вещественная функция, то система называется вещественной.
Говорят, что стационарная линейная система является устойчивой, если при произвольном, но ограниченном входном воздействии выходной сигнал ограничен. Так как (т!(»)! =! ( Ь(т) Ц» — т)»7т! < )' (Ь(т)!!9(» — т)(сй, то отсюда следует, что импульсная характеристика устойчивой системы должна быть абсолютно интегрируема, т. е. с лил лФ е К,!3 ! д!рм)ез"с а) Рис. 4.2. Две линейные системы Реакция линейной стационарной системы на входной гармонический сигна.ч согласно (13) просто выражается через комплексную частотную характеристику: 7) (г) = а. 1ехр (!озг)) =.
( !7(т) ехр [)го(г — т)) с!т = К()оз) ехр (!он). (4.1.19) Нетрудно убедиться, что импульсная характеристика Ь (г) и комплексная частотная характеристика К()го) составной линеиной системы, состоящей из двух последовательно соединенных линейных систем с характеристиками )72 (г) и Ьз(г), К, (!оз) и Кз()оз) (рис. 4.2, а), определяются соответственно выражениями Ь(г)= ) !72(т)!72(! — т)с!т, (4.1.20) К(!го) = кк! ()оз) К2 (!го).
(4.1.21) Для составной линейной системы, содержащей два звена при наличии отрицательной обратной связи (рис. 4.2, б), результирующая комплексная частотная характеристика равна К(!оз) =- К, ()го) /11+ К, ()оз) К, (!оз)). (4.!.22) Если стационарная линейная система вещественная, то справедливы равенства !К( -рл)! = !К()и)1, (р(-со)= -ср(щ), Ве К( — рл)= ВеК()оз), 1ш К( — )оз) = -1ш К()го). (4 2 23) Передаточная функция стационарной линейной системы представляет собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики: Н(р) = )!7(т) ехр( —.рт) гlт, р = се+)го. (4.1.24) о Комплексная частотная характеристика есть частный случай (при сг=0) передаточной функции.
Для физически возможных усгойчивых систем передаточную функцию можно заменять комплексной частотной характеристикой. Сисгема устойчива, если !о2 функция Н(р) не имеет полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной р или на мнимой оси (т. е. прн ст>0 полюсы отсутствуют). Верно и обратное утверждение: сисз ема неустойчива, если функция Н(р) имеет хотя бы один полюс в правой полуплоскости комплексной переменной р или на мнимой оси.
Для описания моделей дискретных линейных систем (их выходных процессов) можно воспользоваться различными формальными аналогами выражений (4) и (13). При этом следует иметь в виду, что если от непрерывных моделей молсиэ осуществить переход к дискретным 6 3.10), то обратный псреход в общем случае невозможен. Дискретные динамические модели важны сами по себе, вне связи с непрерывными. Во многих задачах не возникает вопроса о попытке связать дискретную модель с подразумеваемой непрерьсвной моделью, потому что такой непрерывной модели в общем случае не существует и можно указать такую связь лишь в частных случаях (например, при ступенчатом входном воздействии').
Это следует хотя бы из того, что через заданные выборки (точки) непрерывного процесса, сколь бы часто онн ни были взяты, можно провести много кривых, совсем не принадлежащих к какому-либо определенному классу. Обозначим значения процесса «в равноотстоящие моменты времени и 7 †, 7-2Л, ..., где Л вЂ постоянн шаг дискретизации по времени, через «„ «, , «, 2,... Введем два оператора: оператор Ь сдвига назад и разностный оператор Ч со сдвигом назад: б«,.=;,—,, 7„,=«,-«, г —— -(1 — б)«„б"«,=«,,„.
(4.1.25) Тогда в качестве формального аналога линейного дифференциального уравнения (4) можно указать линейное разностное уравнение (!+п1тг+ ". +орт2а)71~=(()о+~ът2+ " +9в7')«, (4! 2б) В прикладных задачах используют частные случаи этого уравнения и наиболее часто рассматривают четыре типа дискретных линейных моделей: авторегрессии, скользящего среднего, авторегрессии со скользящим средним и авторегрессии с проинтегрированным скользящим средним. Приведем их определения. Во всех этих моделях в качестве входного воздействия "„берется дискретный БГШ 77„07оследовятельность независимых случайных величин с нулевым м. о. и одинаковой дисперсией !3). В модели автпрегресгии порядки и текущее значение процесса выражается как конечная линейная сумма предыдущих значений процесса и значения дискретного БГШ.
' Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временньп рядов, прогноз и управление. П П 2: Пер с англ.7Под рсд. В, Ф. Писаренко.— М.. Мир, !974. 7 . 2247 Чс с>Ч> — с+сзч — 3+'''+с Чс — +и (4.1.27) где Ч, > =(Ч,, — т) — центрировщшое значение процесса.
Эта модель содержит ч+2 параметра: с,,...,с„, т и )9. На практике часто используют процессы авторегрессии первого (ч=() и второго (ч=2) порядков. Название модели оправдано тем, что если в левой и правой частях уравнения регрессии (1.3.41) фигурируют разные величины, то в (27) Ч регрессирует на своих предшествующих значениях. В модели скользящего среднего порядка р текущее значение Ч, линейно зависит от предыдущих значений дискретного БГШ: Ч, =и, +Ь>пс-с+ ..+оп> ч. (4.1.28) Эта модель определяется р+2 параметрами: Ь,, ..., Ь„, т и 27. Укажем, что модели (27) и (28) можно трактовать как выходной процесс дискретного линейного фильтра. В самом деле, если выходной процесс одноканального непрерывного физически возможного линейного фильтра с постоянными параметрами при воздействии БГШ и (е ) и нулевых начальных условиях можно представить интегралом свертки >1(е) = ) Ь(т)п(е — т)сеч о то выходной сигнал дискретного фильтра при воздействии дискретного БГШ п„можно формально представить в виде бесконечного ряда т1,= ~~> Ь,п, м (4.1.29) к=о где ܄— некоторые весовые коэффициенты.
Этот ряд может быть конечным или бесконечным. Условие устойчивости (14) теперь принимает вид Х! Ьс! < со. (4.1.30) с=о Если веса Ь линейного фильтра (29) равны нулю при Ес >ч, то сразу приходим к модели (28). От модели (27) к (29) можно перейти следующим путем. Исключим Ч,, из правой части (27) подстановкой Чс- с езЧ> — 2 + сзЧ>- 3 + "'+ счЧ> — ч+ ~с — с Аналогичным образом можно исключить т),, и т.
д.; в результате получим ряд из п„вида (29). При этом можно установить взаимосвязь между процессами авторегрессии и скользяще~о среднего. Обобщением указанных двух моделей (авторегрессии и скользящего среднего) является смешанный процесс авторегресеии-— 194 гкользяизего среднего порядка (ч, р). задаваемый линейным разпостным уравнением >В=с>Ч,,+...+,Ч, „+п,+Ь,п,,+...+Ь„п, (4.1.3 1) Смешанный процесс авторегрессии --- скользящего среднего можно интерпретировать как выходной процесс дискретного линейного фильтра, передаточная функция которого есть отношение двух полиномов, когда на вход подается дискретный БГШ. Более общим является процесс ав>порегрессии — проинтегриросиасного скользяиЕего среднего порядка (ч, Х, р), в котором авторегресснонная составляющая задается не относительно самого процесса, а относительно степеней приращений, т.
е. с,,— с>~с >+...+с,!„+п +Ь,ц,+...+Ь и, где (1 8)хе Если в (32) положить Х=О и заменить >"„па Ч, =Ч, — т, то получим модель (31), а также модели авторегрессии (27) и скользящего средне~о (28). Модели многоканальных непрерывных линейных систем (см. рис. 4.1) описываются системой линейных дифференциальных уравнений вида (4), (6) или же матрицей импульсных характеристик (ье,(е)). >'=1, и, 1=1, т, между >'-м входом и у-м выходом. Модели многоканальных дискретных линейных систем могут быть заданы системой линейных разностных уравнений вида (27), (28), (31), (32). Переходя к нелинейным системам, которые подлежат рассмотрению, выделим модели двух классов: безынерционные и инерционные. Безынерционные системы описываются операторами вида >1(е) =Т(~(е)(=е(г,(е)), (4.1.33) где е(х) †детерминированн в общем случае нелинейная функция аргумента х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
