Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(2435) 2п 2 В данном случае корреляционная функция оказывае'шя периодической и имеет тот же период То=зк)гоо, по и исходный сигнал. В отличие ог часто встречающихся стационарных случайных пропсссов, для которых выполняется условие (31), в данном случае корреляционная функция т~ри т — » ш не стремится к нулю. Эзот факт можно использовать для обнаружения и выделения достаточно длинного, но слабого сиптала з(г) на фоне интенсивной помехи, представляющей собой случайный процесс (2).
в котором случайны лишь началь- 1'ис. 2.4 '!'Ри реализации случайного сигнала ныс фазы цш причем оз„и д при 1Фт независимы и равномерно распределены в интервале шириной 2к. Повторив вычисления. найдем, что корреляпионная функция сигнала дается выражением Если оэ,=йыо, то сигнал (36) является периодически стационарным и широком смысле с периодом 'Го=зло'що.
Пример 2.4.2. Ковариационная функция случайного составив~о (мапипулированного сигналя). Получим коварнационную функцию составного (случайно манипулированного) сигнала (рис. 2.5) и (7) = (172) [1 + ь (1) ) 6, (7) 4 (1 12) [1 — Х (()) й, ((). Здесь,"„(11 и Ц,(г)- не зависящие от о(г) совместно стационарные в широком смысле сл. пр. с ковариапионными функциями К, (т). К,(т) и взаимной коварпационной функцией К,т(т); о(г). «переключающий» стационарный случайный двоичный сигнал с нулевым м. о. и коррелядионной функцией уй(т), принимающий лишь два значения 1 ! и — 1 при этом чй)=ч, (11 при х(!)=1 и ч(г)=6,!77 при Х(г)=- — 1, т.
е. сл. пр. т1(г) представляет собой случайный манипулированный двоичный сигнал, состоящий из последовательности случайно чередующихся двух иолементарных» сигналов бл (г) и 6т (7). На основании независимости 7.(!о) от »1(П) и йг!гт) получим К„ (т) = М ( г! (7) Ч (! -ь т )) = ( 1 74) [ 1 + К„ (т)) [К, (т) ч К (т)) ч- ( 1 72) [ 1 — К, (т)) К„ (т). (2.4.391 Если элементарные си~нилы ортогональны (К„(т)=0), то И к'гЖ уаниутата лбе) Рис 2.5. Способ получения (а) и составной сигнал Ч(г) (о) Пусь ь кпсреключакнций» сигнал Л(1) принимает значения ч- ! и с вероятностями р и д= ! — р. Тогда легко показать, чзо одномерная п. в.
составного сигнала 11(1) опредеяяезся формулой (2.4.40) Р„(1)=-(11)'ЕХР( — Лг)17С!, /<=0, г, 2, ...; 1>О. (2.4.4!) причем число событий в неперекрывающихся интервалах времени независимо. Определим цслочисленньщ пуассоновский процесс гч(1) сЛедуЮщиМ Образом: 7У(0)=0 И 7Г7(гь) — ДГ(гг) РаВНО ЧИСЛУ СОбнтИй (ГОЧЕК) В ПОЛУИНтСРВ»ЛЕ (1,, 1,). Реализации такого процесса представляют собой сгупенчагьк кривые (рис. 2.6) с единичными скачками в точках Дла двУх заланных моментов вРсмсни 1.
и гь. 1„>г„пРиРащснис пРопссса 7гг(1,) — Гьь(гь) имеет пУассоновский закон РаспРеделсниЯ (~(.)-йк(.) = ) =[Л(.—.)] -.[- (.—,)]. В соответствии с харакзеристиками закона Пуассона имеем (2.4А2) М пр(1.) — В(гь)) ='Л(1„— 1,), (2.4.43) М([»7(1) х (гь)] 1=7' (1 гь) ч 7'(1 сь). (2.4.44) если 1,>сь>1,>г„то слУчайные пРиРащениа дг(1,) — дс(гь) и 7У(1,) — 7хг(1») независимы и, следовательно, г„! ([7ГГ( ) 751( )][ДЬ( ) ЛГ( )]Г 7 з( 1 )( 1 ) (2.4.45) Если же 1„>1,>1„>1», то интеРвалы (1», 1„) и (1», 1,) пеРекРываютса и выРажение (45) оказывается несправедливым. Используя записи ~(1.)-Ч(сь) = [у(1.)-гу(1,)]+ [74(1,)-д(гь)] гг (1,) — 7~'(1») = [В(1 ) — гч(сь)]-!- [7У (гь) — Д(1»)] из (44) и (45) получаем М ([Д (1„) — У(1,)] [Д (1 ) — Ж(1,)]) = 7 ь(1 гь)(1 1») ! 7 (1 1») (2 446) Гч 71! где (1,-гь)--длина пеРекРывающихсЯ частей интервалов (гь.
1„), (гь, 1,). Таким образом, случайные приращения пуассоноиского процесса стационарны и независимы (на ие перекрывающихся интервалах). Та=17 ф Гг Гз Г»,1 Рис. 2.6. Цслочислснгььгй пуассоновс кий процесс Л(У)«яггг (У) ЬЧР (.Г). где Р,(х,) и Р,(хз) и. в. злементаРных сигналов гь(1) и «ь(1). Описанным приемом иногда можно воспользоваться лля формирования сл. пр. ч(17 с заданной п.
в. и корреляпионной функцией. Пример 2.4З. Корреляцььоиные характеристики пуассоновского процесса (см. пример 3«Ь3). Пусть в случайные моменты времени г„проасходят некоторые события, число которых в интервале времени (О. 1) определяется законом Пуассона Поло»щг в (437 1„=1. 1»=0. Паьо ~ыы маг»МаьИЧСсхос ожидание Пело Щс ~сььпсьгь пупс оновского процесса !".4 47! М,'Л'Р О = Лг Дналоьпчпо из !46! пгн 1„= 1, 1, =.
гз. 1»=- 1„=.0 по ггчьем пыРщлеиис коваРнапиоиной фнжпии ) 7,.1» 17,-'1,1». 1, Вгь. к(1,. 1») =-М)гу(1, )д (сь), =, (Лг, 61. 1,1,, 1, 1,. 12 4 4х) !гривслениыс вьппс рассуждения применимы и к неоднородному пупссоновскоьг! пропессу (коьлы плопюсть точек Л71) зависи~ оз врсмспо7. с гой липьь 7г7 Разнипсп, что вмещо 1.71з -1,7 пгжпо попставлагь ) хо)41 Указкем, по для часпюго класса цест ациоцарных сл. пр.. н именно сл.
пр. «(7) со стационарными приршцениямп, вместо корреляционной фуцкпии Ас(г,, гз) часто рггссматрггваюз щиргкиггузигпз с(7! иьцгло В,(г,— 71)=М ,')«(г,) — «(гз)]'). (2 4.49) Случайный процесс «(г) называется ироцсгс07ц с 11 тгси)сгсыгсг)1- лысин ггегзсгыии прирсггг)с ииялггс, если приращение процесса г)а(1)=.«(!+О) — «(г) за пекоторьш фиксированный интервал времени О ес!ь стационарный в широком смысле сл.
пр. времени г, т, е. иге=-,'Т4 («(г+О)-«(1)ь = ссзггхп Вв(т) = ~~4 (цо(г)з)е(1+т)) - гиь'< (2.4.50) Длгг стациоипрпого в широком смысле сл. пр. «(!) эти условия всегда выполняются: гиа =- О, Ва (т) ь- 2Вс (т) — Я [т — О) — Я (т+ О). При этом сгрукгурная функция однозначно выражается через корреляциошгую В, (т).= [г,(0) — В, (т)]. (2.4.51) Рассъннрим иестациоиариый процесс «(!), м. о. которого есть линейная функция времени: «(1)= 1+«0(1).
где «о(!) — -стационарный в широком смысле сл. пр. с нулевым м. о, и корреляциошюй функцией В (т): сг-- ие зависящая от «о(г) сл. в. с м. о. ш» и дисперсией Р„. М, о. и корреляциоцнаа фУнкциЯ пРиРагцепиЯ такого пРоцесса г)а(1)= =.«(!+О) — «(1)«аО+«о(1+0) — «о(г) определяются выражениями гив = л7,0 = сопки гта (т) = Рр О + 2гге (т) — гт- (т — О) — ге с (т+ О) =- = Р,О' — В,(т)+(1,12) [В (т — О)+ В (т+О)].
2.5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ При изучении детерминированных сигналов и реакции на них линейных систем с постоянными параметрами широко используются спектральные представления, базирующиеся на возможности прелставления (при определенных условиях) сигналов рядом или интегралом Фурье. При этом математически сравнительно просто можно найти сигнал на выходе линейной системы путем простого пересчета отдельных спектральных составляющих входного сия нала через комплексную частспнусо характеристику системы с последующим применением принципа суперпозиции. Представляется естественным желание распроссранить гармонический анализ на случайные процессы для решения в принципе сходного круга задач, хотя физический смысл результатов будет при этом несколько другим.
1. Случайный спектр. Если почти дтя всех реализаций сл. пр. чс(с) выполняется условие (конечная мощность процесса) г 0( 1нп -,, /~(г)~'с»с< ос, „2Г г (2.5.1) то такие процессы можно анализировать с помощью преобразования Фурье, т. е.
лля конкретной реализации процесса Е(с) можно ввести спектральную функцию Г(»)=- ( г,(с)ехр( — 12я»г)й. ( 5.2) Ясно, что для разных реализаций олного и того же процесса «(с) спектральная функция Г(»') будет изменяться случайным образом, и поэтому ее можно назвать сяуяссйпьсм спектром. Случайный спектр Г(») содержит всю информацию о конкре пюй реализации с(с), для которой он записан, так как анализируемая реализация с (с) может быль восстановлена по ' Линден У. С., Чжа-Мяя Ц.
Теория нсстабияьносси генераторов, основанная на струксурнык функпиякйТИИЭР.— Сзтб. — Т. 54, 2ЯУ !2. С. 5- 21. 80 Таким образом, м. о. и корреляционная функция прирасцення с)я(с) нс зависят от времени с (хотя они зависят. от выбранного постоянного сдвига но времени О). если рассматривать сл. пр. =(у)=-пуя+Рн+с+ее(г), гле а, /ь с- сл.
в., то нетРУдцо Убеди.гьса, что в данном слУчае У)я(с)=- = г,(с+ 0) — с (с) не будет стационарным сл. пр.; им окажется вторая разность г(я(с+О,) — Л,(г), и можно ввеспс вгорусо структурную функцию'. Г(»') путем обрапгного прсобраэовш:ия Фурье. Псгутому лля указанных процессов залачи статис.псческого анализа и синтесн можно перевести иэ временной области в частопсую и в нсь выполнять их решение.
С разрабогкой методы быстросо преобразования Фурье такой полхол приобрел пракгичес«ое зпн сонно. Случайный спссстр Г(») как функция чссстоты,У прслставляс; собой сл. пр. Применительно к стационарному в сссссроссом смысле сл. пр. с (г), для которого выполняется (1), м. о. и ковариационная функция Г(»') онределякмся выражениями тк — — М ,'Г(»)1 = 1 гпсехР( — )2Я»с)Й=гпсб(»), »"я(»1 .»2) М с» (.»! )» (,»2)) = )) )И(с(с,)ь(сг)) ехр( — 12я»,сс+12ц»,ся)Йсс»ся= Ю =- Ц К(сс — ся)ехр( — 12я»;(г, — с,)+12«(»2 — »с)ся)Й, Йя. Путем замены переменных с=-сс — с,, с=га получаем Кя(»п»я)= ( ехр(12х(», — »с)с3Й ( К(т)ехр( — 12«»,т)сус= =~(»;)б(»;-.»,), (2.5.3) где было использовано известное выражение для дельта-функции и ввелено обозначение я1 о(»)= ) К(с)ехр( — 12й»т)с»т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
