Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(1Э.42) В противном случае величины называготся ко(гре,си)гсгванными, Сл. в. с,г и с„называются ортогонавьными, если т„= М (Д,(~ ) =О, (1.3.43) и независимыми, если выполняется равенство (16), т. е. !22(х(, хг) — рс (х()рс (х2) ° (1.3.44) Между этими условиями существуют связи. Наиболее жестким и ограничительным является условие независимости (44). Независимость предполагает выполнение равенства (44) для каждо~о х, и хг, в то время как пекоррелированность представляет собой (олько интегральное свойство п. в.
рг(х,, л,). Путем подстановки выражения (44) в правую часть (37) нетрудно убедиться, что для независимых сл. в. р,, =О. Следовательно, независимые сл. в. всегда не коррелированны (линейно-независимы). Однако обратное утверждение в общем случае неверно., т. е. некоррелированные сл. в. могут быть зависимыми, Это утверждение основано на том, что из равенства )2„=0 вовсе не следует, что для подынтегрального выражения в (37) должно выполняться условие (44).
Здесь исключение составляют совмесзно гауссовские сл. в. (с. 40). Для пекоррелированных сл. в. нак.чон линии регрессии (41) равен нулю и сг =М (сг ). Следовательно, если сл. в. не коррелированы, то линейная оценка (или предсказанное значение) равно м. о. самой сл. в. сг и совсем не зависит от другой сл. в. с,г, При этом дисперсию ошибки линейной оценки 52 нельзя уменьгпизь, вычитая из нее какую-либо линейную функцию (',1. Приведенные определения (42)...(44) распространяются на несколько сл. в. «1, сг, ..., е„, причем они могут быгь вещест- 38 денными и комплексными. Говорят, что сл. в. с,г, ..., ~„некорре сарова(сгсы, если корреляционные моменты между любыми двумя из них равны нулю, т. е.
если М ((с,(с ге г( = М Д(! М (с ге ), с' Ф), (1.3.45) где звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину. 1.4. ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (1.4.3) 39 В виду того, что гауссовские сл. в. весьма часто встречаются на практике и играют особую роль. рассмотрим их отдельно. Непрерывная сл. в. Ц называется гауссовской, если ее и. в. является нормальной, т. е. дается формулой (1.1.9). Этой п. в. соответствуют функция распределения (1.1.10) и характеристическая функция (1.1.15). Для нормальной и. в, (1.1.9) справедливы следующие соотношения; диМ (д(с)) г(дР=2 "М (сРд(к)1с)>2",', М (с у (Р ) ) =- М,' с ) М (( г (6) г(+ Р (М (с)д (Г ) ((сЦ г(, где Р— дисперсия сл, в.; ~(Ц вЂ” произвольная функция; М(д(е))-— — ) д(х)р(х)дх.
— а Полагая у(с)=с", эти формулы позволяют сравнительно просто находить последовательно все более высокие моменты н(,=М("") гауссовской сл. в. В частности, с их помощью легко провери~ь выражения для моментов (1.1."5). По определению две сл. в. сг и сг называются совместно гауссовскими, если их совместная и. в.
имеет вид (Ср О) рг (хг, хг) = С' ехр ( — (их'-, + )гхг.тг+ схгг+ с!хг+ ехг)3, (1.44) где квадратичная форма в показателе для любых х, и х, является положительно полуопределенной: ахс+Ьхгхг+схг+с)х,+ехг>0. Выражая совместную п. в. через ранее введенные количест- венные характеристики, получаем с с(.., ., (- ~ (( г,, с, с, - г(, ( — 22,(х, — ггг,)-'Л-2Н„(к, — и,)(.,— г) — 22,(к,-ггг„)г х ехр 2Ф1 221 — Нг! ) 1 х 2лсг,вг сг! — ег с — о" (хг — игг) л-2гогог(хг — т,)(гг — ыг) — ог(хг — тг)11 2сггог(! — гг) Соответствсшю совместная характеристическая функция Фг(13„132)= [ [ ехр Г)(3!х!+32хг)~рг(х! т,)с!т, сйтг= 1 2 =.*р[1 ), З, за!99, ) — !З, З; 91„„9, 99 За.
Зг)З= 1 р[1)т,з, В,В,) — ! )9'„'-1,,9,9,.9 ',91)]. (1.4.6) Чг= («! !из)анто!+( г — игг)соха, где Угол сс опРеделЯетсЯ из УсловиЯ М [)1! Г)2) =0 и Равен !32а=2гст)стг)(а! — ог) пРи ст! Фаг; (1.4.1 О) и=к)4 при стз=-ог. Вид преобразования (9) объясняется следующими соображениями. Из формулы (5) следует, что нормальная и. в. имеет 40 Здесь отдельные параметры (всего их пять), как нетрудно проверить, имеют следующий смысл: т, и п)2 — — м. о. сл. в. «! и «2 соответственно; Р, = о'-, и Р, == о-, — их дисперсии; г — коэффициент корреляции., т.
е. т,. =- М («!), и г =М ((«) †;) 1, г=.)з!!.)ст)ог = =М((«! — т! )(«г — т )))ст! о2, )=-1, 2. С помо!цью дифференцирования выражения (6) нетрудно проверить„что для характеристической функции имеет мес! о равенство с "Фг(131,132))дгз=( — !)9(ст,а,3,32)ВФ 113),132), (143) Рассмотрим на примере двух сл.
в. характерные свойства совместно гауссовских сл. в. 1. Если сл. в. «, и «2 некоррелнрованны, т. е. г=О, то из формулы (5) следует, по их совмесп)ая и. в. равна произведен!го п. в. каждой из величин: р. (х,, х,)==р(х,)р(хг). Ио такис величины по определснню (1.3.44) называются незавпслмымн. Следовательно, если две совместно гауссовские сл. в. пекоррелированы, то они и независимы, т. е. пекоррелировашюст ь двух совместно гауссовских сл. в. тождественна нх независимостии. 2.
Две коррелированные (зависимые) совместно гауссовские сл. в. '-„и «2 всегда можно привести к,!вум цекоррслированным (независимым) гауссовским сл. в. т), и т)2 с помощью линейного преобразования [2] ц, =(«, — Ги, )сони+(«г — т,)гйп ос, (1.4.9) постоЯнное значение на так на- я 22 Вв„лг)-сппвг зываемых эллипсах постоянной Ут плотности (рис. 1.10): тг (Х! — НЗ!) (Х! Н11)(Х — Н11) — 2à — -- — + а г + а, аз аз аз 1 Центр этого эллипса находится 1 в точке (т,, т,): в этой .точке 22 п.
в. максимальна и равна лгт р (Ги,т )= Г2! ! 2) Рнс. 1.10. Эллипс постоянной всроятности =(2яо, ог П вЂ” гг ) Оси симметрии эллипса составляют с координатными осями (х, х,) два угла, определяемые уравнением (10) и разлнчаюптиеся на н)2. Для независимых сл. в. (Г=О) оси симметрии эллипса параллельны координатным осям. Отсюда ясно, что для сведения зависимых сл.
в. «, и «, к независимым В, и ц, нужно перенести начало координат новой системы в точку (т,, т, ) и совместить осн с главными осями эллипса постоянной плотности. Это и осуществляет преобразование (9). 3. Одно из важнейших и определякнцих свойств совместно Гауссовских сл. в. состоит в том, что при линейных преобразованиях нх получаются также совместно гауссовские сл.
в, (см. пример 1.5.!). 4. Если две сл. в. являются совместно гауссовскими, то каждая из величин будет также гауссовской. Обратное утверждение в общем случае неверно (оно верно только для независимых сл, в,) [2). 5. Для совместно гауссовских сл. в. условная п. в. одной из них при фиксированном значении другой является нормальной. Действительно„воспользовавшись формулами (5) и (1.!.9), получим ! 1~(Л2 ! «1 =Х! ) Рг (Х! Х2)! /Р (Х! )= — — — — - — Х аз. ' 2я(1 — Гз) г 1 Г а, — ["-"- - — ]) 2азз(1-Гз)~ а, (1.4.! !) Видно, что условная п.
в. является нормальной с м. о. и дисперсией, равными соответственно М ( 92 [ «1 — Х1 ) — ри2+ Г(зг!)Вр! )(Х) т! ) Р;,, =огг(1 — г ). (1.4.1 2) Условное м. о. «г при данном х, зависит от х, а условная дисперсия Р„ ц не зависит от х,. ° 1' 1 41 А11 А!г "° А1н Аг! Агг "° Агл х, хг 7711 тг (1.4.1 7) па= и! Апг '"' Аил а также !К!=1(е!К вЂ” определитель корреляционной матрицы. 42 Г>. С уче.аом результата (1 3.32) формула (12) позволяет сделать принципиально важный вывод: для совместно гауссовских сл. в. оптимальной оценкой одной из сл. в, через другую (по критерию минимума среднего квадрата ошибки) является линейная опенка: с!=к(е„=л>)=М !.г!;С=х, с —— т,+г(о!со, )(1.,— т,).
(1.413) При этом минимальное значение среднего квадрата ошибки дается формулой (1.3.39): (1 гг)о (1 тг) 27 (! .4.14) Нормальную условную п. в. (11) можно записать в следующем виде: р(тг!х,)=(2кс„'„„) 'с!ехр(--(11 — ег)~72с,'ы) При анализе функциональных преобразований совместно гауссовских сл. в. часто оказывается полезным разложение Мелера двумерной нормальной и. в. (5) в ряд по ортогональным полиномам Эрмита: рг(х,, х,)= — — -ехр~ — — ''— ,,' — — -' — ' —, Зах 2яс>, ог ~ 2о', 2о,' у где ГГ„(х) — полиномы Эрмита (!.1.34). Простота оперирования таким разложением объясняегся тем, что в правой части выражения (!5) переменные х, и х, «расщепленьш, г.
е. входят в качестве отдельных сомножителей. Почти все приведенные вьшае результаты обобщаются па несколько совместно гауссовских сл. в. Случайные величины с>, Ег, ..., С„иаЗЫВаастСЯ СО«жЕСтЛО гиУЕ ООСКи>ИИ, ЕСЛИ ИХ СОВМЕСТНЫЕ п. в. являются нормальными. Эти п. в. записываются наиболее компактно в матричной форме. Обозначим м. о, сл. в. ~„через лг„, дисперсию через 2)„и корреляционный момент между сл. в. ~„и Ц,. через Я„,=М((Г,„— лг„)(г,„— т,))=г„, ссЪ„Б„, !г,«=1, 71, (1.4.1б) т„„— коэффициент корреляции. Ясно„что Я„„=.0„и Я„,—.Я„„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
