Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

До сих пор говорилось о вычислении моментов (если опи супгесгвуюг) по известному закону распределепггя (п.в.), Можно указать и.в.„ для которых моменты не существуют (например, и.в. Коши (8) не имеет моменты порядка и > 2). Однако часто возникает обратная задача (нроблсиа хгггхгегггпггк): нельзя ли по известным моментам однозначно восстановить и. в. Во многих случаях ответ на данный вопрос является в принципе положительным, Пусть гп„х=-1, 2, ..., есть моменты некоторой функции распределения, каждый из которых конечен. Предположим, что ряд Р ггг,,97~ г) абсолютно сходится при некотором 9 > О. Зхогла 7'(х) есть единственная функция распрелеления, обладающая моментами ггг„0=1, 2, Допустим, что моменты существуют и однозначно определяют закон распределения (и.

в,). Укажем конкретный путь получения закона распрелеления (и. в.). Заметим, что моменты нг, можно определить не только формулой (20), включающей интегрирование и. в., по и более легким путем-- дифференцированием характеристической функции.

Разлагая экспоненту в выражении (13) в ряд Маклорена и беря затем м.о. от каждого слагаемого, получаем характерисгической функции. При указанном вьппе условии справедливо и обратное, а именно: по моментам с той или иной точностью мох<но восстановить характеристическую функцию. Зная ее, находим п.в. по формуле (14). Часто более результативным оказывается несколько другой путь определения характеристической функ!или, базирую цпйся гга разложении в ряд Маклорена не самой характеристической функции, а ее логарифма: Г )г 1пФ(19)= 2 --" (19)ч — — ~ 2 — ' (19)'~ + ч= ! ч= 1 +-, 2.

'— ,",; (19)' Г1равая часть этого выражения представляет собой многочлен относительно 19. Совершая перестановки слагаемых в этом мпогочлеве, его можно представить в вице следующего ряда: ч 1пФ(19)= ~" —" (19)ч (1.1.28) ч=г Коэффициенты хч называются кухгуллнгггами гг-га порядка, Очевидно, что кумулянт хч есть полипом от моментов гнг, ... гп„и, наоборот, момент тч есть полипом от кумулянтов х,, ..., х,.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 19, получаем хг=гп хг=нгг гп =рг=х' г хз=-гпз — Згпггп+2тз=)гз х4=нг4 — Знггг — 4гпггн+12гпгпг — бгп =р4 3)гг. (1.1.31) Первый кумулянт х, совпалает с м. о, нг, второй х — с дисперсией 27. Не останавливаясь на других кумулянтах, более высоко!'о порядка, укажем, что отношения 71 г!Зх2 (гг! 112 72 х4х 2 ()241)12) (1.1.32) называют соответственно коэффициентами асизгхгенгрии и эксцесса. Они характеризуют наиболее существенные отклонения харак!7 нли и Ф(19)=ехр ~ 2, -" (19)ч =ехр(1гп9 — — гг9!) 2 — ' (19)", (1.1,29) '2 где ,=1 (1.! ЗО) дгеи> ~ — КЬИ Ф))о-а Рис, ! зь Соотношении между различными характеристиками теристической функции (29) от нормальной характеристической функции (151, причем у,— асимметрию, а уз — сглаженность п.в.

относительно м. о. Отметим, что кумулянты не совпадают с центральными момен тами. Как видно из (31), расхождение между ними начинается с х, Итак, момейты однозначно выражаются через кумулянты. При определенных условиях по моментам или кумулянтам можно восстановить характеристическую функцию и, следовательно, п.в. Поэтому как моменты, так и кумулянты можно использовать для описания сл. в. Соотношения между различными характеристиками сл.в. наглядно показаны на рис. 1.4. Изложенный общий путь определения п. в.

по моментам (кумулянтам) является довольно сложным и трудоемким; он предполагает знание высших моментов (кумулянтов). Его не следует рассматривать как единственно возможный. Есть и другие подходы. Например, можно ориентироваться на семейство кривых Пирсона (7). При этом для определения входящих в него четырех параметров нужно знать лишь первые четыре момента. Укажем еще оЛин часто применяемый метод — аппроксимацию п.в. с помощью полиномов Эрмита. Во многих практических задачах приходится иметь дело с п.

в. р, ~х), не очень сильно отличающимися по виду от нормальнои п.в. (9). Характерные особенности таких функций р, (х) состоят в следующем: 1) они являются унимодальнымн; 18 2) по обе стороны от вершины имеют ветви, достаточно быстро приближающиеся к нулю при возрастании абсолютного значения аргумента. Такие п.в. можно представить в виде ряда р) )=т) )е .,-"Н (:--), = Я, )1Л33) и=О л где р(х)-- нормальная п.в, с нулевым м.о.; Н„(х) — полиномы Эрмита: Н„(х) =( — 1)" ехр(хз)2) х(" '(ехр ( —.«з) 2) ')7«7х", Но =1, л=1, 2, 3, (1.1.34) Так как полиномы Эрмита ортотональны с весом ехр( — хз,)2), то 2 1 /2 и,( )л ).

) р ( — —,) ш. = !Б,. ГГ Поэтому коэффициенты И„, называемые кыазимаыыньчами, опре- деляются формулой ()„= пи р, (х) Н„™ «ух= о" М Н„- . (1.1.35) Плотности вероятности (33) соответствует характеристическая функция Ф) ()Э)=ехр 1)пЭ+ — (оЭ) ~ 2 —,— "„( — )Э)". !=о Разложив экспоненту в ряд Тейлора, выполнив умножение и сравнив результат с рядом (26), составленным из моментов, можно убедиться, что моменты линейно выражаются через квазимоменты и наоборот. Практически функцию р, (х) нужно знать с некоторой конечной точностью. Поэтому можно взять конечную сумму членов ряда, причем число слагаемых Ж будет зависеть от требуемой точности и от выбора величин ьч и оз=Н.

В большинстве практических случаев наилучшее приближение прн заданном Н будет тогда, когда гн и Н выбраны равными м. о. т и дисперсии Н сл.в. х — н1 и разложение ведется по полнномам Н„ о Гслн ьч и Н выбраны таким образом, то ))о=1, ))) =О, Ьз=О. В этом можно убедиться, воспользовавшись формулой (35) и выражениями для первых четырех полиномов Эрмига Н„(х) =1, Н, (х) =.х, Нз(.«)= х' — 1, Нз(«)х3«Н4(х)«б«3 19 Если в (33) ограничиться конечным числом членов ряда, то >юлу"!им ряд Эд>кворта (1.1.36) Здесь псрный член соответствует нормальной п.н.

Следовательно, для нормальной и.н. нсе квазимоменты при и > 3 равны нулю (Ья=0). Первые два коэффициента ряда у, = — Ь>Нкз и у =Ьа/о4, характеризук>щие наиболее существенные отклонения рассматриваемой п.в. р, (х) от нормальной р(х), называются коэффициентами асиммстрии и эксцесса соответственно: />з рз яз бч рз з яз д й! Г>' яуз ' Пз )Эз яз (1.1.37) Как указывает само название, коэффициент асимметрии является количественной характеристикой асимметрии п. в. относительно м. о.

Коэффициен г эксцесса характеризует сглаженность кривой около м. о. На практике при аппроксимации и. в., не очень сильно отлича>ощихся от нормальной, часто ограничиваются учетом только коэффициентов асимметрии и эксцесса. Г1ри этом Р>(х)=Р(х) 1+ !', Нз: +У', Н, Для применения такой аппроксимации нужно тем или иным способом определить м.

о. н>, дисперсию 2з=оз, третий и четвертый моменты сл, н. Следует иметь н виду, что при такой аппроксимации может незначительно нарушаться свойство положительной определенности для п.в.: при больших значениях 1х~ аппроксимирующая кривая может принимать отрица!ельные значения. Это является следствием цриблихтенного характера формулы (38). Заметим, что сл.в.

с разными законами распределения (п.в.) могут иметь одинаковые м.о., дисперсии и другие характеристики (например, равномерная (8) и нормальная (9) п. в. при а=>н — ЗХ>>>и и 1>=т+Зз),>н! имеют совпадающие м. о, и дисперсии). В связи с этим иногда в качестве числовой характеристики сл. в. указывают энтропию. Энлтролил дискретной и непрерывной сл. в. определяется соответственно формулами Н(~)= — ,'> р,1ояр„, Н(~)= — ) р(х)1ойзр(х)т~х, (1.1.39) 4. Преобразование сл.в. Пусть сл.в. Р, с известной и.в.

р (х) подвергается преобразованию т! =8(Ц, где 8(х) — однозначная дет минированная функция, и нужно найти моменты и п, в. р„(у преобразованной сл, в. т! [2 ). оспользованшись формулой (1б), находим начальные н центральные моменты М(т!')=М(8"(Ц))= ) 8"(х)рт(х)Ых, т„=-М(т),', (1.1.40) М((11 — т„)'> =М ((д(~) — т )") = 1 ~д(х) — т„)'р (х)г1х. (!.1.41) Прн вычислении п.в. рч(у) учтем, что сл.в.

!; и т) связаны однозначной детерминирован!той зависимостью. Поэтому нз того акта, что полученное значение сл.в. !; заключено в интервале х, х+Их1. достоверно следует, что величина т) будет находиться в интервале (у, у+ г1у3, где у =у(х), т(у =я'(х) ттх (рис. 1.5, а). Отсюда следует, что вероятности этих двух событий равны, т. е. должно выполняться свойство инвариантности дифференциала вероятности; р„(у) г(у=ре(х) т>х (1.1.42) или р (у) =р (х)~г(х,'Й 1=р (1>(у)) (Ь'(у)), (1.1.43) где х=Ь(у). Заметим, что при Их > 0 дифференциал т(1>> О, когда функция 8(х) возрастающая, и г1! с О, когда функция д(х) убывающая.

Поскольку вероят.ность и и. в. не могут быть отрицательнь>ми, то в формулы (42) н (43) нужно подставлять модули. Более сложным является случай, когда обратная функция (,=Ь(т)) неоднозначна, т. е, одному значению у соответствует несколько значений х. Пусть имеются две ветви обрат ной 21 где логарифм можно брать при лк>бом основании. Содержание этого понятия и его продуктивное использование раскрываются в теории информации. зо Рис. 1Д.

Взаимно однозначное !ау н двузначное (б) преобразования р. (х ) = (А | —.' ) '" Х р, (ор. ), ! х ! < А . р,(л')=[кАол/) — (х/.«о) ) ', )х! .А . |1.!.50) Пример 1Л.З. Кусочно-линейные иреобраюваввя. В качестве частного примера кусочно-линейного преобразования рассмотрим ограничитель. ил|еющпй характеристику (рис. 1.6) [ — Ь при «< — Ь, ч ь к («) =- ~ з «при — () < «< и, а при «>п.

(1.1.51) На интервале [-Ь. а) ланное преобразование является линейным; уа вх. Поэтому в этом интервале го(у)=(х — а)/(Ь вЂ” а) и у=-Х(х)=г „/' (1.!.47) р„(у) =до (у ! я)/|; — Ь < у < а. т. е, п. в. для Ч по виду говпадает с п. в. для «. Вероятности того, что и< — Ь или ч>а, равны нулю. Все значения х, для которых «>а, преобразуются ограничителем в одно значение у=а. Аналогично все значения х< — Ь преобразуются в значение у= -Ь. Следовательно, вероятности у.=.а |-(Ь вЂ” а)г;(х) Рис. 1.6. Преобразование плотности ве- роятности ограничителем функции Ь,(у) и Ь (у) (рис. 1.5, б). В данном случае выполнение неравенсгва у < т) <у+о/у (!.1.44) обеспечивается двумя несовместными возможностями Х| ~ ~Со < Л| +о/Х! ИЛИ Хг+ГГ:Х, < й < Хг.

(!.1.45) Поэтому вероятность выполнения неравенства (44) должна равняться сумме вероятностей выполнения каждого из неравенств (45): Р ( У) г/У= Р, (.х, ) г/х! +/|1 (хг ) (г/хг ). Выразив в правой части .т через у, окончательно получим Рч(У) =/г1(/г! (У?) !Ь ! (У)!+/71(Ьг (У)) )Ьг (У)) (! 1 46) Если имеется болыпее число ветвей обратной функции, то в правой части формулы (46) следует брать сумму по всем ветвям. С учетом этого формула (46) будет даваясь правило преобразования п. в.

Характеристики

Список файлов книги