Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Теорема 2. Пуски Х, Ь и Ъ' -случайные векторы с совмесгным гауссовским распределением. причем П и Ъ' независимы. Тогда М (1Х ! $7, Ъ']) =-М (1Х ! Ц) + М (~Х ( Ъ3) — М ',Х). (2 6 22) При доказательст вс положим .=~„"] ~и„» ] К,ч=м(~Х вЂ”,]~Ъ-- „] ) М 1Х '(Ъ' — кн] =(К,... К.,) Следов:пельпо, и К,„К„'=(К,,„К„,) "" ", =(К,,К,',КекК ). По теореме 1 получим 96 М ((Х ~ 1', Ъ )) =из~+ (К«вКи, Кп Кг ) т, ! К ге К ~ ' (П вЂ” т е ) + К;г К ( ' (Ъ' — пз г ) =- М ( ( Х ~ Щ) + Ь М ', ] Х ( Ъ'$ — пь,.
6. При линейных преобразованиях гауссовских сл. пр. свойство гауссовосги сохраняется. Если на вход линейной системы с импульсной характеристикой Ь(п т) воздействует ~ ауссовскнй сл. пр. «(г), то при выполнении надлежащих условий интегрируемостн процесс ц (~) = )л(6 т) «(т) Ыт, о (2.6.23) 4 — 2247 получгпощийся на выходе системы, будет также гауссовским (с. 260). Справедливо и обратное утверждение: если каждый линейный функционал от Ц~) есть гауссовская сл.
в. ц(г), то «(г) являе гся гауссовским сл. пр. Это важное свойство часто принимается за исходное определение гауссовского процесса «(г). Можно сказать, что гауссовские процессы обладают свойством «устойчивости» по отношению к линейным преобразованиям. 7. При нелинейных преобразованиях свойство гауссовости утрачивается. Если гауссовский процесс «(г) подвергается нелинейному преобразованию, например, вида т] (г) =Я, «(1)), где Я ) нелинейная функция относительно «, то процесс т1 (1) будет негауссовским. Однако, если негауссовский сл. пр. с интервалом корреляции т„воздействует на инерционную линейную систему (с постоянной времени т, ») т„), то процесс на выходе такой системы приближается к гауссовскому (и.
в. стремится к нормальной). Эт.о приближение тем лучше, чем сильнее выполняется неравенство т„.»т„(Ч 4.8). Нелинейные преобразования гауссовских сл. в. и пр. часто используются для формирования сл. в. и пр. других видов (2,5]. 8. С помощью линейного преобразования коррелированные значения гауссовского сл. пр. можно привести к некоррелированным. Заметим„что если корреляционная матрица (5) диагональная, т. е. все А„,=-О при П ~ч, то совместно гауссовские сл.
в, некоррелированные. Поэтому линейное преобразование, в результате которого корреляционная матрица для преобразованных величин будет диагональной, приводит к совместно гауссовским некоррелированным величинам. Методика приведения матрицы к диагональной форме с помощью линейного преобразования известна. 9. Гауссовские сл. пр. с дробно-рациональной спектральной плотностью являются одновременно марковскими (4]. 10. При заданной дисперсии (средней мощности) гауссовский сл. пр. обладает максимальной энтропией (1.1.39).
Гауссовские сл. пр. наиболее часто встречаются на практике и поэтому занимают особое место среди других сл. пр. Большинство встречающихся на практике электрических сл. пр., таких, например, как дробовой шум, тепловые флюктуации, собственный шум типового радиоприемника до детектора, атмосферные и космические шумы, представляют собой суммарный эффект большого числа сравнительно слабых элементарных импульсов, возникающих в случайные моменты времени. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей и. в. суммы неограниченно приближается к нормальной с увеличением числа слагаемых, независимо от того, какие п.
в. имеют отдельные слагаемые. При этом важно лишь, чтобы влияние отдельных слагаемых на сумму было равномерно малым (приблизительно одинаковым). Методы моделирования гауссовских процессов на ЭВМ изложены в литературе'. 2.7. БЕЛЫЙ ГАУССОВСКИЙ ШУМ В дальнейшем будет часто использоваться идеализированный сл. пр.— белый гауссовский шум (БГШ). Приведем его определение и укажем специфические свойства. Под БГШ и(1) понимается стационарный гауссовский сл. пр. с нулевым м. о.
и дельтаобразной корреляционной функцией: М (и(г) ) =О„рс„(т) =М (и(г) и(1+т)) =(/1//2) б(т). (2 7.!) Такой корреляционной функции соответствуе~ спектральная плотность (рис. 2.7) Ю л) Яо (/) = ( Я„(т) ехр ( — ) 2я/т) гй аа —, Я оо (/) = /т'. Таким образом, спектральная плотность постоянна при всех частотах. Величину Лг называют односторонней спектрилы<ой плотностью БГШ и(т), в отличие от двусторонней, равной )1//2. Случайный процесс п(1), обладающий равномерным спектром в очень широком (математически бесконечном) диапазоне частот, принято называть белым шумом по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части равномерный сплошной спектр. Поскольку дельта-функция Ь(т) всюду равна нулю„за исключением точки т=О, где б(0)=со, то значения процесса п(1) в любые два несовпадающих, но сколь угодно близких момента времени не коррелированы, а если процесс п(1) гауссовский, то они и независимы.
Поэтому БГШ и(1) можно назвать абсолютно случайным процессом. Из (!) следует физически неправдоподобный резульпи: дисперсия (средняя мощность) белого шума 0я = А„(0) = со и для него нельзя аналитически записать даже одномерную и. в. Гл о реализации невозможно изобразить графически: процесс бесконечно быстро ме- рис. 2 7. корреля|тионная функция (а) и слепнет свои значения с бес- ктральная плоншсгь 1б) белого шума конечным размахом.
Корректно определить и продуктивно использовать другой белый шум с конечной дисперсией невозможно (см. примечание па с. 204). Такое физически нереальное поведение процесса п(1) объясняется тем, что его следует рассматривать как идеализированную математическую модель, применимую для некоторых широкополосных процессов. Основное преимущество использования такой модели состоит в существенном упрощении математических вычислений различных выражений (в частности, м. о.
интегралов), содержащих БГШ. Однако все реальные сл. пр, всегда имеют спектральную плотностзь убывающую при очень высоких частотах, и, следовательно, имеют конечный интервал корреляции т„ ~0 и ограниченную среднюю мощность. БГШ является полезной математической идеализацией, применимой в тех случаях, когда интервал корреляции входного процесса, воздействующего на систему, много меньше всех существенных постоянных времени системы (например, длительности переходног'о процесса в системе), а применительно к линейным системам с постоянными параметрами— когда в пределах амплитудно-частотной характеристики системы спектральную плотность воздействующего процесса можно приближенно очи|ать постоянной. Можно указать следующее условие и правило приближенной замены реального стационарного процесса на белый шум. Пусть анализируется воздействие на некоторую систему с характерной постоянной времени т, реального стационарного процесса г,(1) с достаточно широкой непрерывной спектральной плотностью Яо (/) и, следовательно, узкой корреляционной функцисй Л, (т), имеющей малый, но конечный интервал корреляции т„«т,.
В данном случае реальный сл. пр. можно приближенно трактовать как белый шум. За значение спектральной плотности )т'/2 «эквивалентного» белого шума можно взять значение Яо(0), которое по формуле (2.5.9) равно (2.7.3) 98 ' Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике.— Мл Сов. радио, 1971.— 326 с. М Ю а —,=Во(0)аа ) А,(т)е/7=2) /(1(т)г/т. о Разумеется, такая замена реального процесса белым шумом допустима только тогда, когда она не противоречит смыслу решаемой залачи и не приводит к физическим недоразумениям.
Иногда можно поступить наоборот: предельный переход осуществлять не на начальной стадии анализа, а в конечных результатах. Можно предложить несколько сравнительно простых процессов, которые рассматриваются в качестве моделей белого шума. Одним из примеров может служить случайная последовательность дельта-импульсов А,.б(г — г„) вида (3.3.48), когда моменты появления импульсов Ь распределены во времени по закону Пуассона (24.41). Если в формуле (3.3.49) положить (г(Ь г„г)=А,6(г — г,), то получим, что корреляционная функция такой бесконечной (стационарной) импульсной последовательности имее~ вил (1); Я(т)=ХМ(Аг)8(т), (2.7.4) В качестве моделей БГШ часто используют гауссовские стационарные процессы с двумя видами спектральных плотностей и соответствующих им корреляционных функций: ) Л'/2, )г ! (Л>'; 7( ( ) Л>ЛГ>гн(гкд~т) (2 7 5) -(О, )Г)>Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
