Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

е. вероятности отдельных возможных значений рг=Р(с=х„). (1.12) Очевидно, что р, Э:О и '1 р,=!. ! Приведем два конкретных закона распределения: биномиальный и пуассоновский. Первый из них возникает в часто встречающейся задаче повторения в неизменных условиях одного н того же опыта с двумя возможными исходами: «успех» и «неудача». Пусть опыт повторяется н раз и в каждом нз них успех наступает с вероятностью р, а неудача- — с вероятностью </=1 — р. Число успехов в н испытаниях есть дискретная сл.в., принимакнцая значения О, 1, 2, ..., и.

Вероятность ря(/с) того, что прн и испытаниях успех наступит в /с опытах, определяется формулой Бернулли я р(х)=</Г(х)/</х, Р(х)= ( р(у)<!у. О (1.1.5) Плотность вероятности должна также удовлетворять следующим условиям: 1) неотрицательна р(х) >О; я> 2) нормирована к единице ( р(х)</х=1; О 3) вероятность попадания непрерывной сл.в. в полуинтервал ~х,, хг) равна интегралу от п.в. в этих пределах Л Р (х, < ь < х, ) = Г(хг) — Г(х, ) = ) р (х) с/х.

(1.1.6) «) Размерность п.в. обратна размерности сл.в. г,. Характер функций распределения и законов распределения (п. в.) дискретной, непрерывной и смешанной сл.в, показан на рис, 1.1, Известно много функций, удовлетворяющих перечисленным выше условиям, которые можно рассматривать как п.в. сл.в. (2). Весьма разнообразный характер п. в. Р(х) дает четырех- параметрическое семейство кривых Пирсона, задаваемое дифференпиальным уравнением г/х) Г/х) Е(х) Он являетсп предельным случаем биномиального закона (3), когда при п- со произведение пр=)с остается конечным. В ряде практически важных задач (например, при рассмотрении случайных потоков — пример 3.3.3) закон Пуассона выступает не как асимптотическое, а как точное решение. Для непрерывной сл.в.

аналогом закона распределения является п.в. Р(х), представляющая собой неотрицательную функцию, удовлетворяющую условию Вероятность р„(/с) равна коэффициенту при х' в разложении бинома (<(+рх)" по степеням х. Поэтому совокупность вероятностей называют б<гн<>л<иальнььи закопал< распределения вероятностей. Закон Пуассона имеет внд р(/с) =() "//с !) ехр ( — )). (1.1.4) 1О Рис.

1.1. Характер функпнй распределения п законов распределения (п. в.) дисярст- ной (а), непрерывной (б) и смен>виной (в) сл, в. х>хг В хя а) д х и х б) б) ар(т ) 1 — а -= — — — — — -- —, р(х), дт Ь„+Ь,т+/>„тя (1.1.7) -з те -! и ! 2 лх- л)/7 Рис. !.2. Нормальная и. в.

и фунлния распределения (1.1.1 О) (1.!.1 1 ) М(тр(с,))яе ) ср(х)р(х)с(х. (1.1.1 6) где а и Ь,.-- постоянные параметры распределения. В зависимости от значений этих парамезров в качестве решения дифференциального уравнения получается 12 типов кривых. Приведем здесь три примера п.вс равномерную (прямоугольную), Коп!и и нормальную. Они определяются соответственно выражениями ! ! Ь р(х)=- — --, а <х < !2; р(х)= — —,— - --;, й )О, — со <х < со; Ь вЂ” и л IР ж(.т — хе) (1.1.8) (.— ) ) р(х)=-й!(х; и, 22)= — ==-ехр — -- — — ~, — сс <х < со. (1.1.9) ~'2л22 Нормальная п.

и. определяется двумя параметрами: т --математическим ожиданием (м. о,) и 2!--дисперсией. Непрерывная сл.в. "„ описываемая нормальной п.в., называется еауссовской. Гауссовские сл.в. часто встречаются на практике и играют особую роль сами по себе и в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей, физический смысл которой сводится к следующему: п.в. суммы равномерно малых (т. е, играющих примерно одинаковую роль) сла~аемых при неограниченном увеличении их числа сколь угодно близко приближается к нормальной независимо от того, какие законы распределения (и. в.) имеют эти слагаемые.

Кроме того, пз гауссовских сл.в. с помощью надлежащих преобразований могут быть сформированы сл.в. с другими п. в. (см. пример 1.1.1). ой сл.в. имеет вид Функция р,!определения гауссовск Р(х) = )у'(у; т, 72) с!у == Ф где Ф(х) = — — ехр — — сй у2„ ! 2 --интеграл вероятности. Он и е!о первые производные подробно табулированы. Графики нормальной п. в. (9) и функции распределения (10) приведены на рис, 1.2.

Для гауссовской сл. в. формула (6) принимает вид я!', ! .;)=я(*,! — яс.,)=е(* — "т! — е(* —:"). п.пя! Вместо закона распределения (п.в.) для описания сл.в. (часто с целью упрощения некоторых вычислений) используют характеристическуио фуикци!о, Она представляет собой м. о. сл.в. ехр()ЭЦ) или, что то же самое, преобразование Фурье от закона распределения (и. в.) Ф ()Э)=М(ехр()Э,",)) = =( ехр(! Эх) р(х)т!х. (1.!.13) При этом по формуле обращения имеем р(х)= — ехр( — !Эх)Ф (!Э)с(Э. (!.1.14) Характеристическая функция вещественной сл,в.

непрерывна по Э и обладает свойствами !Ф ()Э)! <Ф(0)=1, Ф ( — )Э)=Ф* ()Э), где звездочкой обозначена комплексно-сопряженная функция. Для гауссовской сл. в. Ф (! 9)=ехр()т Э вЂ” 2!Э',!2). (1.1.1 5) Итак, для полного описания сл.в. можно равноправно использовать функции распределения вероятностей, законы распределения (п.в.) и характеристические функции. 2. Числовые характеристики.

В некоторых задачах можно ограничиться рассмотрением более простых, но менее полных характеристик сл, в. В качестве таких характеристик обычно используют моменты и кумулянты. Приведем их определение. Под математическим ожидаяяием (м.о.) функции тр(с) сл.в. Ц с п.в. р(х) понимают интеграл Здесь и в дальнейшем символ М ( ) обозначает операцию м. о.

над величиной, указанной в фигурных скобках.' Сама операция м. о. по существу есть осреднение рассматриваемой величины с соответствующей п.в. В частности, при тр(с) =с и <р (с,) = (9 — т)я имеем !3 т=М(9) = ( .хр(х)г!х, 22=М г(е — гп) ) = ( ( с — т) р(х)г7х (1.1.17) (1.1.18) Величину т называют магпемапшческим ггогеггданием сл. в. Р„ а 73 †дисперси сл.в. Перечислим основные свойства м. о«1) м.

о. т имеет размерность самой сл. в. ~; 2) м. о. неслучайной величины равно этой величине; 3) м. о. сл. в. Ц, имеющей симметричную п. в, относительно прямой х=а, равно т=а; 4) неслучайную величину можно выносить за знак м.о. Дисперсия характеризует степень концентрации и. в. р(х) в окрестности м.о, и имеет следующие свойства: 1) дисперсия имеет размерность квадрата сл.в.; 2) она неотрицательна: гг > О, причем 2г =0 тогда, и только тогда, когда Ц= е=сопзц 3) неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат: гг,, =гг.0; 4) прибавление постоянной величины к сл.в. не изменяет дисперсии последней: 27,~, =224; 5) дисперсия характеризует меру рассеяния (разброса) значенйй сл.в.

относительно м. о., что следует из неравенства П. Л. Чебышева Р (Д вЂ” т ) > с) < !у/а (1.!.19) где с > О- произвольное положительное число. Из формулы (17) следует, что если интерпретировать р(х) как плотность массы, распределенной вдоль оси х, то м.о, т есть абсцисса цегпра этой массы. Иначе говоря, м.о. характеризует располохгенне «центра» закона распределения р(х).

Можно ввести еще две характеристики такого рода, а именно медиану х„и моду .х„,. Медиана есть такое значение х„которое делит площадь ггод п. в. пополам, т. е. медиана есть любой корень уравнения Г(х,) = 0,5. Она может быть неоднозначно определенной. Если существует интервал (гг, р), на котором г"(х) =0,5, то любая точка этого интервала может быть медианой. Йногда рассматривают квантили. Квагггпиль порядка р есть корень уравнения Р(е ) =р, где р — некоторое данное число, 0<Р <1. Медиана есть квантиль поРЯдка 1г2: х,=9ггг. Мода является третьей характеристикой расположения «центра» закона распределения. Модой непрерывной сл, в. называется любая гочка х,„макснмума п.в. Если п.в.

имеет один максимум, то она называется унимодальной. При наличии двух или более максимумов п. в, называется бимодильной или мультимодальной. Если для дискретной сл.в, возможные значения хг расположены в порядке возрастания, то точка х, называется модой„если р„> р,, и р„> р„», . Соотношения между м. о. т, медианой х, и модой х показаны на рнс. 1.3. М.о. «чувствительно» к «хвостам» закона распределения (п.в.). медиана менее чувствительна к ним, а на !4 галям хт т х, м такт х Кроме этих моментов рассматривают также абсолютные начальные и центральные моменты у! (!1,!'гг= ) (х!'р(х)агх, (1.1.22) М(!~- ! г — ( ! — ! р(х) йх. С!.1.23) Для дискретных сл.в. в формулах (20)...(23) вместо интегралов будут соответсзвующпе суммы. Пользуясь формулой бинома Ньютона и свойствами м.

о., начальпыс моменты можно выразить через центральные н на- оборот. В частности, 2 Но= 1, Нг=О, Нг=.О=тг т, Нз=пгз — Зтт +2т „ Нд=тя — 4пгзт+бтгтг Зт Для гауссовской сл.в. 1 3 5 .. (з — 1) 22"" при ч четном, 0 и прн гг нечетном, (1.1.24) Рис. 1.3. Различные соотношения между м. о. »г, медианой х, и модой х моду крайние значения вообще не влияют. Для уннмодального и симметричного закона распределения все трн показателя совпадают. В случае асимметричных и мультимодальных распределений они не совпадают.

П.в. имеют положительную (отрица'тельную) асимметрию, если мода предшествует медиане (следует за медианой). При этом большая часть распределения находится справа (слева), а более крутой спад — слева (справа) от моды. Применим формулу (1б) к частному случаю степенной функции гр =(е,— с)', где с = сова!, зг= О, 1, 2, ... Получающиеся при этом числа называют моменпгами к-ео порядка сл. в. Р, относительно постоянной е. При с=О моменты называют начильпьгми и обозначают т„ а при е=т моменты называют ггеггтралыгыми и обозначают Н„; т,=Мгг~~")= ( х'р(х)с!х, т =1, т, =т, (1.1.20) Ж Н„= М ((е — пг)"') =- ) (х — ггг)"р(х)г7х.

(!.!.2! ) Ф(19)=м ~ ~ ~, (19)")=1+ '„", '— ",' (19)', г. ч=0 ч=-1 (1.1.2б) где ч гг" Ф(19) 49" а=о Если интересующие нас моменты (27) дает простой способ их вычисления гб (1.1.27) существуют, то формула путем дифференцирования гп0=1, пг, =нг, гп =-27+нг, нгэ.— — ЗнгР+гпз, гп„=-.377 +бич'2)+гп4, (1.1.25) Возвратимся к формулам (17) н (18) и покажем особую роль м,о. и дисперсии.

Пусть нужно получить !акую оценку ' сл.в. которая минимизирует средний квадрат ошибки: с'!. = М ((ь — с )' ) = ) (х — ~)'р (х) г(х. Приравняв производную по ~х нулю, находим = нг = 1 ХР (х) г(х, ап гп Следовательно, м. о. является наилучшей оценкой сл. в, по критерию минимума среднего квадрата ошибки. причем мипималыюе значение этой опгибки равно дисперсин. 3. Восстановление плотности вероятности по моментам.

Характеристики

Список файлов книги