Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(2.5.4) Функция о(»), представлясошая собой преобразоганпе Фурье от. ковариационной функции К(с), называется сяаскпсрлльппй плотнослгьсо стасуиопарпцго прояесгп -,(с). Она является олнон из основных характеристик стационарного сл. пр. Из (3) слелует, чэо случайный спектр Г(») является нестационарным процессом частоты даже лля стацнонариосо сн. пр. с (г), причем значения Г(») для разны~ частот некоррслпрованны. Положив в (3) ш, (/)=О, убеждаемся, что»лг(»)= =Кя(», » ) =яхг(»; ») осскопечна. Процессы с корреляционной функцией вида (3) называются бгаыси сиумом (ч 2.7). Слеловательно.
случайный спектр как функция» для стационарного сл. пр. г,(г) является процессом типа белого шума. В математической литературе чаще оперирую~ пе спектром Г(» ), а интегралом от пего (ссптсгрпльньые спектром) вида с!)х!. с!с!= ) з с!)01= ) !.".! !"-'!!! 1'"' ' ~ / ',:! ! )г !".) 1) ч л)нгзйиьсй цр01)ссс 6 ( / ) оп( сдс сон с )очп)н)1«со Ухо прс)н'!валс!«)Й постоянной.
В и!сформзпищп«зм шшпе использование 6(/) жвпва !ентзо Г(/), з н !соре)нчсском о серзцпя нспс'грнровз!и!я «озволяет пзбеж!ыь х !ерировзпия с бель)м «!умом. При )сс:м про!хесе 6(,/) ос!аз!!вас!си сп!щ вписровскосо (о 3.5), з спс«1- рзл«пая зло гпость 9(/) при и!г()')- — -0 яглястся его щнепсппностью ко )фсрп!Хие!)том диффузии. Положив в (5) /,==/+с, /; ==/-с, ю))у !пм 6(/+с) — 6(/ — с) .— ехр( — !2ц/!) — —. -- — — -з-з.--,',(с)с/!. схр! !2вы)- схр ! - !"ясп) г ! 'кс Поскольку ехр!+12ясе)= соз2л)с+1ч!п2дсс. !о 6! /+с)- 6(/' — с) ес!ь обычное прсобрзп)вш!ис Фурье процесса "„'-'«) сйп(2яс!)/2я/.
Ис! основании формулы обращения имеем "ЗСХ зк Левая щсть .по! о равенссаз с!реми!ся и ' (!) при 1: — О. Посколысу процесс 6(ой пе днффсренцирусм, то предельное соос ношение можно записи!с, в виде интеграла Сти!п,съесз: ,„(с)=. ) ехр(12а/с)с/6(/) (2.5,0) 2. Спектральная плот!спеть. ХЭпределпм снсьл!Вильну«) нзютнттпь,9( / ) сл)сл!иа!са/)ссс),а в ит/)акал! сзсыг:и сл. пр. С(С) как преобразование Фурье от ковзризпионной функции: (2.5.7) К(т)=- ( 5(/')схр(12я/т)с//: (2.5.8) Тз)сам образом, спектральнзя плосность и ковариациопная фун- кция стационарного процессы предаавлспот собой пару взаимных преобразований Фурье.
Я(/') = ( К(т) ех р ( — !2я/'т) г/т. Пз основании обрпного преобразования Фурье можем на- писать г) нсслогнч!!в!в) образом связаны ме)кду сооой спект()альная плотность Я (/') и корреляционная функция /с(т) стационарного в щиРоком смысле центРиРовзнного сл.
пР. с (с)=г,(с) — т)1 5 (/)=- ( /1(т)ехр( — !2я/т)с/т, (2.5.9) /с(т)= ( Я (/)ехр(12тс/'т)с(/'. (2.5.10) Полставив в (7) выражение ковариациопной функции через корреляционную и воспользовавшись дельта-функцией, получим 5(./)=-Я.(7)+ 'б(./) (2.5.1 !) Видно, что спектральная плотность сгационзрпого процесса с неравным нулю м.
о. отл!лчается от спектралыюй плотности соответсгвующего центрированпого процесса лишь наличием дискретной линии на нулевой частоте. Имея это в виду, можно сказать, ч.со формулы (7)...(10) явля!отса равнозначными. Этн формулы были получены независимо советским ученым А. Я. Хинчиным и американским ученым Н. Винером и поэтому называются формулами Винера — Хинчнна. Поясним теперь физический смысл спектральной плотности.
Если понимагь под с(г) случайньсй (флюктуационньсй) ток или напряжение, то величины 5(/) и ос(/') в формулах (7) и (9) будут иметь размерность энергии'. Полагая в формуле (10) т=О, имеем /ус=/((о)= )' я„(/) //: (2.5. 12) Эта формула показывает, что дисперсия («полная энергия») стационарного цептрированного сл.
пр. равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину 5 (/ )/(/' можно трактовать как долю «энергии», сосредоточенную в малом интервале частот от ( — (г///'2) до /'+(с///2). Перечислим основные свойства спектральной плотности. 1. Спектральная плотность стзционарного процесса (вещественного или комплексного) — неотрицательная величина: к(/) > о.
(2.5.1 3) Это следует из (3), так как при /! =/ =0 ковариациопная функция К,(/; /') — Мс!// (/)! ) >О. Свойство неотрицательной определенности спектральной плотности, как и аналогичное свойство (2.4.21) корреляционной ' Во многих случаях зто нс так, нанрнмср когда Х,(с] онисывас) случайные колебания козффнцнсюа усилсння, случайнос врсмя заназдывания отражснного сигнала, частогныс нли фазовыс флюктуазви сигнала н ).
д функции. являе гся характерисз ическилл или опрелелякощим. Его значение базируется на следующем резуль ~ ат е. Пусть задана неотрипательная функпия 5(1). Существует сжщиопарный сл. пр. е (!), имеющий спектральную плотность 5(1) или корреляциоппуго функцию /1 (т). Э.
Спектральная плогносгь стационарного в широком смысле сл. цр. есть всегла вещее~венцов функция (поскольку К( — т)=-К'(т))„причем лля всчпественно~о процесса она является четной функцией частоты. Так как корреляционная функция /х(т) вещественного процесса ееп четная функция аргумента.
то (2.5.1 5) 5о( — 1)= ( к(т)ехр(32д/т)с/т=5о(1) Учитывая четность спектральной пло ~ ности. формулы (9) и (10) можно записать так: :к 5о(1)=- ) /((т)сок2к/Ыт=2 !!'Я(т)сов2д1тс/т, о А(т)= ) 5о(1)сов2к/М/=-2) 5»(/)сов2к/те/1. (2.5.1 6) о Следовательно, спектральная пло пюсть н корреляционная функция вещественного стационарного в широком смысле сл. пр. связаны друг с другом взаимными косинус-преобразованиями Фурье. Поскольку корреляционная функция вещественного процесса есть вещественная функция аргумента, то из (15) видно, что спектральная плотность является также вещественной функцией частоты.
3. Корреляционная функция /1(т) и спектральная гшотность 5»(/') стационарного в широком смысле сл, пр. обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр 5о (/), тем «уже» корреляционная функция /((т), и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде известного ггринципа или соотношения неопределенности. Заметим, что во всех предыдущих формулах спектральная плотность 5о(/) определена для положительных и отрипагельпых значений частоты, причем согласно (14) для вещественных случайных процессов 5о ( /') = 5о ( — /'). В отличие от ~ акого двустороннего «математического» спектра введем односторонний «физический» спектр 5„"' (/), отличный ог нуля лишь при положительных частотах 1'>О: 5 о ( 1 ) = 5о ( 1) + 5о ( 1 ) =- 2 5о ( 1 ).
(2.5. 17) То~да из (15) и (16) получим следуюгцие окончательные формулы Винера - - Хинчипа: 84 5 ' ( 1 ) = 4 ) К (т) сох 2д/ т г/т, /' > О, (2.5.18) К(т)=- ( 5 ' (1')соз2к/тг//, 1. О. о Формулами (7), (8) и (15)„(16) целесообразно пользоваться при выполнении вычислений, так как интегралы в бесконечных пределах, как правило, находятся проще, чем интегралы хотя бы с одним конечным прелелом. При физическом рассмотрении и провелении экспериментов следует оперировать формулами (18) и (!9).
В инженерной практике «протяженносгь» спектральной плотности по оси частот часто характеризуют э(//фекти«иой ити/лиюй слек~пра. Ее можно определить по-разному. Одно из определений дается формулой Л1,' =-,( 5о (.1) ~/1/5о ( /о)- (2.5.20) о где 5 (/') значение спектральной плогности при некоторой характерной часто~с 1„'. Обычно за 5о ( 1о ) беру~ максимум спектральной плотности или ординату, соответствующую т.очке симметрии.
Иногда указывак>т ширину Л/;,; спек~ральной плотности на уровне 0 55„( 1,). При качественном рассмотрении характера спектральных плотностей можно выделить два класса: спектры, значения которых заметно отличны от нуля ~олько в узкой полосе частот Л/, тесно сконцентрированной около частоты 1 »Л/; и спектры„не удовлетворяюцгие этому условию. Стационарный сл. пр., спектральная плотность которого сконцентрирована в узкой полосе Л1 около частоты 1о » Л1 (2.5.21) принято называть узкополосным случийпым процессом. Если это неравенство не выполняется, то процесс пе является узкополосным. Количественную меру узкополосности процесса можно определить по-разному, в зависимости от рассматриваемой задачи.
В некоторых случаях степень узкополосности можно харакгеризовать просто величиной Л/;/1„а иногда целесообразно оперировать другими критериями узкополосности. Ради краткости в дальнейшем преимущественно. будет использована следующая запись основных формул Винера — Хинчина (7)... (10): 5(а)= ( К(т)ехр( — )ат)е/т, К(т)=- — ( 5(а)ехр()ол)е/а, (2.5.22) 5о(о>)= ) Р«(т)ехр( — 1о>т)сй, Л(т)= — ) 5о(о>)ехр(1о>т)с>со. (2.5.23) Нулевой индекс будем часто опускать, помня при этом очевидное соотношение 5(а>)= 5„(со)+2ят-б(со). (2.5.24) Вместо спектральной плотности 5„(со) можно рассматривать нор>иироеи>тупо к единис«е епектральну>о пхттиоеть «о (со) — 5о (о>)) 2> (2.5.25) где В--дисперсия рассматриваемого процесса.
Разделив правые и левые части формул (23) на В„получим, что нормированная спекгральная плотность и нормированная корреляционная функция стационарного в широком смысле процесса связаны парой взаимных преобразований Фурье; ,«о(о>)= ( >(т)ехр( — 1о>т)сй, >(т)=- — к (со)ехр(1о>т)с(со (2.5.26) или согласно (18) и (19) зоь (()=4 ( г(с) сов 2яУтсй, (2.5.27) г(т)=) зо'(~')соа2ЯРтс(/; 7 )О. о Заметим, что нормированная спектральная плотность удов- легворяет >ем же условиям, что и плотнос>ь вероятности: ,с„(со)эО, ( х,(со)йо=1. При этом нормированная корреляционная функция связана с нор- мированной спектральной плотностью соотношением (26), ана- логичным выражению (2.2.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
