Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Этот фак> позволяет рассматривать нормированную спектральную плотность в качестве аналога плотности вероя>ности, а нормированную корреляционную фун- кцию--- в качестве аналога характеристической функции. Поэтому выражения нормированных спектральных плотностей формально можно ис>юльзовать как ~>ззотности вероятности.
Наоборот, некоторые из выражений для плотностей вероятностей. удовлет- ворякпцих условисо (14), можно рассматривать как нормирован- ные спектральные илотносси и соответственно выражения харак- теристических функций-- как нормированные корреляционные фун- кции. Пользуясь указанной аналогией, можно ввеспз начальные хь и цен с ральные моменты двус горонней и Одное> оронней ели кт ральной плотности. В отличие от спектралыюго анализа детерминированных си> налов спектральная плотность случайного процесса не дает возможносги восстанови>ь какую-либо реализацию процесса, так как с>на не содсржзз'с сведений о фаза~ Отделысых спек«Вольных сос! авля>Ощих. Можно указать несколько раззшчных с>О хсзрссктеру слу ьзйных процессов, имсюшнх одинаковую спектральну>о плогность и корреляционную функцию.
Поэтому з>и две характеристики описывают случайный процесс явно неполно. 3. Взаимная спектральная плотность. Аналогично спектральной плотности 5ь(о>) одного пропесса 6,(с) определяется езиихтин гпексприиьнссн плотность двух стационарно связанных случайных процессов (,(с) и >1(с) как прямое преобразование Фурье о> взаимных коварнационных функций и 5сч(о>) = ) Ас„(т) ехр( — 1о>т)ей =5„*;. (о>).
(2.5,28) На основании обратного преобразования Фурье можем написать йсо (т) = — 5,„(о>) ехР ( 1оп) с>со. (э 5 эо] Отме>им, что в отличие от спектральной плотности одно>'о случайного процесса, которая является действительной функцией частоты. взаимная спектральная плот>>ос гь двух стационарно связанных процессов является обычно комплексной функцией частоты.
Можно показать, что взаимная спектральная плотность при каждой частоте удовлетворяет неравенству | 5с„(со) ~ < 5; (со) 5„(о>). (2.5.30) Если спектральные плотности 5,(со) и 5ч(о>) о~личны от нуля и не содержат дельта-функций, то иногда вводят в рассмотрение фУнксзин> чнетотной когеРенпсности МЕЖДУ пРоцессами со (С) «1о (с) у~>ч (со) = 3 5с„(о>)$'(5.
(о>)5, (о>). 0 ~ ус„(со) <! . (2.5.31) Функция часто>ззой когерентности аналогична квадрату нормированной взаимной корреляционной функции стационарно связанных процессов г,"„(т) = Р«Сзч(т)«'0 27„, Если пРоцессы со(С) и >(о(с) некоРРелиРованны, то фУнкциЯ когерентности равна нул>о; при линейной связи между процессами х7 опа ре!вна едипице . Действигельио, гтусть сзащ!Опорный В п!проком смысле процесс,;„(!) есть процесс па входе линейной сис!емы с пос!ояпиыми параметрами, а цо(!) — процесс ца выходе линейной системы.
Для стационарного состояния, когда справедлива формула (4.".19), получим 1 К ( !ш)1- Ь'." (ге) 8е(го)!А(яо)! 9)(ю) Следовательно. функция частотной когерешиости может прицимагь промсжугочиые знгшения между нулем и единицей, когда пРоцессы ео(!) и г)о(!) свЯзаны нелинейной зависимостью или ко~да выходной пРоцесс 7)г,(!) опРеделаетса це .!олько входным процессом о(!), ио и какими-либо другими воздействиями. В случае липсйпых систем величина (1 — у;.„(го)) слух!из мерой той час!и диспеРсии пРоцссса т)о(!), котоРаЯ ца частоге а! пе зависит ог входного процесса с„,(!).
4. Довцпгителыгьге еведеввя. В задачах практическою о опреде:!ения спсктрнлыц7й плотности сгацио!шрцых сл. пр. определения спектров (7) и (9) во м!югих случаях пелшя п)тизпегть простыми и экономичными. Опи предполш ают предварительное определение коррелгщиоипой функции, что само по себе сопряжено с грудоемкими вычислениями и измерениями, особенно для быстроосциллируюших корреляцио!- иых фуцкццй, ко!орые часто встречаются в радиотехнике. Приведем определение спек!ральной плотности непосредственно через сам сл. пр.
Введем для усечеппой реализации ~;(!), О < ! < '1; стационарного сл. пр. ~(!) с нулевым м. о. (т: =-0) !екущий спектр (спек!ральцую функцию) ! (г,()в) = ( (, (!) ехр ( — )в!)г11, (2.5.32) о и также периодограмму, определяемую формулой 5, (в) =- ~ 1', ( 1го) ~'(Т. 12,5.33) Записи (32) и (33) нося! формальный характер. Текущий спектр и периодограмма являипся случайными функциями часготьг: для разных реализаций одного и того же стационарного процесса с(!) конечной длительности Т они изменяются случайно от одной рсолиз щии к другой.
г)екогор! гй физический смысл и значение периодо!'рамме придает следугошее утверждение: если выполняется условие 1т1?(т)(г)т < оз (2,5.34) ' Картер Г. К. Онениаанне когсрентносги и нрсмснной залержки11ТИИ:ЭР.-- !987 т 75. № 2. С.
64--85. то справедлива формула 5 (го)= 1пп --М (1Г,()в)!'). т г. (2.5.35) т !' !) 5 (оз)= — ~ Е(та)ехр( — )вт,)г(тт ~ч(т!)ехр()вт!)е!т, =- о о тт =-,Ц с(т,)с(т,)ехр( — 1в(т,— т,))г(тгг(т,. оо Возьмем м. о. от обеих частей зтого равецст.ва и учтем,:по. во-первых„в дашюм случае допустима перестаповка местами операций м. о. и игиегрировация и, во-вторых. корреляционная функция стационарного процесса 1?(гг, г,)=)?(га — г,). В результате получим тт ! (Г М г5, (в),' — — )? (та — т, ) ехр ( — )го (т, —. т,)) г(та г1т,. о о Сделаем в инте!рале справа замену переменных т=т,— т,, го=(тг+т,))2, (та= го+т!2, т, ==го — т,'2).
Учитывая чегиость корреляционной функции и выполняя шпегрироваиие по ггн получаем т т-!шла! М(5,(в)г-— — — ~ 1?(т)ехр( — )гот)е(т е(го= — '!' !Яра т 7' 1 — — ! 1? (т) ехр ( — )вт) г(т = 1? (т) ехр ( — )о!т)т(т— Т~ — т — т — — ) 1т11?(т)ехр( — )вт)г(т. Т )' (2.5.36) При Т вЂ” со первый интеграл стремится к спектральной плотности (9), а второй -- к нулю согласно (34). Этим завершается доказательство формулы (35). 89 Докажем зто. Запишем правую часть выражения (33) в виде двойпо! о интеграла: 12.5.4 1) (2.5.37) р(х)= — ~ Ф(19)схр( — 19х)АЭ= 2х ~ Г ~ рл(А)АА ла(АЭ)ехр( — 19х)<19=- 2к~ о 1 Рл(А)«А (х~(А.
к <Аз хз' 12.5 421 — ) сов(аз<1 <р)А<а=О. 2к ) <й(19)= Га('19)рл(А)'1А= ла(АЭ) рл (А) А а а = Ф(19)ЭУ„(АЭ)АЭ. о 12.5А31 (2.5.39) 90 Отметим попутно, что из (35) следует свойство неотрицательности (13) спектральной плотности, Так как Ь;(ю) — неотрицательная величина, то ее м. о. также не может быль отрицательным. Формулой (35) часто пользуются при вычислении спектральной плотности различных импульсных сл. пр. В заключение отметим, что можно ввести текущий спектр нестацпонарного процесса с, (1) с корреляционной функцией )< (1<, 12).
Его мох<но определи и по-разному (2]. В качестве одного из возможных определений можно принять следующее: Я(й Г)=- <т 1 — -', г+- ехр( — 32нГт)г(т. 2/ Пример 2.5.1. Сиек<ряльная плотность н п. в. квазидетерминированного сигнала. Рассмотрим квазидстерминированный пропесс вида г,(г)=<пав-А сов(<о<4-<р), А >О, 12.5.38) где т<- .детерминированная функция времени; А, а< и <р- -независимые сл.в.
с заданными п. в. Рл(А), р„(ы)=р„( — о<), ро(<р)=1<2п, ее( — х, п1. Найдем м. о. и корреляционную функцию процесса «(Г). Очевидно, по м. о. Равно т< независимо от вида п. в. для А и <о, так как Рассматривая центрированный процесс <;о(г)=ч(г) — п<п находим выражение лля корреляционной функции <ч<(т) = м (А сов(о«<4- ч<) А сов(аз<4-а<в 4 ч<)) = = — М <А') [сов<от-«сов(2аз<4-<отв-29<))р„(ы)Ао<АЧ«= = — М (А ) р„(<о) сов <от<1<о. 2 Это выражение показывает, что рассматриваемый процесс (38) стационарен в широком смысле, сели только тг нс зависит от времени. Учитывая. что п.
в. Р„(ы) является по условию четной функцией, и сравнивая выражение (39) с формулой (23), получаем, что спектральная плотность процесса ",а(г) опрслелястся равенством 9(о<)=км1Аз)р„(а<). следовательно, если взять р„(<о)=Ь(а<))хМ (Ах,', (2.5.40) то случайный процесс йа(г) будет иметь заданную спектральную плопюсть Э(аг).
Кроме того, сл. пр. Чо (г) может иметь также и требуемую одномерную п, в. Покажем это. По определению, характеристическая функция равна Ф(19)=М (ехр(149сов(<о<-«р)1) =1 <1А ( Аых а Г х — ) ехр (1АЭсоя(иг-1 <р)) рл(А)р„(ы)А<а= = (АА 1,/а(АЭ)р,(А)р„,(оз)<1<о=-)Уо(АЭ) рл(А)<«А, тле .га(х) функция Бесселя первого рода пулевого порядка. Зная характерно<нчсскую функцию, находим одномерную п. в.
процесса Заметим, что одномерная характеристическая функция прелставляст собой прямое преобразование Фурье-- Бесселя функпии р,(А)«А. Обратное преобразование Фурье . Бесселя имеет вид Ото оса<ношение позволяет определить и. в. случайной аамплитуды» А по заданной плотности вероятности р(х) исходного процесса. Для этого лу<кно предварительно найти характеристическую функцию, соответствующую р(т).
я во<ем рсэульта< полсгавпть в 143). 2.6, ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В дополнение к классификации сл. пр, по виду реализаций (ч 2.1) укажем другой подход к классификапии, из которого будет ясно, какое место занимаюг гауссовские процессы среди других сл. пр. После зто1 о приведем определение гауссовского сл. цр. и перечислим его характерные свойства. 91 р„(.х, ", -„; (о ., 2„)= П б(л; — 1'(1,)), (2.6.!) а случайной величины 1 с п. в. р(Л)— н — 1 11, (1 - 1.)=р(1 ) П б(1ч-2; ) (2.6.2) Рассмотрим частный вид квазидетерминированного процесса с одним случайным параметром х(г, Ч, где х(6 2.)- — де1ерминироваиная функция своих аргументов, а 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
