Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. с(г, 1). Если учитывать временную зависимость, то к полю применимо понятие стационарности„относящееся к сл. пр. Случайное поле называется стационарным (во времени) в узком смыс,ге, если его плотности вероятности не меняются при изменении начала отсчета времени. Поместив начало отсчета в точки г> и г„для одномерных и двумерных плотностей вероятностей однородных и стационарных полей можем написать р(с„.
г,; 1!)=р(с„г! — г„г,— 1!)=р(~!), (23.11) р2(~! »2 Г! Г2 1! 12) р2(ч>,чг ЛГ Т) где ЛГ=Г2 — Г>, т=12 — 1!. 61> т= )пп — )с(1)а>1, Т- «. т~ о (2.3.1 3) а в качестве оценок дисперсии Р! и корреляционной функции К (т) взять соответственно величийы Т Р = !пп — ([Цг) — т>12Й Т) » Т )!!(2)= !пп — ([с(1+2) — >пД [Цг) — тДт(1. Т со",> о (2.3.14) (2.3.15) 69 Случайное поле называется одиородяым в широком слгысле, если его м.
о. не зависит от координат пространства, а пространственная ковариационная функция Кс(г>, гз) является функцией только разнос~и аргументов, т. е. К (г,, г )=К!(г — г,)=КГ(Лг). (2.3.12) Стационарность случайного поля в широком смысле предполагает постоянство м. о, поля во времени и зависимость временной ковариационной (корреляционной) функции только от разности т 12 1!' Аргументом корреляционной (ковариационной) функции однородного случайного поля является разность координат прострапс>ва Лг, что дает основание называть 21,.(ЛГ) прострапствстсой коррсля>!ионной фупкггисй. Вектор Лг имее~ те же проекции, что и г. Поэтому корреляционная функция скалярного поля является функцией нескольких переменных.
В этом состои! существенное отличие случайного поля от случайного процесса, где корреляционная функция зависит только от одного аргумента Если имеется однородное поле вида с(х, у), то его корреляционная функция зависит от двух переменных Тг,(Лх, Лу), для трехмерного поля Цх, у, 2) — от трех переменных )г (Лх, Лу, Л2). 2. Эргодические и неэргодические стационарные йроцессы. До сих пор характеристики сл. пр.
и полей (и. в., моментные функции и др.) были определены через соответствуюнгие статистические средние значения, т. е. средние значения большего числа реализаций в ансамбле идентичных систем. Оказывается, что для некоторых стационарных сл. пр. указанные характеристики можно получить путем осреднения соответствующих величин по одной реализации достаточно большой длительности. Например, представляется естественным за оценку м. о.
т стационарного процесса Цг) принять величину На практике временной интервал осреднения Т берут конечным, но по возможности большим. Такая возможность физически может быть оправдана тем, что стационарный сл. пр. протекает однородно во времени. Поэтому одна реализация достаточно большой продолжительное~и может содержать все сведения о свойствах случайного процесса. Это можно также пояснить иначе. Представим себе мысленно, что длинная реализация стапнонарного процесса разбита на «куски» примерно одинаковой длительное ги.
Для ряда стационарных процессов каждый из таких «кусков» можно рассматривать в качестве «полномочного представителя» отрезка реализации на выходе отдельного члена статистического ансамбля одинаковых систем. Стационарные сл. пр., для которых это справедливо, называются эргодическцми или говорят, что стачионарцый пр<г<<ес< обладаеп< эрг<эдическим <войспгвом (рис. 2.2).
Стационарный процесс с(1) называется эогодическим в строгом смь<сле, если с вероятностью единицы все его вероятностные характеристики могут быгь получены по одной реализации процесса. Имея в виду, что различные характеристики эргодического процесса обычно определяются путем осреднения по времени, можно сказать, что стационарный сл. пр. с (1) является эргодическим, если результаты осреднения по времени совпадают с соответствующими результа вами осреднения по ансамблю, г.
е. с м. о. Практически часто интересуются не всеми. а только отдельными характеристиками процесса (в частности, м. о., корреляционной функцией и одномерной функцией распределения или и. в.). Ясно, что процесс может быть эргодическим относительно одной характеристики (параметра) и не эргодическим относительно других.
В связи с этим можно ввести поня~не эргодичности относительно отдельных характеристик процесса (2). О~метим, что каждый из перечисленных частных видов сл, пр. в свою очередь можно дополнительно классифицировать в зависимости от формы частных характеристик, описывающих рассматриваемый процесс. Например, за основу классификации можно принять вид п. в. (нормальные н ненормальные), характер корреляционных функций (широкополосные и узкополосные процессы) и т. д.
Такая классификация булез приведена позже, при рассмотрении частных видов случайных процессов. 2.4. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ При решении многих практических задач часто оперируют м. о. н корреляционной или ковариационной функцией сл. пр. Их определения для действительного случайного процесса даются формулами (2.2.35)...(2.2.38). Для комплексного сл. пр. Ц1)=„.<(1)+1<г(1) аналогичные фоРмУлы имеюг следУющий вид: 70 ,() М( <()+1„(1)) М(~,())+1<М<~г(1))- =пг~ (1)+)п<Г (1), (2,4.1) А,(1,, 1,) = М (( с(1, ) — пг,(1, )) 1"г,' (1г) — т ,(1г)3',, (2.4.2) Кг(1,, 1,) =М ф1<)~ч(<г)) = А<(1„<г)+<их(1,)<гг<(гг), (2.4.3) где звездочкой отмечены комплексно-сопряженные функции.
Очевидно, что соответствующие определения и резульпаты для вещественного процесса получаются отсюда автоматически, если положить мнимую часть соответствующих сл. в. равной нулю. Из последней формулы видно, что ковариационная функция отличается от копреляционной наличием детерминированного слагаемого т (1,)т г(<г). Если м. о. процесса т (1)=0, то ковариационная и корреляционная функции совпадают. Значения сл. пр.
с(1) в два момента времени 1, и 1 называются некоРРелиР<гванными, если Аг(1„1г)=0, т. е. К(1 )= 1( )т~(1) (2.4.4) Рассматриваемые два значения называются ортогональными, если К,(1„ гг) = О. (2.4.5) Пусть имеется два не обязательно вещественных случайных процесса Ц1) и 71(1) с корреляционными функциями Аь(1,, 1 ) н А„(1,, 1г) или ковариационными функциями К (1„1 ) и К„(1,, 1 ) соответственно. В дополнение к ним теперь можно рассматривать две взаимные корреляционные или ковариационные функции Агч(го 1г)™(~1(1<) — тг(1<Ц ~г) (гг) тч(1г)3 Ачг(1<* гг) ™ ЙЧ(1<) пгч(1<)1 ггс (<г) т:(<гВ или К< (1< гг)=М(1(1<)т)~(<г)) К„.(1< 1г)=М(г)(1<)1~(1г)). (2.4.7) Следовательно, корреляционные свойства между отсчетными значениями сл.
пр. Ц1) и ц(1) в два различных момента времени задаются корреляционной или ковариационной матрицей: ~ Ае(1<. <г) А<ч(1< <г)~ ~Кг(1< гг) Кгч(1< ~ гг) ~ 1.Ачг(1< <г) Ач(1< гг) ( 1 К»Д1< 1г) Кч(1< <г) л (2.4.8) В общем случае, если нужно задавать корреляции (ковариации) для двух процессов в и моментов времени или ддя совокупности и разных процессов в два момента времени, то потребуется корреляционная (ковариационная) матрица размером п х и.
Два сл. пр. с(1) и 71(1) называются некоррелирован«ыми, если взаимная корреляционная функция для двух произвольных моментов времени равна нулю: 71 Яц (Е „ 12) = 0; А,. (Е „ 12) = Еп,(11)ел „(12). (2.4.9) Процессы Ц(е) и т1(е) называются орг!!о«опальным!е, если коварнационная функция равна нулю: ' К„„(1„ 1,)= 0. (2.4.10) В ряде случаев оказывается целесообразным вместо Я (е,, е ) или Я (е,, 1,) рассматривать соответственно порлшрова!шу!о кор- ! 2 Реллгеиоеа!У!о Ее!Ункееиго «2(11; 12) или ноРмиРованпУн! вэаимнУео корре«!112Еионну«о функ!1?!ео «,„(е,, 1,): «.(1,, Е,) = Я,(1,, ~2)/ ЕЕВ,.(1,)23,(~,), (2.4.1 1) «,„(Е,, 1,) = Я„„(11, 12))',,ЕЕ77г(1!)!3ч(12). (2.4.1 2) Эти функции количественно характеризуют степень линейной зависимости между соответствующими значениями одного или двух процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
