Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 4
Текст из файла (страница 4)
при функциональных преобразованиях непрерывных и дискретных сл.в. Отметим что при неоднозначном или вырожденном преобразовании у=у(х) нарупгается однозначное соответсгвие между и. в. сл. в. ~ и гр по извеспюй п. в. р„(у) нельзя однозначно определить п.в. р,(л). Пример 1.1.1. Преобразование п. в. в заданную. Непрерывная сл. в. «нмсст в интервале [а. Ь) равномерную п. в. Р|(х).
Найти преобразование г=я(х), трансформирующее эту п. в. в заланиую р„(у). На основании (42] имеем Р„(! )г!) =г!х/(/э — а) или т=г-!-(Ь вЂ” а) ) р„(и)4|=с.!-(Ь вЂ” а)го()~), где Го(у) . фупкпня распределения сл. в. |1; г — константа. Так как для любой фупкппн распределения выполняются равенства Го( — гс) =О. Ро(ш)=.
1, то г — -и. При этом возможныс значения «будут заключены в интервале [а, !г). Следовательно, глс Го '(у) - функпия. обратная Ро(у). Нетрудно убедиться, что с помощью преобразования непрерывная сл. в. «с заданной функпией распределения Г|(х) преобразуется в сл. в, «, равномерно распределенную в ннзерваде [а, Ь). Следовательно, всякая непрерывная п. в. в принципе может быть преобразована в любую дру!.ую. 22 Пример 1.1.2. П. в. гармонического колебания с равномерно распределенной случайной фазой.
Рассмотриы ансамбль сииусоидальных колебаний. имеющих одинаковую амплшуду Ао и частоту о|о, но случайные начальные фазы х(!)=х(ор)=-Ао йп(ыо|+|р), Ао>0. Предполагая известной п. в. р (|р) для |р, нужно найти п, в, !ь(л) для сл. в. з в некоторый фиксированный момент времени !. Особенность данного примера состои~ в том, что при ),г(!))<Ао уравнение х=Ао яп(ого|«-|р) относительно |р имеет бесконечное чнсло решений ор„=агап(х/Ао) — ого!, л= ., — !, О. 1...
Так как Х'(4|о)=Ассов(соо(+ой„)= =.Ь(доз — зл)п|, то по формуле типа (46) получим При )к)>Ао уравнение не имеет решений и поэтому р,(т)=0. Рассмотрим частный случай, когда случайная начальная фаза распределена равномерно в интервале [ — к, к): ро (ф ) =' 1/2к, ! ф ! < к. В данном случае уравнение в интервале [ — к, к) имеет только два решения, причем для каждо|о вз них Р,(|р)=-1/2к. Поэтому р, = ) р (х ) г)х, рз = 1 р (х ) Ыл' (1.1.52) -б при, О, з)5 я(«)= 0 при Ц.=О.
а при Ц>0. ),О')=Р 8(г — а)+Раб(у-ьь) з) = 8 («) = л А, и А < 9 < (л «1) ж (1.1.53) (1.1.54) з5 Рис. 1.7. Квантование попре- Рис. 1.8. Алгоритм вычизания рывной сл. в. преобразуются лля 11 в дельта-функции, расположенные соответственно в з очках у=а и г= — Ь. П. в. сл. в. на выхоле ограннчптеля имеет вид рч(у)=Р,(у1г))г«р 8(у — а)з-рзб(уч-Ь), — Ь<т<а и равна нулю при у< — Ь и г>а. Вели на ахал о|раннчителя воздействуез непрерывная сл. в. г (например, нормальная рис. 1.б). го на выходе ограничителя в общем случае получится смешанная сл.
в. з), которая принимает непрерывное значение в инзервалс ( — Ь, и) и два дискРетных значениЯ г=- -Ь, и, соответстиенно с веРоЯтноствми Р. и Ры Очевидно, что для идеально~ о несмещенного ограничи геля. имеющего характеристику выходная исличина П являешя дискретной с п, в. где веРоЯгности Р, и Рх опРеделЯютсЯ пРедыдУщими выРаженнами. в когоРых нужно положить а=(1=0. Пус~ь сл. в. «подвергается квантованию, причем нелинейная характеристика квангуюшего устройства имеет лестничный вид (рис. 1.7): где л — делос число и А — -постоянный шаг квантования.
В результате квантования получится дискретная сл. в. тн принимающая значения у=ай с вероятностями Р (з) = л А ) =- Р ( и А ж чх < (л + 1) А ) = Ре ((и ь 1) б) — Рз (л А), глс Р;.(х) — функпия распределения сл. в. 24 Функция распределения Р„(у) имеет вид лестницы, высота ступенек в точках лб определяется последним выражением, а соответствующая и.
в. представляет собой послсдовательносзь эквидистантных дельта-функций. 1.2, МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЪ|Х ВЕЛИЧИН НА ЭВМ Приведем справочные сведения по алгоритмам молелирования некоторых непрерывных и дискретных сл. в.'. При отборе алгоритмов отдавалось предпочтение их простоте. Модедироаинием сл. а. называют процесс получения па ЭВМ последовательности се выборочных значений. Сл. в. обычно моделируют с помощью преобразований одного или нескольких независимых значений сл. в., равномерно распределенных в интервале (О; 1). Обозначим независимые сл.
в., равномерно распрелеленные в (О; 1), через и с различными инлексами: гхз, егз, ..., иь, ... В системе математического обеспечения практически любой ЭВМ имеется стандартная подпрограмма моделирования сг — «датчик» реализации псевдослучайной величины с равномерным распределением на инзервале (О; 1). Стандартным ме годом моделирования непрерывной сл.
в. с функцией распределения Е(к), когда существует обра гная к ней Р '(х), является использование алгоритма вида (1.1.47): «=Р '(и). (1.2.!) Этот алгоритм можно использовать в гех случаях, когда существует аналитическое выражение для Р '(к) либо в математическом обеспсчснии имеется стандартная процедура, вычисляю1цая эту функцию. Для лискретной сл. в. «с законом распрепеления ра — — Р(«=-хя,', )с=О, 1, 2, ..., универсальный алгоритм реализует «метод вычигания» (рис. 1.8). Реализация этого алгоритма предполагает наличие в памяти ЭВМ всего набора чисел р,, l =О, 1.
2, ... Ниже приведены алгоритмы моделирования наиболее распространенных непрерывных и дискретных распрелелений. Нормальное распределенпе р(х)=(2я) '" схр( — х~(2), хб( — оэ, оо). (1.2.2) Алгоритм А|. О. Зарезервирована константа с=2я. 1. К= — 21пп,. 2. ср=-спз. 3. (31=Ксозгр, (32=К япгр. Алгоритм А2. 1.
Ч1=2п, — 1„Ч2=2из — 1. 2. 8=(Ч1)'+(Ч2)'. 3. Если «>1, вернуться к п. 1. 4. К= гг — (2!пя))ж 5. (31=Ч!К„132=Ч2К. ' Ермаква С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. Ма Наука, 1982. — 296 с. Экспоненцггальное раогределение р(х)=) ехр( — Хх), )0>О, х>0, Алгоритм С1.
1. с= — (!па))'Х. Алгоритм С2. 1. Получить а„а„сгз. 2. в=!п(а,а,). 3. Гг= — йзв !2=(аз — 1)в. Алгоритм СЗ. 1. Получить й,, йг, аз, йл, аз. 2. Отсортировать (й), сгз)-0(ого, йз), п)опчем аз >ао. 3. я= — )п(оггйгаз). 4, хг =йо, х,=аз — аго х,=1 — а',. 5. Ч1=хгв, Ч2=хгв, ЧЗ=хгп Эффективность этих трех алгоритмов зависит от соотношения трудоемкости операции !п(.) и получения а; она может быть определена экспериментально для каждой ЭВМ.
(1.2.4) Равгголгерное распределение р(х)=- 1ЯЬ вЂ” а), хн(а, Ь). Алгоритм !31. 1, г',=-а+(Ь вЂ” а)а. (1.2.5) Расггределение хи-квадрат р(х)=хг" з"гехр( — хз!2)/(2")гГ(гг)2)), х>0, где о — положительное целое «число степеней свободы». Алгоритм Е1. ,/0)г — г Для четных ьч 1. Сгенерировать ао, ..., а„,г,. 2. Г= — 21п( П =о Для нечетных гп !. Сгенерировать ао, ..., а„)г,.
2. / г — гнг = — 21п1 П аг)+иг, где и — ноРмально РаспРеделенное число. =о (1.2.б) Галгма-расггределеггие р(х)=(х)Ь)' ехр( — х)Ь)))ЬГ(с), х>0, (1.2.7) 2б Оба алгоритма реа.чизуют «метод полярных координат». Чаще осего алгоритм А2 более эффективен. Для моделирования нормального распределения с параметрами ги и о=- /гг преобразуем Ц: ()г=т+оЦ. Логнорлгггльное распределение р(х)= ехрг —, г, .х>0, т>0, о>0.
(1.2 3) ) ( ()" (хд" Н'1 ко )2 Алгоритм В1. 1, х=-и (исгюльзуя А2). 2. !'=техр(ох). Здесь и — стандартное нормальное число. где Ь-- параметр масштаба (Ь>0); с — параметр формы (с>0). Алгоритм Г1. О. Константа с>0 (малое машиннозависнмое число, для которого обязательно 1,0 — с<1,0). 1. 2)= )сЗ (целая часть), с1=с — г), Ч1=0, Ч2=0.
2. Если с1<с, то перенти к п.8; если 1 — 01<с, то »=»+1 и перейти к п.8. 3. Получить а„,, а„,. 4..0, =аг)00)г, зг=а,'Я "'. 5, в=в,+зг. 6. Если зг >1, то перейти к п.З. 7. Ч2= — вг (1п й„, з),гж 8. Получить а,, ..., й„. 9. Ч1= — 1п1 П й; 10. Ч = Ь(Ч1+ Ч2). Бета-распределение р(х)=х' '(1 — х)" ') В(г), р), хн(0, !3, о>0, !г>0, (1.2.8) г где В(о, !г)=) )" '(1 — ))" 'гг) — бета-функция. о Алгоритм О1. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
