Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 22
Текст из файла (страница 22)
ОО и Р| Р Р| Рг где Є— -финальные вероятиости (17). По формуле (12) находим абсолютные верояп|остн состояний через л шагов 1'(л) = ~РЕАРД гг" = — ф-~-(а771 — Д71,)11 — И- (3) лч (1 72+((3Р2 ~171)(7 а 1') (3.2.2 1) О|сюда ирн л- х, также получаем прежние значения фн|ильиых Вероятностей (17). Прн анализе цепей Маркоьа мог ут встретиться разнообразные задачи. Укажем на примере цепи Маркова с двумя состояниями еще две задачи. Можно интересоваться долей времени, проведенного системой в одном из состояний в течение большого интервала времени. Отождествим состояние Э, с нулем и состояние Э, с единицей. Пусть с.
в. Хл=(0„1) обозначает состояние системы в момент времени 7„, причем интервалы времени между соседними скачками одинаковы, г. е, |„гг — |„=сопя|, л=-О, 1, 2, ... Тснда сумма Х, +Х,+...+Х„представляет собой число раз из общего числа л, проведенных системой в состоянии 1. Обозначим начальное сос|ояние через / и к,г(л)=Р|Х„=1)Хо — — 7 7|. Известно, что м.о. С.в. Х, йринимающей лишь два значения 0- и 1, совпадает с вероятностью Р|Х=1). Поэтому М ((Х1+Х2-1 ... +Хл)! ле /|7 1172(!)+71|2 (2)+"'+к|2(77) Среднее значение относительной доли времени, проведенного системой в состоянии 1, очевидно, равно (кгц (1) + пу| (2) + ... + 11;, (л)),' л.
Известно, что если предел последовательности (а„) при |г- со равен а, то предел последовательности (а,+аг+...+а„)!'л также равен а. Поскольку я,г(л)-+Рг при л-+со, то среднее значение относительной доли времени, проведенного в состоянии 1, 113 в =- г в=э =1 — а+а(3 ,"л (ге+2)(! — )3)х= ь-о (3 (3.2.22) к=, р+Ч=1, (3.2.23) (3.2.24) 115 стремится к финальной вероятности рз при и-+со. Аналогично предел средней доли времени в состоянии О равен р,. Финальные вероятности р, и Рз даются формулой (17). Предположйм, что начальным состоянием является О.
Рассмотрим сл. в. Т, обозначающую время первого возвращения в состояние О. По определению Т=п, если в моменты времени г„, система находится в состоянии 1, а в момент времени г„она впервые возвращается в состояние О (рис. 3.2). С.в. Т называется Рекурреннгным временем состояния О. Обозначим закон распределения с.в.
Т через Ао(п), н=!, 2, ... Из рассмотрения рис. 3.2 можно заключить, что Ао(н)= =Р Т=н) =ар(1 — р)", п=2, 3, 4, ... и уоо(1)=1-а. оспользовавщись известным равенством (а+)сг) с)х= — + — — „ а о ! Ч (! В)з находим среднее значение рекуррентного времени состояния О е е М(Т) = чл" нДо(н)=1 — а+ар ,'г н(! — 13)" Прямер 3.2.1. Однородная енмметрнчная цепь Маркова е двумя состояниями. Пусть цепь Маркова (О„, и = О, 1, 2, ...) имеет лва состояния 9, и 9, е вероятяоетямн начального состояния р,(О)=ре и рх(О)=рз, где ре+ре=-1. Известны одношаговые вероятности перехода к„=к, =р, к„=х„=ч, гле р+В=!, р- О.
Так как матрица одношаговых вероятностей перехода симметрична, то пень нпзывается сцммеглричиой. Рассматриваемая цепь является однородной, тах как вероятности перехода непосредственно не зависят от номера шага, при котором происходнт смена состояний. Нужно опрелелить вероятность я л(л) за и шагов, абсолигпгые вероятности гл р„(и) н финальные веросгпюети рл, /с=1, 2. Ответы на этн вопросы можно получить непосредственно из формул (20), (2!) и (17), нужно лишь в нях положить и=В=! — р, (З=д=! — р, как это следует из сравнению матриц (1б) и (23).
Поэтому сразу записываем окончательные ответы ! Гг+(р ч) ! (Р— в)" ! я" ы(к (лЦ ~, /, /с=!, 2, 2 ~1 — (р — в)* 1+(р — !) "3 ' Р(л)=(рс(л), р,(л))=[1+(р',— рх)(р-д)"„!+(рх — р',)(р — В) )!2, Рс =Рх = !с'2. 1!4 Слс,совазельцо, пспь иглиется эрг.олическои и лля нсе существуют финалыгые чероитностц. !4з выражении для 7г.1н) видно, ч.го после начального момента времени в сгепн имеет место переходный режим и лишь через достаточно болыцое !исло шагов аснмптотнчески устанавливается стационарное (равновесное) состояние.
Однако если бы начальные вероятпосги совпадали с финальными (Р'г=Р'. = 1!2), то переходный процесс отсутствовал бы и цепь сразу была бы сзапионарной. Приведенному примеру можно дать следующую радиотехническую интерпретацию. Пусть система связи передает двоичные символы, которые обозначим через Э, и Эг, Кажг!ый переданный символ прохогпш через несколько устройств (каскадов), в каждом из которых выходной символ с вероятностью Р воспроизводится верно и с вероятностью с) = ! — р переходит в другой.
Пусть О„=,'Э,, Эз!с- - символ на выходе гг-го устройства. Тогда последовательность Оо, О„, Ог, ... есгь однородная цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода (23). Предположим, что нас интересует вопрос: какова вероятность Р,'Оо — — Э,)Ов=-Э„' того, что если на выходе и-го устройства ггрийят символ Э,, то был передан этот же символ? В общем случае на основании теоремы умножения можем написать г.
е. Р (гг)Р',Ос,— — сЭ,~О =сйл)=Р (О)лгл(гг). Отсюда Р (Оо = Эг ! Ох= Эх) =рг(О) !л(н)7?гл(гг) (3.2.25) Полагая здесь 7'=-1, )с=) и воспользовавпплсь выражениями (24), получаем нужный резульгаг Р !О =Э',О =Э ) =!ЯО)сссс(с )=. ! ' р'(г ч) Пример 3.2.2. Корресзяссиониая функция квазяслучайного телеграфвосо сигнала. В радиосехпическил задачах исто всзречаезся следующий модернизированный вариант цепи Маркова с двумя состоягшямн, названный лвизис,сгчайиым лсвлвврсссрссьсзс си;пв.свм. Дискретный сл.пр.
0 (г) имеет лва состояния + зв, причем смена состояний возможна солько в фщсеированиые моменты времеви с„=а-~-пТ, сде Т= Тееопвг, и=-О. 1, 2, ... целое положительное число; сз е.в., ие зависящая ос 0(с) ц равномерно распределенная иа отрезке [О, Т) !рис. З.З). В непрерывном времени вероятности перехода рассматриваемой цепи Маркова определяются соотношением Р (0(с-ь )=-9,)0(г)=9) = б„, г„сс, с+тсс„ 13.2.26) аг„г и с Ч-т лежат иа соседних интервалах.
Пусть однопгаговые вероятности перехода заданы мшрццеи (23!. В агом легко убедиться ляя симметрично!о квазислучайного телеграфного сигнала (р=я.=1[2) Для такого си!нала корреляционная функция равна ( Оа при (л — 1] Т< г,, 0 < пТ. Я(г!, г!)=М(О(г,]О(г!)) =( л=1, 2, ..., |3.2.30] ( О прп лругнх |,, ! Видно, что корреляционная функция зависит порознь оз двух рассматриваемых момен!он времени г, и г, и, слеловательно. процесс О(!) нестационарен. Рис.
33. Квазислучайный телеграфный сигнал ]3е воспроизводя здесь вычислений [41, приведем окончательныс формулы лля корреляционной функции и спектральной плотности квазислучайного телеграфного сигнала О(!): Л(!)=Оа(п — |т)!Т)(р — Ч)" '-! Оаз()т]!Т-(л — |Ц(р — 4)", (и — 1)Т<т<лТ, п=|,, 3. ОзаТ(| (р' гу]т) ! я|п(ыТ/2) 5(ы) =— 1 — 2(р — д)сохе Т4(р — д)'[ азТ,'2 (3.2.27) [3.2.28) Для частного случая р =!1=-112 н. пвх форму! находим т 2 [з|п йа Т'Я ' Оаз (1 — [ | 7 Т], | т| < Т. б (ю) = О„Т! — ) „р = ~1, г() ' (, т; ) О, )т)> Т.
(3.2.29] Графики корреляцнонцой фупкпии н спектральной плотности для трех значений Р=-0,25! 0,5 и 0,75 изобрюкены на рис. 3.4 Отметим, что если полщать па щло отсчета времени совпадающим с моментом возможного измснспп ! состояния [а=сопя|= 0), !о такси теяеграфный сигнал оказывается несзаппонарным. ОЮ ььа' Рис. 3.4. Корреляционная функция (а] и спектральная плопзость (б) квазислучай- ною телеграфного сигнала 116 3.3.
ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Пусть по-прежнему скалярный сл.пр. 0(г) может принимать только дискретные значения Э„ Э, ..., Э ., но смена этих значений происходит не в фиксированные, а в любые моменты времени. Для вектора-столбца безусловных вероятностей и матрицы веро- ятностей перехода аналогично (3.2.4) введем обозначения Р(!)=(р,(г)) =( Р(9(г)=Э,)), я (г„г) = ~язв (го, ! )~ = ~ Р (9 (г) = Эа ) 9 (!о) = Эу )1, (3.3.1) 7, [с=[,К, 0~!о~ь Очевидно, что введенные вероятности неотрицательны и удов- летворяют условию нормировки к р„(г)>0, 2 р,(!)=1, (3.3.2) х=! Яуа(го. 1)>0 Х Яу (г !)=1 7=! ° К. (3.3.3) к= ! Кролге того, для вероятностей перехода аналогично (3.2.9) справедливо уравнение Колмогорова -- Чэпмена я(го, г+Лу)=.
(1„1)я(014-Лг), 1> „, Лг>0. (3.3.4) Характерное свойство дискретных марковских процессов, для которых смена состояния может происходить в любые случайные моменты времени, состоит в том, что для малых приращений времени Л! вероятность я,„того, что текущее значение не изменится, превышает вероятность изменения этого значения, т. е. я„(0 !+Л1)=1+и„,(1)Л1+о(Л1), я„(1, !+Л!)=о!у(!) Лу+о(Л!), (3.3. 5) где символом о(Л! ) обозначены члены выше перво!.о порядка малости относительно Лг, т е. !цп (о(Л1),1Л13=0. Это свойство а!.-о называется свойством ординарности.
Согласно [3) из (5) следует, что !!7 а „(1)=- — з2 ггь (1)<0, аьг(1)~0. (3.3.6! Кроме гог-о, имеют место очевидные равенства н(го, го) =-1, (3.3.7) н(', 1+Лг) == 1+А(1) Лг-г-гг(Л1). (3.3.8) где А(1) паэываегся лгапгриг1гчг гггг~/гггггггггггггггзггггыгых пе1годггигоггпеи перехода. Подставив (8! в правую часть уравнения (4) н перейдя к пределу при Лг- О, получим уравнение Колмогорова 17 и (го ! ) ! 81 = и (1с 1) А (1 ) (3.3.9) общее решение которого с начальным условием (7) при А(1)= =-А =-сонэ! имеет вид матричной экспоненты п(гс.
1) = ехр (А (1 — го)1. !3.3.10) Аналогично (10) решение уравнения (9) с помощью замены переменной по времени може~ быть также получено прв А(1)= = 1 (1) А, где г (1) произвольная скалярная функция времени: г п(1„, 1)=ехр А) 1(т)г7т Для произвольных матриц А(1) решение уравнения (9) в принципе можно отыскать методом последовательных приближений. Дискретный марковский процесс остается марковским н в обратном направлении времени. Прн этом наряду с уравнением (9), часто называемым ггрлгггылг, справедливо также обрапгное уращгенгге Кггллгоггг1гощг рп(го 1)гдго= А(го) п(ггг 1).
1~го (3.3.! 1) Для безусловных вероязггостей сосзояпия шщлогично 13.2.7) справедливы со<гтггошения 1 (1) и (го 1) ! (1о) (3.3.1 2) Р (1+ Лг) = и ' (1, 1+ Лг) Р (1). (3.3.1 3) Из (13) и (8) для безусловных вероятностей состояния получим дифференциальное уравнение гг'Р(1) г'й = А'(1) Р(1), (3.3.14) решение которого при А(1) =-А =сопз1 согласно (101, (12) имеет внд Р(1)=ггехр(А'(1 го)1) Р(го) (33!5) Дискретный марковский процесс называется однородным, если матрица вероятностей перехода п(1, 1) зависиг только от разности т=г — 1„, т. е. г!Э я(го 1) я(1 1о) — я(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
