Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если определитель системы, составленный из этих коэффнцищпов отличен от нуля !преобразованне невырожленное), то система иэ двух линейных алгебраичсскил уравнений у, =- ах, -ь Ь х .. у ..= сл, ч- с/х, имеет однозначное рещение хс = ас ус 4Л1 г„»1 =ссус г с/1 гс, где коэффициенты а„Ь,. г,. с/, выражанпся через а, /1, г, с/, В данном случае якобиан преобразования переменных равен ./,(х,, »,)=В(ус, гэ)са(тс,:'1)=ад-ЬгФ О. Поэтому формула (5) нримст вид р„,„(у,, ут)=!ан — Лг! 'ВЬ«,(а,у,-!Луг, сьу,-! 1/ ул). (!.5.27) Воспользовавшись этой формулой, нетрудно убедиться, что если сл. в.
и ',, являются совместно гауссовскими, т. е. имеют нормальную и. в. (1.4.5). то преобразованные величины Ч, и Ч, будут также совместно гауссовскими. Этот результат распространяется иа несколько совместно гнчссовских сл. яс при 4ч линейных нсвырожлснных преобразованиях совместно га«ссовских «л. ч, получаются такжс совместно гауссовские сл. в Пример 1.5.2.
Суммирование лвух величин по модулю. Г!уотс, «у«1мнрун11«я по модулю / две независимые непрерывные сл в. '„и ьз, одна пс кагоры, имеет постояннусо и. в в интервале [О„ /], а лругая — пронэволс,нио Докажс 1. что п. в. такой сУммы ч=йсч--,л бУдет постовнной в инсспвалс [О, 1]. Пусть р! (1,)= !,'/ при .т, и [О, /]. а рс (т,)--произвольная нспгсрышюч и. в Поскольку Цс и чел независимые сл.
в. зо их совместная и. в. равна проьзвслснсю р(х„л.,)=р, (х,) рь(х,)=/л, (.«-,)//, л., к[0. /] Обозначим сумм) по модулю / через ) =. [л, ьхт]1. Поскольку 1, = [ г — 11 (ь 111 совместная п. в. ляя Ч и Ьт равна р(1, х,)=р, (х,)//, ге[0. /] Отсюда по условик1 сосласованности получаем равномерную и. в для Л: ! р,()')= [ Л(1«)дл =-; . и[0 /] Пример 1.5.5.
Плотности аероятностсй огибаннцей и фазы вектора с гауссовскими проекциями. Пусть сл. в. с, н ф, совместно гауссовские с м. о т, п лс, дисперсиями Вс и В, и коэффициентом корреляции 1. Расслютрнм нслппсйпос преобразование В=«/гс< йлтВО. О=ага/5(Ц1/'!) 10((к, !1 5 эх! н найдем и.
в. лля новых сл. в. В и О, причем сл. в. В постно назчасс. огибающей, а 0 — фазой случайного вектора В с проекцнямн б, н ',. Гп:ая задача встречается в теоряи распространения радиоволн при оппсшшн амплитудных и фазовых флюктуацнй принимаемых радиосигналов !7!. Перейдем к новым переменным по формулам вида (!.4В) на =ьссозпч-гтзспи, чт=сзсоза — ьсйп п и вьсбеРем Угол и иэ УсловиЯ некоРРелиРованностн Ч, и Чз. и пмспао гви=2гч/Всо,(В,— Ва)"' при В,НР, и з=-я/4 при В, =Р,.
тогла сл. в. П, н т), булут совместно гауссовскими и независимыми: 1 [ ( г — гас)1 ( г — юг) 2Я(В;В'л) "л [ 2В', 7В; Здесь л11 М (чс ! =а11 СОБИ п1л з1пп/ сп1 — "'М (Пт 1 — л11 созз п1 з1п ж 1 В', Г П(Ч,) =Вссоз и ! Р, пилил-г(В, Рх) "1 йп2п, В 1 = В (Ч,) =- В, сочли+ Р, йпз к — г (Р, Вл )" ып 2п. Перейдем в и. в. к полярным координатам В и ф согласно равенствам па =Всозф, ч,=Ввпф, т. с. В=-(чс-гч!)'11>0, ф=-0 — и=агс!5(чх/ч,). Р„(у'у=р (О <у) =Р (Р.г <у, йз<у) = У У =Рг м(У У)= ! ) Рп! (Х»хг)ггхгггхз.
(!.5.34) (1.5.29) [1.5.35) [1 5.30) [1.5.3 1] П. в. для фазы имеет влд так как и'(лг, соя О+ лгг йп 9)] х с »р — — — —, ] 9 ! '". к. 20 (1.5.38) О =.пгах(С,, ' ), г' —. ггг г гг (с „Чг). (! 5.32) !! 5.33! хе]ер а[хг (1.5.41) ъ '4, У хг я) а) 50 Якобггггп преобразования переменных Уг(В, ф].=гз( г,. !гз) ггс(В, ф)=В и по формуле (5] получим В Г (Всозф — т',)з (Вз!пф — тз)гг! р,(В, ф)= — — „, схр 2л(2З'177')П ~ 277'г 227г Огсюда путем шысгрпровапия по «лишнему» аргументу можно найти интересующиее пас и.
в. Различным зиечсппям пяти параме гров булуг сооз ветстаовать разные и. в. Укажем здесь два частных случая. Полагая т, =т,=О. 77г = О,= 77, У=О [т. е. Угг' =т'„'=О, 77] = ]УУ=-Р, к=я/4), получаем для огибающей и. в. Рзлея, а для фазы — равномерную: В гг Вг'г ! р[В)=- ° р( - — ~. В>О, р(9)=.—, ]9]<я. ]7 2В Если т,тгО, ггггРО, 77г=РУ=Р, У=О (т. е. т',=-»гг2(ггггтгпг)!2, т;=- '2(тз — гггг)[2, Рг=77г— - 27, и=я/4), то придем к п.
в. Райса: В гГ В -1- пг г»г (гггВгг уг(В)=.— схр] — — — —. 1„— -У), ггг=(т'г+лг.)'г . Д ~, 227 7) (х 0у) ! ! тгг лг,созО+тзппО гглггсозО;т,з!пОУ] р(0) = — схр 2Л (ч 2Дг) /2 17 (х Ъ ! Пример 1.5.4. Функция расиределеввк и и. в. наибольшей [иаггмеиьшей) из даух сл. в. Пусть сл. в. Цг и 4 имеют функцию распределения гйы(«г, х,) и и. а. Рбг.(», тг). Найлсм функцию распределения и п. в.
сл. вл Е!апбольшая из двух сл. в. Ег п сз будет меньше у, если каждая пз величин меньше У [рггс. 1.12, и): Рис. !.12. Области благоприятствующих значений Продифферепцировав это выражение по у, получаем формулу для п. в. Р»(У) ! Рс ! (У хз)хз+ ) Ре гг(хг У)хг' Для независимых сл.
в. Ог и Гг формулы [34) и [35) принимают вид Р,(У)=Р,(У) Р,(У) Р.(У)=ре,(У) Ре,(У)+Р.,(У) Р,(У) (1.5.36) Для функции распределения наименьшей из двух сл, в, (33], исходя из ее смысла (рис. 1Л2, 6)„можем написать Гг(х)= Р (Г<х)= Р (Рг <х, х, <хз)+ Р (Рз <«, хе <хг) = 1 гухг (Рп! (хг, хг)г]хз+ ) г]хх ( рс г (хг, хз)г]хг —— 1 г г'хг г г Р\ггг(хг хг)г хг ! г г~«2 ! ! Рг е (хг, хз)г хг = / ="'с,(х)+Рс,(т) Рйе,(г х) [1.5. 37] Рсы,(т х)= ! ! Рце (х„хг)г)хгг]хг —— 1 г]хг ( ре г (х„хг)чхз+ ( гухз ( рх ! (хо хз)гухг.
Дифференцируя [37) цо х, находим п, в. Рг(т)= ! Рпг,(т. «У)г]ха+ ! Рцс,(»»)']хг Если сл. в. Е,г в Гг независимы, то формулы [37) и [38] примут вид Р( )=Рп( )+Рс,( ) Рц( )Рс,( ) (1.5.39) Ргй=Рг,(х)Е]-рс,Я+Рег(х) Е1-Рп(»Ц (1. 5,40! Полученными формулами можно воспользоваться для расчета надежности систем, содержащих элементы с зависимымн озказамп [2]. Пример 1.5.5. Плотиесть веровтиоепг наибольшей (ивимеиыией] из иескольких иезависвмых сл. в. Требуется получить п. в.
наибольшей О=шах(г,г, ..., 7,„) и наименьшей ч=ппп(гг, ..., Рм) [1.5.42) из л иезависпмых непрерывных сл. в. гу„..., г», с п. в. Рг,(х,), ..., Рь(х„). 51 и! ( — 1)'!'( — )' В(т — 61) (1.5 431 ;(з)=Ц [ — Рц(г)] К,",' ' !1.5.44) (1.5.45) П,5.461 (1.5.51) о Для функции распределения сл. в. т! имеем р,()= (.<,=Црц(), рь(у)= [.,(.,) х„=1, В ре!ультате лифференцирования по у получаем и. в. ",р,» рч(у)=Ц Ге(!) ~ ,-1 рц(у) Для функции распределения сл. в. «можем напнсать Рг (г) =- Р («< к ) = ! — Р («> с ) = 1 — Р ("„> з, ! = 1, и ) = =! — Ц [! — Ре (з)]. Путем диффсрснцироваяия по = находам п. в.
В частном случае, когда все л независимых сл. в «ц ... «„ имеют одинаковую и. в. р(т) (функцию распределения Р(х)). предан!уэпие формулы упрощаются: угч(Г)=Р" (!). Рч»=- Р(У)Р" '(У). 72(я)=1-[1-Р(з)]", рг(з)=пр(з) [1-Р(зн" ' Пример 1.5.6. Характеристики поряшговых ствтистяк'. Пусть и независимых сл. в. ";,.. „с„пме!ог олинаковую и. в, р! (л)=-р(т) и функцию распределения Р(т). Расположим !упорядочнм) сл. в, в порядке возрастания значений !вариапвонпый ряд) "ц,':«йц«...гпы. «л. в. "„„, 1=1, п, называется ьй порядковой статистикой.
Гели нсупорялочснныс сл. в. ";, независимы и одинаково распределены, то всличины .',„, зависимы из-за неравенств межлу ними. Заметим. что сл. в.;„можио интерпретировать как конкрстныс исходы п опытов нал сл. в. «!вьюорьа обьемв и). Расслютрим некоторыс характеристики порялковых статистик. Очсвилно. что полученнью выше формулы (451 и (46) лают функции распределения и л. в.
соответственно сл. в. «ю и,'„ц. Получим п. в. г-й порядковой спмистики (сл. в. 1<г<п). Событие к<~о,<х+Лх может бьжь реализовано следуюпзим образом «,<х лля г — 1 из величины «,; х<«,<.т, Лх для олной из вели~ил «, и «,>з ч Лх для остальных и-г величин «и Вероятность такого исхода равна Р" '(. ) [Р(л»Лх) — Р(х)] [1 — Р(хч-Лх)]" '. Число способов, которыми п наблюдений можно разбить на три такие группы, равно ' Дэйвид Г.
Порядковые статистики: Пер. с англ.(Пол рел. В. В. Петрова. Мл Наука, 1979 — 335 с. где В(х, ! ) =Г(х) Г(г))Г(хо г) бета функция; Г(х) — гамма функция. Поэтому при малом Лх получим Р(х<«го. х»Лл) = [В(г, и — г»1)]' ' Р' '(х) р(л) Лх х х [! -Р( +Лх)]-- ч-О(Л. з), где 0(Лх') означает член порядка (Лт) и включает в себя вероятность тех реализаций события х<~ц<хч-Лт, при которых более чем одно «, попадает в интервал (х,.т+Лх). Поделив обе части мого равенства на Лхтб. прилем к формуле р (х)=[В(г, п-г.1-1)] ' Р" '(х) [! — Р(х)]" 'р(х).
Отсюда при г=п следует формула (45), а при г=1 формула (46). Получим совместную п. в, р„(х, у) лля порядковых статистик «,ц и ! <г<зцп. Заметим, что составное событие х<5лц<х+Лх, у<«гн<у+Лу реализуется (с точностью ло членов, имеющих более высокий порядок малости) следующим путем: (г — 1) из всех наблюдений меньше х, одно попадает в интервал (т, т»Лх); (т — г-1) наблюдений мепыцс у, одно попадает в интервал (у, г+Лт), для остальных (и-з) наблюдений «,>у»Лу.
Отсюда для х< г слслует, что р (х, у)=п! [(г — !)!(т — г — 1)!(п — г)Ц Р' '(х) р(х) $ р(т) — р(х)]' х р(у) [! — Р(у)]" ', т>г, г>х. (1.5.48) Формулы (47) и (48) позволяют найти л в. для медианы н размаха ваРиацнонного РЯда Л„=->го! — «цг Если и —.нечетное число: п=2»-!.1, то медиана равна срелнему члену 9в, ц вариашюнного ряда Положив в (47) в=2»+ 1, г=»-1-1, получим рк м (х) =и! (» !» !) ' Р'(х) [1-Р(х)]' р(х).
Когда и- четное число: п=2». медиана определяется как арифметическое среднее членов «в! и «в, ц ваРиационно~о !Улда «=(«юл-«д,ц)72. Если в фоРмУле (481 положить п=2», ~ =», з=»о! и затем перейти к новой переменной т=(х-ьу)72, то для п. в. медианы получим выражение п! р (к)= — — ] Ро ц(х)[1 — Р(2з — х)]' 'р(х)р(2х — х)Вх. (1.5.50) (»- !)!(» - !)! При г= 1, т=п из (48) слсдует совместная и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
