Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 20
Текст из файла (страница 20)
г — -зкдрг— 5~(Г)=; —,— — —,, Йг(т)= --.ехр( — гх)т)). (2.7.6) При достаточно большой полосе частот ЛГ в (5) или малом значении параметра и в (6) можно получить произвольно малую корреляцию между лвумя значениями процесса с(г>) и с(г ), разделенными заданным интервалом )гг — Ь )>8. В некоторых задачах встречается нестационарный белый шум вица т)г(Г)=((г)+п(г) или Ц,(г)=Я)п(г), гДе 7(Г) ДетеРминированная или случаиная функция.
Очевидно, чтг> корреляционная функция нестационарного белого шума >1г(г) равна 1! (т) =М (! Г(гг) )г) (Ж/2) 8(гг — гг). (2.7.7) В последующем будут изучаться методы анализа и синтеза радиоустройств и систем в непрерывном и дискретном времени. В последнем случае потребуется ввести дискретный ЬГШ.
Вообще говоря, его можно определить независимо от рассмотренного непрерывного БГШ п(г) как последовательность (и,) — и,, ггг, гг„... независимых нормально распределенных сл. в. с йулевыми м. о. и одинаковой дисперсией Р,=сопвк Однако при переходе в выражениях от непрерывного времени к лискретному и наоборот необходимо согласовать определения дискретного п„и непрерывного п(г) БГШ.
В дальнейшем принято, что дискретный БГШ формируется из непрерывного с помощью сглаживания за элементарный интервал времени Л=Ь,> — г„, и=1, 2, >ОО Г и„=- — ~ п(г) Аг. (2.7.8) При этом под дискретнылг ЬГШ понимается последовательность (п„) независимых гауссовских сл. в. с нулевым м. о. М(п„)=0 и одинаковой дисперсией 1г„=М (пг) =Л>12Л =77д.
Все значения дискретного БГШ имеют одну и ту же нормальную п. в. (п)-(2„73,)-ггг, „( „г(272„) (2.7.9) Переход от дискретного времени к непрерывному обычно связан с рассмотрением предельного перехода при Л- О. 2.8. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ го! Анализ моделей динамических систем при случайных входных воздействиях базируется на решении дифференциальных уравнений, описывающих эти модели, или рассмотрении других эквивалентных характеристик. При этом, как и при детерминированных воздействиях, необходимо рассматривать такие понятия, как непрерывность, дифференцнруемость и интегрируемость сл. пр. Трактовка этих понятий для сл. пр.
отличается от таковых для летерминированных функций. Приведем основные определения и результаты, относящиеся к этим понятиям. Пусть имеется последовательность сл. в, (ь ) =с,„ ьг, Определение предела такой последовательности можно дать несколькими способами, из которых наиболее часто используются следующие три. Последовательность (г,„) сходится к сл. в. с с вероятностью ! (или почти паверное), если Р(с„- с) =! при п-+ссз. (2.8.1) Последовательность (с„) сходится по верояпгности к с, если лля любого е>0 Рос,„— с)>е)=-0 при н — со. (2.8.2) Последовательность сл.
в. (с„>> сходная к с в среднеквадратическом, если )пп М((с,„— с,)г) =О. (2.8.3) Приведенные три определения сходимости связаны между собой: из сходимости с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности„. из среднеквадратической сходимости также следует схолимость по вероятности. Указанные понятия сходимости случайных последовательностей можно распространить на сл. пр.
(г,(1), 1яТ). Например, !ложно сказать, что сл. пр. непрерывен в 1 с вероятностью 1, если с,(1+6 ) сходится к д (1) с вероятностью 1, когда Ь- О. Заметим, что непрерывность с вероятностью 1 пе означает, что все реализации процесса д(1) есть непрерывные функции. Можно убедиться, что ауассоповский процесс (2.4.41) или случайный двоичный сигнал (см. рис. 3.5) при фиксированном 1= 1о будут непрерывными процессами с вероятностью 1, хотя их реализации не являются непрерывными. В дальнейшем будет преимущественно использоваться понятие среднеквадратической сходимости применительно к сл. пр, (с(1), 1я Т), м. о. квадрата которых ограничено: М (с! (1)) < со для всех !и Т (такие процессы часто называют проиессссми второго порядка).
При этом можно указать простые критерии непре(!ывности, дифференцируемости и интегрнруемости сл. пр, с(1) . Случайный процесс (Я(1)„1нТ) второго порядка непрерывен в 1 в среднекводратическом, если !пп М Я(1+6) — Ц1)]2) =О. (2.8.4) ' Крамер Г. К., Лилбеттер М. Стационарные случайные процессы: Пер. с англ.; Пол рсл. Ю. К.
Беляева.— Мл Мнр, !969.— 39Х с. 102 Чтобы проверить выиолненне этого условия, нужно знать лишь коварнационную функцию процесса. Рассматриваемый сл. пр. (с(1), 1нТ) непрерывен в среднеквадратическом в момент 1яТ тогда, и только тогда, когда его м. о. т(1) непрерывно в 1 и корреляционная функция А(12, 12) непрерывна при 1,=12=1. Докажем это.
Имеем (Го(1+)2) — 1,(1)] ='!С,(1+)2) — т(1+)2) — с,(1)+т(1)] +2 (0,(1+)2)— — Р (1)Ят(1+6) — т(1)] — (т(1+)2) — т(1)]'. Возьмем м. о, от обеих частей: М(К(1+Ь) — Е(1)]') =Я(1+Ь, 1+И) — 2Ц1+)1, 1)+Я(1, 1)+ +(т(1+),) пя(1)]2 (2.8.5) Если Тс(1„12) и т(1) — непрерывные функции, то будет выполнено (4). Таким образом, доказана необходимость указанных условий. Докажем их достаточность, воспользовавшись очевидным неравенством М(в(1+6) т(1+)!) 1(1)+т(1)]2) =А(1+Ь 1+Ь)— — 2К(1+И, 1)+В(1, 1) >О.
Правая часть выражения (5) есть сумма двух неотрицательных величин. Если левая часть равенства сходится к нулю, то каждый член правой части сходится к нулю, что свидетельствует о достаточности условий. Перейдем к определению дифференцнруемости. Случайный процесс Я(1), 1я Т) второго порядка дифферен21ируем в средиеквадротическом в точке 1оя Т, если 1 (го 2 " ) ь (2о) ~ ( ) а-о л существует в смысле среднеквадратической сходимости, т. е.
11 М ~("+",) "")-~ (,) =О. Если процесс дифференцируем для всех !яТ, то говорят, что это дифферен2)ируемый сл. пр. Докажем, что случайный процесс (с (1), 1н Т) второго порядка дифференцнруем в среднеквадратическом в точке ! я Т тогда, н только тогда, когда его м. о. т(1) дифференцируемо в точке И В ТОЧКЕ 1, = га — 1о СУЩЕСтВУЕт СМЕШагнчаЯ ПРОИЗВОДНаЯ второго порядка от корреляционной функции д~Я(1„1я))д1!д1 . Докажем сначала необходимость этих условий. Смешанная производная второго пор!шка определяется как предел при Ь„)!я-00 выражения (1112!)!2)Ь)2(12+)!! 12+ "2) 22(1! 12+ "2) 22(12+"! 12)+ + )' (1! 12)]' Сформируем последовательность с Г (20+121) Г(го) Г (20+ "2) Г (20) С(20+ Л1) 9(20) Г (20+ "1) Г(20) ч(10+111) ч(го)Ч(20 ! 122) ч(20) Ц(20+Ля) ч(20) ч(!0+Ля) — ч(10) 121 '22 Возьмем м.
о, от обеих частей равенства. Получим М ч(1о !121) — 2(20)о(20+122) 1(2о) 111 Ь2 д(!ол 121 1оч-122) — к(20+л1 го) л(10 !о+я!)+д(2о го) ' '+ 111122 т(1 +1!1) — л1(! ) т(1 Ч Ь ) — п1(10) (2.8.7) й2 Согласно принятым допущениям м. о. дифференцируемо и существует смешанная вторая производная функции Я(1„12), Поэтому М 1(!о ! 111) Ц~о) 1(20 ! 02) Оо(го) Я л(21 22) пп М + 01, 02 0 61 Ь2 г!10(2 11 — 22 = го +т'(1 ) т'(1 ). !03 Габяаиа 2 ! Нламиб2икаЦия МоРнабсюир прпрессиб (3.1.4) 3.2. ЦЕПИ МЛРКОВЛ Для трех моментов времени 1,.>бб>г„формула (1) принимает вид РЯ(г!)<~,!Р(!)=~„, Ц!7)=Ц7)=РЯ(0)<Р,!Р(гб)=Рб). (3.1.2) Поэтому часто говорят, что характерное свойсгво марковских процессов Состоит в следующем: если точно известно состояние марковского процесса в настоящий момент времени (гз), то будущее состояние (при ~,.) не зависит от прошлого состояния (при 1,). В качестве определения марковского процесса можно также принять следующее соотноп!ение, имеющее симметричный вид относительно времени: !06 Р " (! ) < г, '.
(! ) < Р, ! '- (! ) = с ' =- Р К(ь ) ( 1 ! ". (! )-= с ' х Такая запись означает, что прн фиксированном состоянии процесса в настоящий момент времени 1, будущее (при 6) и прошлое (прп 1!) сос!ояния марковского процесса независимы. Из приведенных определений следует, что для марковских процессов и-мерная п.в, (или функции распределения), ко!орви дает полное описание любого сл.пр., может быть представлена н виде Это означает, что любое л-мерное распределение марковского процесса может быль найдено по формуле (4), если извесгны одномерное распределение процесса и условные п.в.
(или вероятности) перехода. Иначе говоря, описание прос!ого марковского процесса достигается заданием его двумерной п.в. Р2 (ч! 12) Р (э!) Р (12 ! )!)' (3.!.5) Укажем еще одно об!цее и важное свойство непрерывных во времени марковских процессов: лля них эволюция вероятности перехода Р(с(!)<Ц),",(!р)=р,р) описывается уравнением вида й'/й =.(Р Р, (3.!.6) где .У' — - неко! орый линейный оператор (матрица, дифференциальный оператор и др.). Это позволяет исследовать статистические характеристики подобных марковских процессов црн цомо2цн хоров!о разработанных методов решения соответствуюших дифференциальных уравнений.
Характер начальных и граничных условий для уравнения (6) может быль различным н определяется существом рассматриваемой физической задачи. Рассмотрим способы описания и методы решения основных задач для указанных четырех видов марковских процессов. !1ропессы с дискретными значениями обозначим О(!), а с непрерывными х(!). Пусть сл.пр, О(!) может принимать конечное число К лискрезных значений Э,, 92, ..., Эх. В некоторые дискретные моменты вРемени (!р<1!<12<...) значение пРоцесса в зависимости от вмешательства случая скачкообразно изменяется, т.
е. имеют место переходы Ор- 0 — 0 — ..., где 0„=9(г„) значение процесса через л шагов, а Ор=(!(!р)- — начальное значение. Предполагается, чго вероятностные законы изменения значения сл.пр, на каждом 107 шаге из любого состояния 9«, '=1, К, в любое другое состояние ол <=1, К, известны. Характерное свойство простой цепи Маркова состоит в том, что вероятность значения процесса О„в момент времени зависит лишь от того, какое значение имел процесс в непосредственно предшествующий момент времени <„ „ и не зависит от значений процесса в более ранние моменты времени, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
