Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 5
Текст из файла (страница 5)
С помощью алгоритма Г! получить Ч! с параметрами Ь=1, с=о. 2. С помощью Г1 получить Ч2 с параметрами Ь=1, с=р. 3. ()=Ч!,)(Ч1+Ч2). Алгоритм О2. 1. Получить а,, й,. 2. з! =а,", в2=аг)". 3. в=з! +в2. если в>1, перейти к п.1. 4. (3=.011». Распределение Вейбулла р(х)=(сх' '/Ь')ехр~-(х)Ь)'~, с>0, Ь>0, х>0.
(1.29) Алгоритм Н1. 1. !4'1=Ь( — 1па)". Распределение Накагами 20 0) )= — ( —,) ' Р( — —, ), * О, где т — параметр формы; о- — параметр масштаба. Алгоритм Я1. 1. С помощью алгоритма Г! получить Г с параметрами с=-т, Ь= 1. 2. И'= о / $'/т. Распределение Ройса л)*)- —, Р( —, )2.( — '*,), 0, )2,231!) где а — параметр «нецентральности» (а>0); а — параметр мас- штаба. Алгоритм К1. 1. Используя А2, получить Ш, 112.
2. В=(а+о!31)г+(о(32)г. /рег'еолыгсге распределепгге г Сггмысоггсг/ 4(х — о)г(Ь вЂ” а)', хн(а, (а+Ь)/2), р(х)=. 4(Ь вЂ” х)/(Ь вЂ” а)', хн((а+Ь)/ "г, Ь), 0 .лф(а, Ь). (1...1 2) Алгоритм Я1. Получить пг, иг, 2. = ! =сг/2+ссг(Ь вЂ” а)/2, с2=сг/2+оса(Ь вЂ” а)/2. .г= 1+=2. 1. 3. Раепрес/еггс пие Берггулгггг Рг«=./с)=йр+(1-/с)!, й=0,1; /=1 — р. Алгоритм Х!. 1.
Получить и. 2. Если сс<р, то «=1; иначе «=О. Биномиалыгое распределение Ргс«=/с/ =С„"рлд' ', /с=О, 1, 2, ..., п. Алгоритм Ч1. 1. !'=а, /с=О, Р!=с/". 2. Ч=Ч вЂ” Р1. 3. Если Ч<0, перейти к п.б. 4. Р1=Р1(гг — /с)р/(/с+1)с/. 5. /с=/с+1, перейти к п.2. 6, «=/с. Алгоритм Ч2. 1. к=О, /с=!. 2. Получить а„. 3. Если пг</г, то л=л+1. 4. /с=-/с+1. 5. Если й<гг, перейти к п.2. 6. «=-.г. Алгоритм Ч3 (для малых р). 1, й=-О.
Е=О. 2. Получить пл. 3. Е=Е+((пал/!пс/+1), /с=-и+1. 4. Если Е<п, перейти к п.2. 5. «=/с — 1. Дпегсретпое равгюмерное раепредеггепие Ргг«=/с) = 1/и, /с.==1, 2, ..., п. Алгоритм 71. 1. Получит~ ш 2. «=(!+сггг1. Распределение Прас соггсг Ргс«=/с)=(Х"//с!)ехр( — ) ), /с=-О, 1, (1.2.16) Алгоритм Ч! (для малых ),). 1. р==ехр( — ).), /с= — 1, к=0. 2. Е=/с+1, л=лсгл. 3.
Если л>р, перейтн к и. 2. 4. с=/с. Алгоритм Ч2 (приближенный дпя ) ля 1)с 1. Получить «/, используя А2. 2. «='«Ег г/)с+Ц. (1.2.1 3) (1.2.14) (!.2.1 5) 1.3. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1. Методы описания. Пусть многомерная сл. в. или сл. вектор «имеет составляюгцие или проекции «г, «л, ..., «„. Каждая из скалярных величин (проекций) с;, г= 1, и, может принадлежать 23 к одной из трех ранее указанных грушг: дискретной, непрерывной или непрерывно-дискретной. Для описания вектора « нужно указать область возможных значений, принимаемых вектором, и в той или иной форме задать вероятности этих значений. Для этого используют обобщения тех характеристик, которые приведены в х/ 1.1 для скалярной сл.
в. Универсальной характеристикой, пригодной для описания векторной сл. в. любого типа. является функция распределения вероятностей Рл(х)рл(хгхахл)Р(«г<хг«г<хг«л<хл л л ) р„(и,, ..., и„) с/иг ... с/и„. (1.3.1) Перечислим основные функции распределения сл. вектора: 1. Функция распределения Р„(х/'-+О, когда хогя бы одна координата вектора х стремится к — сс, и Г„(х)- 1, когда все координаты вектора х стремятся к +со. 2.
Функция распределения Р„(х) является неубываюшегл и непрерывной слева функцией по каждой из координат вектора х. 3. Р„(х„..., х; „со, х,лг, ..., л„)=р„г(х,, ..., х;, л;,,, ..., х„). Плотностью вероятности р„(х)=р„(х,, х„...„х„) сну гайного вектора «=-гс«г, „,, «„) или совместной и. в. сл. в. называют предел о~ношения вероятности попадания случайной точки в бесконечно малый многомерный параллелепипед со сторонами Ахг, Ахг...., Ах„к обьему этого параллелепипеда при стягивании его в гочку (х,, хг, ..., х„): ( )- ( )- ' Р,'л, <с„<х, ' гллг,, л„<с„ж Ь,~-сглз ! р„х! =р„(х,, ..., х„/= 1пп гглг ллг ." М л' -а (!.3.2) с/.И ... сл.„ Плотности вероятностей должны удовлетворять следующим четырем условиям: 1) условию неотрицательносгн р„(л, хг, ..., х„)>0; (1.3.3) 2) условию нормировки ) р„(х,, хл, ..., х„)с/хг дхг...с/х„=1; (1.3.4) 3) условию симметрии — функции р„(х„..., х„) должны быть симметричны относительно любых перестановок аргументов х;, так как вероятность совместного осуществления гг неравенств хг<«г<хг+Лхг, г'=1, п, не зависит от того, в каком порядке перечислять эти неравенства; 2сг 4) условию согласованности при любом т<п Ю а: р (х,, ..., х„,)= ) ...
) Р„(х„..., х, х,,, ... ..., х„) о!х„, х, ... г1»„. (1.3.5) Последнее соотношение показывает, что из п-мерной п. в, всегда можно получить любую п. в. меньшей мерности путем интегрирования первой по «лишним» аргументам. Из перечисленных свойств п. в. непосредственно следуют указанные выше свойства функций распределения, если воспользоваться соотношением Р„(х,, ..., х„)= ( ... ) Р„(х'„..., х„')а!х', ...г1х'„. (1.3.6) Вероятность попадания сл. вектора « в область В определяется формулой Р(«с В) =) Р„(») г1» или в координатной форме (1.3.7) (!.3.8) Р((«„«з, ..., «„)нЯ) =) ...) Р„(х„..., х„)Ых, ...Ых„.
Укажем, что совокупность комплексных сл. в. «> — †«1 +!т)ы ..., «„ =-«+!т)„ считается вероятностно определенной, если известна совместная функция распределения или совместная п. в. 2п действительных сл. в. Г„, ..., «„, 11,, ..., т1„. Характеристическая функция сл. вектора «= («ы ..., «„) по аналогии с (1.1.13) определяется формулой Ф„(!9)=Ф„(!3,, ...,!3„)=М(ехр!(9,«, +...+Зх«„))= ехр ~! (3, х, + ... + З„х„)|Р„(х,, ..., х„) гЬ, ...
г1х„, (1З.9) — м — к где 3,, .... З„вещественные переменные. Характеристическая функция Ф„(!9) симметрична и непрерыв- на, !Ф„(!3))= 1, Ф„(0)=1, Ф (!Зы ..., !3,„)=Ф„(!3,, ..., !9, О, ..., 0), т<т (1.3. 10) Последнее соотношение показывает, что из характеристической функции Ф„всегда можно получить характеристическую функцию Ф меныпей мерности (т<л), положив равными нулю «лишние» аргументы 3;.
В этом заключается одно из преимуществ опе- рирования характеристическими функциями. Если независимые сл. в., то их совместная характеристическая функция, 30 как следует из (9), равна произведению характеристических функций отдельных величин: Ф„(19„..., !Зх)= П Ф„(!3„), х=! Наоборот, если совместная характеристическая функция величин «,, ..., «„ выражается формулой (11), то сл. в.
«,, ..., «х независимы. Это утверждение следует из формулы, выражающей и. в. через характеристическую функцию: д" р„(х,, ..., х„) = ' - — Р„(х„..., х„) = д.х, ...дх„ (1.3.12) — "ехр( — !(З,х, + ... +З„х„)ЗФ„(!9,, ...,!9„)с19, ... с19„. (2»)" ) Здесь интеграл (если он сходится не абсолютно) понимается в смысле главного значения Коши. При решении многих задач приходится оперировать условными функциями распределения и условными п, в.
Уело«пой функцией распреоелекин Ге(х ! В) = — Р(х ! В) сл. в. «относительно события В называется условная вероятность выполнения неравенства «<х при условии осуществления собьпия В: Г(х ! В ) = Р («< х ! В , '= Р (« . х, В ) 1Р (В ), (13 !3! где («<х, В) — по существу произведение двух собьпий и В. Условная функция распределения удовлетворяет всем перечисленным ранее условиям, которым удовлетворяс~ безусловная функция распределения. Если «---непрерывная сл, в., то условлил л, в. определяется формулой дк(х ! В ) . Р (х и й < х «Лх ~ В ) Лх По переменной х она удовлетворяет всем условиям, налагаемым на и. в.
Для совместной п. в. двух сл. в. «н т) (скалярных илн векторных) справедлива формула умножения и. вд р~ (х, у ~) = Р (х ) Р ( у ~ « = х ) = Р„(у ) р (х ! ц = у ). (!.3.1 5) Если сл. в, «и т! независимы, то Р (х, У)5 Р (х)Р»(У). (!.3.16) Эта формула выражает необходимое и достаточное условие независимости двух сл. в. Приведем сведения о многомерных условных функциях рас- пределения и условных и. в. Обозначим через Р(К,, .... Хк)лт „,, ..., .Ка) УСЛОВНУЮ И.
В. СЛ. В, Г,1, ..., С,„ПРИ Залап- НЫХ ЗиаЧЕНИЯЛ СЛ. В. '... =Х„,,, ..., Га =Х„. СОГЗ1НСНО ТЕОРЕМЕ умиозкения вероятностей си!заведливо соо1ношение р(Х,, ..., Ха ~ Хктз, ..., .Х.„) = =Ра(Х,, ...„Х„, ..., Х„)У'Р„.а(Х„,1, ..., Х„). (1.3. 17) Соответствующая условная функция распределения Р(хз, ..., .Ха ~ х„,, „..., х„) получается интегрированием (! 7) ио первым й переменным в пределах от — со до х,, ..., х„. Например, если Р(х! !.хг ° .Лз)=рз(х!, Х2 -кз)1рг(х2, .Хз), 1О Р(х1 ~.кг л'з)= ) рз(и, хг, лз)г!и2р (.Хг, хз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
