Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 12
Текст из файла (страница 12)
12 1з)+[за! (1!)лег(1г Ез)+ +ге,(! ) Л:(еы !з)+ее (е )и (е, ! )3+ег, (! ) ег (1 ) ег (1 ),... (2.2.34) Разрешая последовательно уравнения (34) относительно кор- реляционных функций, можно получить выражения корреляцион- ных функций через моментные. Итак, моментные функции однозначно выражаются через корреляционные. При определенных условиях по моментным или корреляционным (кумуггянтным) функциям можно восстановить характеристическую функцию и, следовательно, п. в. (см. рис, 1.4). Поэтому моментные функции так же, как и корреляционные, могут быть использованы для описания случайных процессов. Поскольку моментные и корреляционные функции определя- ются как коэффициенты разложения в ряд Маклорена харак- теристической функции или ее логарифма, то естественно, что первые коэффициенты соответствующих разложений являются наиболее важными и существенными.
В дальнейшем особую роль будут играть м. о. сл, пр. т, (1) =- т, (1) = М (Р, (1)) = [ хр, (х; 1) с(х, (2 З5) — а а такгке начальный момен'г тг! (1„12), называемый новирииционпой гугулгсцией сл. пр., Кс( „е,)= » (1, е )=М(~(1 )~(1 )) = а а хгхгРг (хг, «2; 1! Ег) сЕ«гс(хг (2.2.36) и цептРальный момент 12 ! ! (1„12) = !сг(1„12), называемый коР- рел.чцнонной с(гугекцией сл. пр., )1 ! (Ег.
1 ) = 12 ! ! (1! 12 ) = М ([ь (1! ) — т! (1, )~ [ье (! 2) — пг ! (12 )т3) = а а [Х! — т!(Е!)1 [Х2 — ггге (12)1172 (Хг, Х2 !г, 12) С)хга(тл. (2.2.37) Из (361 и (37) следует связь между ковариационной и кор- реляционной функциями сл. прл К!(1! ° Ег)=1!!,'(!! Ег)+пг!(!!)Егг!(!2). (2.2.38) Раздел теории, посвященный изучению лишь тех свойств сл. пр., кстгорые определяются этими характеристиками, называется нггррелтЕитогой теорией. Корреляционная теория дает полное описание одного очень важного класса случайных процессов— гауссовских Я 2.6). Отправляясь от совместных и условных п.
в. типа (13) и (19), можно ввести совместные и условные лгоментоые и корреллциогтые функции. Они определя!отса формулами, аналогичными (27), (28) и (32), ~олько теперь нужно оперировать соответственно совместными и условными п. в. и условными характеристическими функциями. 2.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ Основываясь на введенных характеристиках сл. пр., можно провести их классификацию. 1.
Нестаццонарные и стационарные процессы и поля. Важным классом сл. пр. являются стационарные сл. пр. Случайный процесс "(1) называется егпиционарныл! в узко«! смысле, если все конечномерные функции распределения вероятностей любого порядка инвариантны относительно сдвига по времени', т, е. при лгобыл п и !о справедливо равенство Гч(лг, ..., х„; Е! — Еог ..., 1л — 1о)=Г„(хг, ..., х„; !! ".
Ел). (2.3.1) это означает, что два нРоцесса с(1) и с(! — !о) имеют одинаковые вероятностные характеристики при любом Ео, Случайные процессы, не удовлетворяющие этому условию, называются неетационирньгми в узком Е;иыеле. Разумеется, что аналогичное равенство должно выполняться для п, в. р„(х„..., х„; 1! — !о, ..., 1„— Ео)=р„(х,, ..., х„; 1„..., 1„), (2.3.2) а также для характеристических, моментных и корреляпионных функций. Стационарный в узком смысле сл.
пр., в отличие от нестационарпого, ведет себя однородно (однообразно) во времени. Стационарные сл. пр. аналогично установившимся детерминированным процессам получаются в установившемся режиме работы системы при неизменных внешних условиях. Стационарные процессы являются часптым случаем более широкого класса нестационорных процессов (рис. 2.2).
Примером последнего может бьп ь любой сл. цр, в переходном режиме работы системы (например, сл. пр. на выходе инерционной системы в начальный ' В литературе такие случайные процессы часто называют также стсционираы.иа е стрсеом смысле 3 — 2247 период при воздействии на аларлеЕе елЕ2еаиняие„вход системы даже стационар- ааа' "»'Феса 616 „„рле,е»2 ного слУчайного сигнала). я «еслле В некоторых простых случаях нестационарный процесс можргеуляеслле но преобразовать в стационарный. Например, нестационарные процессы 2) (е) = «(е)+ е (е) Рис. 2 2. Иллюстрация соотношения меж- или Ч(Е) = Е(Е)«(Е)+Е! (Е), где Лу разлвзлымл виЛами .луяаялых иро- «(Е) — СтацИОНарййй ПрацЕСС, цессов Е'(Е) и Е', (Е) — некоторые детерминированные функции, очевидным образом сводятся к стационарному процессу «(е).
Однако если нестационарный процесс 2)(е) задан выражением типа » Ч(Е)=) Ез(Е, т)«(т)с(т, о где Ее(е, т)- некоторая детерминированная функция, то сведение нестацнонарного процесса к стационарному в общем случае невозможно. Понятие стационарностн в узком смысле обобщается на два и несколько сл. пр. Два сл.
пр «(е) и Ч(е) называются совместно стационарно связанными л узком смысле, если их совместные функции распределения вероятностей любого порядка инвариантны относительно сдвига по времени: е» (х1" х» у1".у»'е1." е»'21 "ет)= =р„, (х,,...,х„; У,,...,У; Е,— Е„.,ń— Ео,' Е'! — Е,,...,Е' — Е„). (2.3.3) Отметим, что если каждый из процессов «(е) и 2)(е) сам по себе стационарный, то отсюда вовсе не следует, что они будут стационарно связанными в узком смысле.
Из определения стационарности (2), в частности, следует р(х; е,) =р(х; е, — е,)=р,(х); (2.3.4) рз(х1, хз, 21, 22) — рз(х1, хз', 21 — 21, 22 — 21) =,оз(х1, хз, т)„т= 22 — 21. Таким образом, для стационарного в узком смысле сл. пр. п-мерная плотность вероятности, л-мерные моменты и корреляционные функции зависят не от 11, а от (н — 1) момен~он времени, так как олин из выбранных моментов времени можно всегда принять за начало отсчета времени (например, положить Е, =О).
Из первой формулы (4) видно, что одномерная п. в. стационарного в узком смысле сл. пр. вообще не зависит от времени. Позтому одномерная и. в. н одномерные моменты не учитывают временных характеристик стационарного процесса: процесс, про- 66 !екающий в с раз быстрее или медленнее, будет иметь одну и гу же одномерную п, в, Математическое ожидание (среднее значение) стационарного и узком смысле случайного процесса пе зависит от времени: л7! =М(«(Е)) = ) хр!(х)с(х. (2.3.5) 67 Ковариационная К (е,, е,) и корреляционная 216(21, е ) функции гависят ли!пь от разности аргументов т=е — е,, прйчем )11(2) =- М ф(Е ) — енД («(Е + т) — ен,.')) =- ) (х„— т.) (хз — т!)рз(х„хз, т)2(х1 !!х, = (2.3.6) = М («(Е ) «(Е + т)) — т .
= К!(2) — т Дисперсия стационарного процесса Е) =о!2 — — М Яф) — тД2) — — рц(0)= = ) (х — пь) р,(х)с(х =М(«(Е)) — та постоянна и равна значению корреляционной функции при нулевом значении аргумента. При решении некоторых практических задач (в рамках корреляционной теории) многомерные и. в. не рассматривают, а оперируют только м.
о. и коварнационной (корреляционной) функцией. В связи с этим введено понятие стационарности в широком смысле, Случайный процесс «(Е) с конечной дисперсией называется стационарным л Еиироком смысле, если его м. о. и ковариационпая функция инвариантны относительно сдвига по времени, т. е. м. о. постоянно (не зависит от времени), а ковариационная функция зависит золько от разности аргументов т» =сопя!, К2(21, 22)=К!(ез — 11). (2.3.3) На основании формул (5) и (6) закл!очаем, что сл. пр., стационарные в узком смысле, всегда стационарны и в широком смысле. Однако обратное утверждение в общем случае неверно.
Два стационарных сл. пр. «(е) и Ч(е) называются стационарно гвлзанлыми е широком смысле, если их взаимная ковариационная функция инвариантна относительно сдвига по времени: Кгч(21, е2) М(«(21)Ч(е2)) ™(«(е! — 21 )т)(е2 — 21)) = =К. (2), т=е,— е,. (2.3.9) Отметим, что если каждый из процессов «(е) и Ч(е) явля- с1ся стационарным в широком смысле, то зто вовсе не озна- чает, что они являются стационарно связанными в широком смысле. Помимо указанных двух основных определений стационар- ности встречаются и другие понятия стационарности.
Случайный процесс с (1) называется ста>1иопарпь>л! порядка /с, если равенство (1) или (2) выполняется не для любых и, а только для и ~)э Ясно, что если (2) справедливо при и =к, то в силу условия согласованности (1.2.11) оно будет также выполняться и при п с)т. Случайный процесс с (1) называется асимптотичсски ста>1>гопарпым в узком слгыслвч если существует предел 1>>п р„(х,, ...,..„; 1, +10, ..., 1„+1«). >о Случайный процесс с (1) называется с>па>!иопарпым в узколг смыслс пт! конечном интервале, если равенство (2) выполг!яется для всех временных точек этого интервала. процесс с (1) называется периодически ста>1иопарпьгл! или чиклостачио>шрпым в узком смысле с периодом Т, если равенство (2) выполняется только при 1„= тТ, т = 1, 2, ... Это означает, что случайные величины Цг), с(1 + Т), ....
с(1 +тТ) имеют одинаковые плотности вероятности. Можно сформулировать аналогичные определения стационарности в широком смысле. Приведенные определения распространяются на случайные поля. Однородность случайного поля является аналогом стационарности сл, пр. Случайное поле с,(г) называется однородным, если его плотности вероятности любого порядка не меняются прн произвольном сдвиге начала координат, т.
е. р„(ь >, ..., с„; г„..., г„) =р„(ь'„..., с„; г, — г„, ..., г„— Г»). (2.3. 10) Физически однородность поля указывает на то, что в любой точке пространства г поле ведет себя «в среднем» одинаково. Если равенство (10) не выполняется, то поле является неоднородным. В более общем случае поле определено как функция координат пространства г и времени 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
