Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Определим векторы-столбцы и корреляцйонную матрицу: СовместнаЯ ноРмальнаЯ п. в. сл. в. Р„г,г, ..., 9„имеет вид р„(х)=((2к)"сг ! К !'7~ 3 ' ехр ( — (х — ааа)'К '(х — ап)723, (1.4.18) и соответственно характеристическая функция Ф„(19) = ехр () па'9 — 9'К 9 >с 2). (1.4.1 9) Здесь К '--матрица, обратная К, символ т обозначает транспонированную матрицу и 9'=(Э„Эг, ..., 9„3- — вектор-строка. Так как Я„„= А„„, т. е. элементы корреляционной матрицы К, расположенйые сймметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, то корреляционная матрица является симметрической. Поэтому п. в.
(18) и характеристическая функция (! 9) определяются л (л + 1) >с 2+ л параметрами. Применив формулу (1.3.26) к совместно гауссовским сл, в. с характеристической функцией (19), можно вычислить многомерные моменты. В частности, для четырехмерного момента 4-го порядка четырех сл. в. ~1, 9г, с„с4 получится следующее выражение: М(ч! чг чз ч4)™Ф чг)+М(чз ч )+ + М (ч> чз ) М (Дг ч4 ) +М (Д! ч 7 ) М (Дгчз ) -2тгтгтзт4 (1.4.20) где тс=М(Гс), 1=1,4. Приведем общее выражение сг-мера!ой условной нормальной п. в.
! оа(х> хгр, р хг ! Ха> 1 хр) рг(Х> )Хг) >! (2я) "' ! Их, Сх, ! "1 х ехр( — (Х, — пах,!х,) Кх ~~х,(Х! — пах,Сх,)772) (1 4 21) где К вЂ” корреляционная матрица вектора-столбца Х=(Х„Х13'. К11: К1г Кх !х К11 К1гКгг Кг1 К= Кгг; Кгг пах,~х,=па!+К!гКгг (Хг паг)' К„, Кг,— корреляционные матрицы векторов Х, и Хг соответственно; К,г, Кг, — матрицы взаимной корреляции между векторамн Х, и Хг; ап>=М(Х1) и апг=М(Хг) — векторы- столбцы м. о. векторов Х, и Хг.
ПосколькУ Условное м. о. апх сх выРажаетсЯ линейно чеРез вектор Х„то согласно результату'та(па (1.3.34) можно заключить, что оптимальная (по критерию минимума среднего квадрата ошибки) оценка гауссовского случайного вектора Х, при фиксированном гауссовском векторе Хг является линейной. Укажем еще один результат — при перемножении двух нормальных п.
в. 791(паг, К,) и с>сг(паг, Кг) полУчаетсЯ также ноР- мальная п. в. 43 (1.4.23) где ш=й!В! ш1+Вг ш23 В хк! +1!2 (1.4.24) 1.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНБ/Х ВЕЛИЧИН. ПРИМЕРЫ Рч „(У,, У,)=ЦР (х,, хг) /х! ~Ь2. *У Отметим, что область 1, может оказаться многосвязной и поэтому фактическое вычисление интеграла (2) в общем случае будет не простым. ПолУчим фоРмУлУ длв п. в. Р„ч (У1, Уг). ОпРеделим маленькую облазь Аду на плоскости х,','.т, неравенствами У! <х! (Х1, Х2)<1 1+!/У1, 1 2 <хг(Х1, Х2)<У2+!/Уг. Из такого определения элементарной области Аз„следует, что ДВа собы гив (У ! ~ ~т) ! < У ! + т/У 1, Уг к~ 11 г < У 2+ 1/Уг ) и ((с 1, с 2 ) б !зх! ) являются тождественными и вероятности их одинаковы: /!ч, ( 1'1, ! г ) !/У! 1/Уг = 1 1 /!х х (х1, хг ) к/х! !/х !' Предположим, что система из двух уравнений (х1, х )=У1, хг(х1, хг)=рг может быть РазРешена относительно хг, хг и пРи этом 1юлУчены Две паРы Решений (х',", х!г'!), (х',г', хг'): 44 (1.5.3) Обобщим формулы (1.1.46), (1.1.40), полученные для одной скалярной сл.
в., на случай двух и большего числа сл. в. Пусть две вещественные непРеРывные сл. в. с! и сг с известной п. В. р,. ~ (х, х,) подвергаются преобразованию т)1=й!(ч! °" ) т) =а (ч! чг) (1.5,1) где я!(.) и яг( )-- заданные детерминированные функции. Требуетсн получить соВместную и. В. Рч ч (У1, 1~2) Для сл. В. т1, и т),. Запишем сначала выражение для функции распределения.
Обозначим через хк область на плоскости х,, х„определенную двумя неравенствами л!(Х1, Х2)<11 ьтг(Х1 Х2)<12 Собыгия /11,<у,. т1,<уг ! и ((!";„сг)б.у,) являются эквивалент.- ными в том смысле, что осуществление одного из них влечет обязательное осуществление другого и наоборот. Поэтому вероятность этих событий // р/ //, рнс. !.!!. Случай двузначных обратных Функций х!' =/1!' (У! Уг), хг =/гг (У! Уг) 1=1,2. (1.5.4) Рассмотрим две прямоугольные системы координат: х,, хг и у,, у, (рис. 1.11), При выбранных значениях у, и у, элементарной прямоугольной площадке !/у! !/Уг на плоскости у,уг будут соответствовать две разные площадки в виде параллелограммов; они определяются двумя решениями (4). Известно, что площадь гзго параллелограмма равна т/у! 1/уг!Уг(Х7', хЦ1)), !'=1,2.
где ./2(х~!1, хув) — -якобиан преобразования переменных. Поэтому интеграл справа в (3) равен 2 ) ) /!! ! (х,, хг ) !/х! !/х, = 1/у ! 1/Уг ,'! р; ! (х !', .х г') ~ аг (х",1, х",! ) ) Ьа 1= ! Подставив это выражение в (3), имеем 2 рч,ч (у! Уг)=,! р,,аг(х(, х!2 ) ~ тг(Х! ° Хг ) ~ 1=1 где в правой части нужно выразить х!,', Х~1, !'= 1,2, через у, и уг согласно (4). При этом целесообразно сразу воспользоваться известным соотношением /2(уг! У!2!)=1/ !2(х!!' . х!г!).
Окончательная формула примет вид г р„„= 2" /ь ~ (/1",1(у„у,), /!го(у„уг))!ог(у!!", гго)!, (1.5.5) 1=1 где дг(у! у5 )=В(х! ° хг )/су!суг. (1.5.6) Выше предполагалось, что обратные функции (4) двузначны. Если обратные функции однозначны, то в правой части (5) должен быть только один член. Если же имеется т обратных функций, то в правой части (5) будет сумма т слагаемых. 45 Приведем обобпгепие формулы (5) на многомерный случай.
ПУсть известна совместиал и-меРцаЯ и. в. Р,(х„..., хи) сл. в. »ц ..., ди и нужно найти п. в. Р„(у,, ..., Уи) для' сл. в, Ц1=81(«, ", «.), —, Ч.=8.(»,,", «.), где функции д,, /1=1, л, кусочно-непрерывные. Если существуют однозначные обратные функции ", =/ (Ц1. -, Ч.), -, ».=/1. (Ц„-, Ц.), то интересующая нас п. в. определяется формулой Рп(У1 У2 "" Уи) РЦ(х1 х2 ". и) ! А~~( 1 х2: .' . и) ! =Р~(/11(у1 " у ) ". /1п(у1 " уи))! дп(у1 " уп)) (1.59) где э'„— якобиан преобразования переменных: й/1, й%1 ду, ду„ (1.5.10) ,/п(У1, ..., Уи) = ди/1„д/Ч ду, д1„ В тех случаях, когда обратные функции неоднозначны, следует в правой части (9) взять сумму по каждой из подобластей.
Различные моменты преобразованных сл. в. т1,, ..., 11, можно вычислить без предварительного определения из совместной п. в., а пользуясь формулой М 'ц '1т! ".— ... т!" ) = ( ... !" я ",1 (х„..., х ) ... д ' ( т„,, ..., х ) х х р,(т1...., хи)и/х1г/хг...и/хи. (1.5.11) В дальнейшем преимущественно будут рассматриваться различные характеристики двух сл. в. Приведем дополнительные сведения для этого случая. Иногда бывает нужно найти п.
в, одной функции двух сл, в. 'и1»2' Ц =К(»1»г). (!.5.!2) Введем вспомогательную случайную переменную П =» (илн т!.=» ). (1.5.13) Рассма~ривая совместно преобразования (12) н (13) как частный случай общего преобразования (1), сначала по формуле (9) находим совместную п. в. Р„„(у„у ) для сл. в, ц и т(„а затем интегрированием по у, получаем п. в. для т1: 46 Р„(У)=,( Р„, (У, Уг)т/Уг Если обратная функция .т, =/1( г, х,)=Л(у, уг) однозначна, то ри,1 ( г, 1и,) =ри . (Ь(у, уг), уг) ) ВЬ(у, у,)/01' ! и рч(У) / /11 ~ (/1(У У2) /2) х 1(Э ! 2) 1/Уг' (1.5.14) (1.5.! 5! (1.5.! 6) Последняя формула позволяет найти пл. в.
суммы, разности, произведения и частного двух сл, вл р„(у)= ( ре; (У+х„.тг)г/х„11=», +»2, р„(у)=- ! /14...~- хгу! —,', ц=»1«2, Р„(У) = ( /2;,:,(д хг) ! х ! 1/т" Ц = — ' Для независимых сл. в. «, и ", с п. в. Р„(х,) и р: (хг) в этих формулах нужно положить ре, (. „хг)=/ (х,)р. (.,). (1.5.! 8) От.ыскание п. в. (закона распределения) суммы независимых сл. в. по. известным и. в. (законам распределения) слагаемых называется калпгазга/тй а. в. (законов распределения).
Формула (!5) с учетом (!8) показывает. что композиция двух и, в. представляет собой интеграл свертки. При определении и, в. суммы не двух. а большего числа независимых сл. в. фактическое вычисление последовательных интегралов свертки может оказать- ся кропотливым и трудоемким делом. В подобных случаях прогце оперировать характеристическими функциями. Рассмотрим линейную сумму и независимых сл. в. ,«, +а,»,+...+аи»и, (1.5.1 9) где а,, а,, ..., аи — постоянные коэффициенты. Характеристическая функция этои суммы по определению Ф, (13) и М (ехр ( ! 3»и) ) = Ф; (!а, 3) ...
Ф2 (/аиЭ). (1.5.20) В частности, при а, = а = ... = аи отсюда получим Ф, (УЭ)=Ф, ()3)...Ф, (13), (1.5.21) а при выполнении дополнительного равенства Ф2 (13) = ... =Ф„(13) = =Ф, (13) Ф; (13)=Ф1(13). (1.5.22) 47 П. в. для «л, можно затем вычислить по формуле (1.1.14). Таким образом, характеристическая функция линейной суммы независимых сл. в, равно произведениго характеристических функций отдельных слагаемых, При вычислении п. в. суммы нескольких независимых сл. в.
целесообразно сначала по формулам (20) ... (22) найти к«!раз<7 еристн«1еску/о фун!!пню суммы, а затем нз обратного преобразования Фурье (1.1.14) получить и. в. С использованием формулы (11) нетрудно доказать следуюп)ис свойства м. о. и дисперсии суммы и произведения сл. в.
[1]. 1. М. о. суммы конечно~о числа сл. в, равно сумме их м. ол М [Ьг+Ьз+...+Ь„'/.=М [«11+М [Ьз]+ ...+М /с«в]. (1 5 23) 2. М. о. произведения независимых сл. в. равно произведению нх м. ол М/~, "„, "Ц„)=МД„М[Д,) М[с„'/. (1.5.24) 3. Дисперсия суммы конечного числа независимых сл. в, равна сумме их дисперсий: )3 ,'11+ ... +;„', =.)3/сс.„, '+ ... +)у [Ьа]. (1.5.25) Этот результат остается также в силе, когда каждая из сл. в.
г,с, ..., Г,ч пе зависит от суммы прсдыду/днх или когда сл. в. попарно независимы. Много конкретных результатов по нелинейным преобразованиям сл. в. приведено в [2]. Рассмотрим здесь несколько примеров. Пример 1.5.1. Линейное преобразование дв!х сл. в. Пусть (1.5.26) П, =а414-/1/м Чт=сдс Ьс/ьт. где а Ь, с, с/- — постоянные коэффициенты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
