Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Перечислим основные свойства корреляционных функций. Прн этом будут использованы обозначения Яь(11, 12) = Я!Ь(11« 12), «г(11, 12) = ««,!(Ег, 12). (2.4.1 3) Все свойства взаимной корреляционной функции Я ч(е„е ) распространяются па корреляционную 4!ункцн!о Яг(11, 1,). 1. Корреляционная функция обладает так называемым эрмитовым свойством Яеч(11 Ег)=Яд!(12 11) !«ч(1! ег)=«ч!(12 е!) (2.4.14) В справедливости "!тих равенств можно убедиться на основании определения взаимной корреляционной функции (6).
Отсюда следует. что корреляционная функция вещественного сл. пр. с(е) является симметричной относительно своих аргументов: Яь(11* 12)=Я!(12, 11). (2.4. 151 2. Для корреляционной функции справедливо неравенство Коши — Шварца )Я (Е, 1,)! «М()~(11)! )М()Ч(12)! ) =гл (11)гг (12) ! ,„(1„ 12)! « 1 (2.4.1 6) Пусть м. о, процессов с(е) и т1(е) равны нулю и Х-- вещественная переменная. Тогда из очевидного неравенства М(!Е(1,)+7,Я,.„(1„, е,)Ч(1,)!') >0 имеем М ([>(11)+7Ягч(11«12)Ч(12)Л [ч (11)+!Я!ч(11 Е?)Ч (12)1) =М(! Ц(Е!) ! + 7 [Яьч(11, 12)с«" (11)т1(Е?)+Я!„(11, Ег)с«(1!)Ч (Ег)3+ +7?~Я ( 1,!2)Ч(,,)!2) МАЦЕ,)!2)+27„!Я (... )!г+ +7' )Я!ч(Е1, 12)! М(/Ч(12)! )>О.
72 (2.4.22) Этот квадратный многочлен нео.грицателеп для любо!-о Поэгому дискриминапт такого квадратного уравнения не може! быть положительным„откуда и следуют неравенства !1111. 3. Равенст ва ~ Ягч(11 12)1= Е' !(Е!)"г(12) !"!(1! Ег) ~=1 (2.4.17) имеют место тогда и только тогда, когда су!цествуют такие постоянные числа а ~0 и Е«, ч!о значения сл. пр. ~(1!) и г1(е ) с вероятностью единица связаны линейной зависимостью Ч (Е,) = а «(Ег)+Ег. (2.4.18) Для доказательства этого факта воспользуемся выражением для нормированной взаимной корреляционной функции (12): «!ч(11 12) МЛ(11)Ч ( 2)!' (2.4.1 9! где "(1) и Ч(е) -нормированные сл в.
э(1) — — [" (1) — т!(1)ЛЕ Ео (1) Ч(1)=[Ч(1) — (1)31'„Ь (1) !7 О! Если выполняется условие (18), то ~Е!1,) „,,(Е,! и!.*!«2! — н,'!1,!1~ «! 1, а >О, «,„(Е,, 121 = М 1 .ж1,) пй х(,1 1 «! 1-1. ° ' Предположим теперь, что ! «,.„(е,, 12) ~ = 1. Пуси,«например, процессы с(е! и т1(е! вещественные и !1„(е„е,)=1, Тогда М([ЦЕ!)-Ч(1?И 1---2[1 — '„(Е,. 1?И=0. Но дисперсия равна нулю тогда, н только иногда, когда с вероятностью единица рассматриваемая величина является постоянной, т. е. с(е!) — Ч(е,) = С =сонэ!. Отсюда следует, что Ч(12) и с(е!) должны быть связаны линейной зависимостью.
Аналогично, если «,ч(1„1,)= — 1, то «(1,)+11(Е,)=С =сопя! и, следовательно, остается справедливым тот же результат. 4. Всякая корреляционная функция Яь(е,, 1,) обладает фундаментальным свойством не!211!рина!!!елы!ой апре!!с,ге!тости в следующем смысле. Пусть е„..., е„--любое коне«шое число точек н =,....,=„ произвольные комплексные числа. Тогда эрмитова форма и ,'! Я.(е,„е„)2,21=М( 2 Це,).*(11)=,?!э= «,1= ! !.! — 1 и = М (! ,">- Е(1,.) Ч !2) > 0 (2.4.2 1) «=1 всегда ве!цественна и положительна.
Здесь было принято, что м. о. процесса с(е) равно нулю. Из (21) при и=1, 2=1 имеем 77 (Е,)=Я,(1,, 1,)=М(!Е(Е,)~2) >0. Кроме гого, из (21) слсдусз час1ный результаз формулы (14!. а имечщо (72(г~ г2) (!; (22 21)' (2.4.23 ! 5. Приведенное свойство неотрицательной определенности являезся характеристическим свойством класса всех корреляционных функций.
Это озпачаез, что если какая-ппбудь функция (! (г,, 22) обладает этим свойством, то в принципе можно найти сл. пр., для которо,о она будет корреляционной функцией. Кошсрегизнруем свойства корреляционных фупкпий применительно к вещественным сгацнонарным в широком смысле сл, пр. 6 П).
Напомним. что для стационарного в цшроком смысле сл, пр. Ц(г) согласно (2.3.8) справедливы следующие соогношепия: т,.=М,'~(г),'=сопя!, (),=-гт =-М([г(!) — т 32) — — сопвц (2424) Я, (т) = (72 ге (т) = М ([= (Г) — 277Д [Ь (г+ т) — пь1). (2 4 25) г, (т) = М (с (г) с(2+т)), (2.4.26) где гильдой сверху обозначены нормированные величины (20). 1. Абсолютное значение корреляционной функции при любом т пе може~ превышать ее значения при т=-О, г. е.
[2л (т)[<0, ~22(т)[<1. (2.4.27) Этот результат следует из (16), а также из очевидного неравенства. что м. о. положительной функции не может. быть отрицательным: М (Ц( +т)+Й(г)! , '=-2 [1+г,(т)1 >О. 2. Корреляционная функции вещественного стационарного процесса «(г) является четной функцией своего аргумента: Рх (т) = А,- ( - т), г (т) = г ( — т). (2.4.28) Этот результат следует из (23), а также из того факта, что значение корреляционной функции стационарно2о процесса не зависит от выбора начала отсчета времени. Отметим, что взаимная корреляционная функция двух совместно стационарных в широком смысле веп2ественпых сл. пр.
г, (2) и т! (2) является вегцественной и це обладает свойством симметрии: если г, и т) поменять местами, то Я;„(т)=(1„ь( — т), глч(т)=-г„е( — г). (2.4.29) 3, Если корреляционная функция непрерывна при т=О, то она непрерывна при всех других значениях т.
Доказагельство этого свойства базируется на неравенстве Коши — Шварца вида (16): [М(сД )12(М [Ц2)М(„»2).;,=6((). Ц,=Е(Г+т). (2.4.30) Ради упрощения записей будем оперировать норми32ованными величинами и применила неравенсзво (30) к м. о. М(((3,„— «,)г): 72 [М ~Д ~ )~) ~ <[М(к к )27 М г~»)э п2 Раскрывая левую н правук7 части этого неравенства, имеем [г„(т+(7) — г,(т)[< ~'2[1 — г„((2))"2. Если нормированная корреляционная функция г (т) непрерывна в точке т=О, то существует такое б>0, что [1 — г (й)[<е„при [!2[<6, 2де а >О- -сколь угодно малое число.
При этом [г (т+й) — г (т)[< /2ав=-а при ~(2~ <6 для любого значения т, чго и есть требуемыи результат. 4. Для многих практически интересных стационарных сл. пр. выполняется равенство !пп А~(т)=0. (2.431) Физически этот результаг объясняется тем, что устойчиво работающие системы обычно имею~ конечное время затухания (конечное время «памяти»). Поэтому для сл.
пр., наблюдаемых в стационарно и устойчиво работающих системах, последующее значение процесса оказывается практически независимым и некоррелированным с предыдущим значением, если они разделены достаточно большим интервалом времени. 5. Преобразование Фурье о ~ корреляционной функции есть неотрицательная функция [см. (2.5.13) ] Я (т)ехр( — !гат)2(т>0. (2.4.32) Этим свойством можно воспользоваться для решения вопроса о том, может ли какая-либо функция Я(т), удовлетворяющая предыдущим условиям, представлять корреляционную функцию стационарного в широком смысле сл.
пр. Таким образом, корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной функцией аргумента т, имеет максимум, равный дисперсии О, при т=О, непрерывна при всех т, если только непрерывна прй т=О, и, как правило, убывает до нуля при т- сс. В большинстве радиотехнических задач встречаются нормированные корреляционные функции двух типов: в виде монотонно убывающих функций аргумента т и в виде осциллирующих затухающих функций (рис.
2.3). Будем обозначать нормированную корреляционную функцию первого гипа через г (т)=р,(т). Одним из примеров нормированной корреляционной функций первого типа может служить функция-р,(т)=-ехр( — пт2), где п постоянная положительная величина, а примером второго типа г,(т)=Р,(т)сохазет, где п«ш„. В инженерной практике вместо точного аналитического задания вида нормированной корреляционной функции часто Предположим теперь, что име- З!тэ ется случайный си~пал луге) ,а гт) т(!)= 2 А,аш(ец!4 ~р,), о — 1 (2.4.36) 0 т'и т л,(т)=- — 2 А,совы„т.
1 2„ (2.4.371 бй4. 3Е) т„=- ~ )р (т)(г(т= ) (р„[т)(г)т. Х' о (2.4.33) Ц!)=З(!)=А»СОа(Оог» Р), (2.4.34) К„(т)=(174)[! шя (т)) [К (т)-ь Кт(т)3. ~ !тl 4 Фф аэ 77 76 Рис. 2ей Нормированные коррсляпионныс функции стапионарных процессов ограничиваются указанием лишь интервала т„, который дает ориентировочное представление о том, на каком интервале времени в среднем имеет место заметная коррелированность между значениями сл, пр., существенная для репшемой задачи. Аналогично тому как оценивается длительность импульса, интервал корр!ляг)ии можно определить по-разному. Так, можно условиться для коэффициентов корреляции обоих типов под интервалом корреляции т„понимать величину Геометрически т„равно основанию прямоугольника с высотой р,(0)=1, имеющего ту же площадь, что и площадь, заключенная между кривой (р,(т)( при т>0 и осью абсцисс. Пример 2.4.1.
Коррелнцвонная функция периодического процесса. Рассмотрим сначала случайный гармонический сигнал у которого амплитуда Ао и частота ыо постоянны, а начальная фаза д случайна и равномерно распределена в интерналс [ — и. я), т. е. имеет плотность вероятности р(Ш)=172к при (<р!<л. Несколько реализаций случайного сигнала з(г) изображены на рис. 2.4. Математическое ожиданно сигнала а(!) равно нулю. Находим корреляционную функцию Ао ' !о К,(т).=М(я(г)к(гет))= — [ соз(ыо!ч-~р)соз(ыогч-ытз-Чз)гор= — созыве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
