Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 90
Текст из файла (страница 90)
— ). ) гГ2А ~. Приведя подобные члены в показателе экспоненты, получим Лг(7.„, Л,) = = с ехр ( — (1!2) ()о„' — гг„) [().» — )о,) — Г„(Я„' — Р~„Ц Отсюда находим параметры нормальной п. в., стоящей в левой части равенства: 7» ) ° +~1»)» ~ ~» ~г» (10.1.55) Конкретизировав (13) и (14) для сообщения (7.1.11) и подставив результат в (55), получим квазиоптимальный алгоритм фильтрации: Х„=8(Г„, Х„,)+ К871п р(Ц„)д(Г„, ),))/дХ„, (10. 1. 56) )«-.1 ([д ( ) )(д) 1г)( +ф ) — о — дг 1пр(Ц„/д(г„, ).„,))7д)ог.
(1О.1. 57) В более общем случае многомерно~о сообщения )., вывод отличается лишь обозначениями. Окончательный алгоритм имеет внд 474 ) „=8(!», '4»,)+ В»д!и рД,.!8(г„, ),, ))(д).„ (!0.1.58) вк(6, Х,,) [»7к(А. ~,,) 1 ) р«7ор(йдк(г, х,,)) (10. 1. 59) !О.!.4. ЛОКЛЛЬНЛЯ ГЛ«ССОВСКАЯ ЛППРОКСИМЛНИЯ ДЛЯ РАЗРЫВНЫХ И ННПРР НЫВНЫХ ПВОЦНССОВ (10. 1. 61) 47о Упростим полученный в 8 7.9 алгоритм совместной фильз.ра- ции разрывных и неразрывных марковских процессов, восполь- зовавшись локальной гауссовской аппроксимацией, Для этого в уравнениях (7.9.7), (7.9.8), (7.9.10) и (7.9.11) апостериорные и.
в. ро (д 4.) и р, (6 )., 0) полагаются нормальными с м. о. и корреляционными моментами ) о(!)=().о„, а=1, п,', Йо,р, а, (3=1, п, и й,(г)=Я,„, а=1, и; О,«, а)п, а=1, и+го В,„р, а, (3=1, п+г. Для оценок и апостериорных корреляционных моментов диффузгионных компонент вектора ).(г) при 0(г)=0 получим « —, ~о. = п,(ц ) о)+ Е )(о.р — „- — ' — +)о1- ().о. — ) о.) (10 1 60) Ро Н - " ! ди (Ь ««) аир(Ь ««)) — )оо«р=)г«р(Г ) о)+,», ~ )оо р,: +ро» вЂ”,: ~+ нг Л-«. » 8«. + «~, ~о«о " )оо«р+)о1 ( 'о«р ~о«р)' Здесь ~.,„=()о )77(7».)Л.„, а, (3 — — 1, гг, 7=0, 1, Я,„р = ((Р.„— ~,.) ().р-)зр) Рз().„, ).р) ()..в.р, Вг.р = Ло«о+7 о«Хор+7 о«эор — )г«Аор — Ао.) г !7 Оценки и корреляционные моменты диффузионных и раз- рывных компонент при 0(г)~0 определяются уравнениями «7 .
дк(хо В,) Р, — х,«=а«(ц й,)+ ',~ Я„р- — -' ' -~-34 «(йо„— й,«), (!0.1.62) »»7 " ах р Р, да, ргр()„В,) Р„- + Х )11« „, . -'' )11«р+)оо -()1о«р Яо«р) (!0.1.63) Р«„,ах,р " Р, где 6«р( )=О при а~и при (3)п; а, (3=1, п+г; г .г„= ()о„рг (»,,)(/).„при а<гг, 0,„=~0„7»,(0„)(/О„при о(>п; ».о„= (Х„!го (».„)Л.„пРи и < и, т,« = (6«р(0«)(/О„ггри (г>п; ()(΄— О,«)().
— ».,~)р, (9«, Х )(/О„Л.„при (х>п, (3<в, ггг„о — —. Ц(0„— 0„)(6 — 0(в)р,(0„, 01,)6(6„(УО при п>п, ()>гг, ,(((» «»'г«)(»в )" г 1()7(( ()«)р)(/)«6()й ггргг и <(г () <гг' Здесь кроме ранее принятых введены обозначения гк(!,„.
О) (71«( йа, ((, ». ) до, ((, Ло) ('».о ~ й(.о« Ао= до«(( ло) д««((»о) дхо г д»'о, д '(Ло. 1») г».о. д'Е(Л«в) д'Р(кп О) йхог йхо1 йло. 2 ''' с« 6„(г, А )...!»(«(г, ). ) ~ /г г(г»'о)"./г (г )о) дг Е(Л„О) (7« Р(хо. О) (дхо.дхог ( й» о Аналогично Е, =(дГТ(» („07()/дхг)' --(п+г)-меРный =дгР().„О,)/дх,дх',; А, =да(х,)/дх',, матрица. 476 вектор-столбец; Кг = В, = /г (х, ) — — (и+ с)-мерная (пгв,— 9( )().ов — »'(Р) при п>п, !3<п, гго,о — — о„'1, -1- тв«гггвв — пгв„9, о — пг,в О,„+ 6,„0, в при (х > и, О > и, по«в+~ о »ов Хо«)"го»"г«»лов+»"г«л(о ггри (х<гг ()<и: о«в = Ц(0„— то«) (Ов — гггвв)р (О„, Ов)(/6,(/Ок В векторно-матричной форме уравнения (60)...(63) примут вил й,~И««А,),+В,Р,+ р,(Р,/Р,Я., —, ( (10А,ба) (/В о /г/( =- А В + В А'+ В + Во К В „+ 1(, (Р, /Р ) [й, — В ~, (10.1.65) (/х( /г/г = А, х, + й г Р г + Ро (Ро /Р, ) [хо — Й г ).
(10.1. 66) '()гг/(/(=А(нг+н(А(+В(+нггл(ил+!(о(ро/Рг)[йо ига. (10. 1. 67) 10.1дв ХАРАКТГРИСТИКИ ДИСКРИМИНАТОРОВ Синтезированные квази оптимальные алгоритмы фильтрации представляют собои системы автоматического управления, осуществляющие слежение за сообщением Л(г). Наблюдаемый процесс входит в алгоритмы через производную от логарифма функционала правдоподобия дГ(г, 7.)/д».; она определяет дискриминатор системы слежения.
Дискриминатор содержит также всю зависимость следящей системы от вида сигнала. Другая часть следящей системы низкочастотный фильтр. Он полностью определяется априорными сведениями о фильтруемом сообщении. Для гауссовских сообщений фильтр является линейным. Выходное напряжение дискриминатора подается на фильтр через коэффициенты усиления, ко~орые выбираются оптимальными и рассчитываются с помощью специального уравнения для апостериорных дисперсий ошибок фильтрации. Отметим, что строго оптимальный алгоритм, реализующий уравнение Стратоновича, в общем случае не сводится к следящей системе. Важнейшей характеристикой дискриминатора является его дискриминаг»иог(нал характеристика. Она определяется как среднее значение выходного напряжения дискриминатора по совокупности реализаций наблюдения ~(~) при фиксированных значениях отслеживаемого сообщения А(г)=Х и его оценки А(г)=)с /(г, ),, )) =-М г(др (1, ))/дЦл(() л, л1,=л) (10.1.68) Часто дискриминапионная характеристика зависит ~олько от ошибки оценки с=».— »л.
Тогда /'((, а)=М(др(г, »о)/д) !л1,1 Ч,».,). (! 0.1.69) Для наблюдения вида Цг)= г(г, Х)+по(г) (1О. 1. 70) из (68) получим /((, »., 7)=(2/Аго)[е(г, Х) — х(г, »))де(г, ).)/д).. (10.!.71) Если сообщение ). (1) г(еэнергетг(ческое (от него не зависит энергия сигнала), то Я, ), ).) =(2/Аго)к(г, А)де(г, 7)/д).. (10.1.72) ' Например, для сигналов с угловой модуляцией е(г, ) ) = А сок (ш г+(Р) / (с) = (2 ! '(Лго) сок (о»о г+ (Р) вгп (ого г+ ф) =( 4 /Лго) гйп (гр — ф) = = (А г /Аго) гйп гь где опущено слагаемое с двойной частотой. Таким образом, дискриминационная характеристика системы ФАП является синусоидальной (рис.
!0.5).. В случае линейной зависимости сигнала 477 Рис. г0.5. Днскриминащгоннак харак- теристика ФЛП у(6 7) от 2., т. е. л(ц ))=Н(г))., дискриминационная характеристика есть сг рого линейная функция: 7.(г, )=Р (г)Х-Н()Чн(г)=н (г). На рис. !0.5 ей соответствует приближенно прямая линия. При значении дисперсии ошибки 271„41~1 рада мгновенньге значения ошибки с большой вероятностью лехсат в заштрихованной области на оси в (рнс. 10.5), т. е. дискриминационную характеристику допустимо считать линейной функцией. Этот вывод имеет общий характер: близость дискриминационной характеристики к у!и!ге!!!!ой функции в пределах диапазона значений ошибок можно рассматривать как пракгический способ проверки условия справедливости гауссовской аппроксимации. Приведем несколько замечаний и обобщении: 1) когда сигнал явно зависит от нескольких параметров (нескольких компонент вектора 7 (г)), то будет несколько дискриминаторов, им соответствует векторная дискриминационная характеристика; 2) интерпретация квазиоптимальной схемы, полученной в дискретном времени, не имеет особенностей; 3) в ряде практических сне~ем (импульсная радиолокация, цифровая связь и др.) зависимость 7'(г, в) пернодичяа по г с некоторым периодом Т, существенно меньпгим постоянной времени системы.
В таких случаях удобно осреднять 7'(г, е) по времени ьт 7'(а)=- /'(в, г)г(г; 4) в общем случае г)Г(г, 1)(г7).= — сз!п)г(с!2)70) может зависеть от 2. и л гораздо сложнее, чем в (71), а иногда 7 (е) можно определить только методами статистического моделирования; 5) применительно к наблюдению (70) из (68) можно получить следующее полезное представление для дискриминационной характеристики; ('(г, )., х)=-2-М вЂ”.' (б Х). ((, "7,) — ! '(г, ).) — — М(ф, 7)х(г, Х)~) — — М(л (г, 7)э! = — — Я()с, 2.) — -Ь(1), где Я ()., 2.) — так называемая ко)г)геэгяггггоггггггя фу!!к!!ил гиднало, гс()., л) = М !х(г, 7 )у(г, 2.)1; Е(л) — энергия сигнала.
Наглядный пример определения дискриминационной характеристики системы синхронизации в цифровой связи приведен в статье'; 6) отметим, что крутизна характеристики дискриминатора входит в уравнение (12) для дисперсии ошибок и полностью определяет влияние характера сигнала и шума канала на величину ошибки. Действительно, из (7!) следует сПг Х 1) 2 д ( дг(г, Х)) 2 Г дгэ(г, Х) ..— '" ' = — =~[к(г, 7) — к(г, л)),' у = — ~х(.', Х) "Л4л=л йодХ( * ' ' ду ) л.-л Ь'„~' " дл' ( -) и'к(г, Х) да(г, Х) 2 ~(~~, Х) Другой распространенной характеристикой дискриминатора является флгоггтуггг7ионггггя хггракгггерисгггико.
Если дискримгиггацггонная характеристика — среднее значение выходного напряжения дискримияатора д)г(г, Х)(о)., то флюктуационная харак~еристика-- спектральная плотность шума на выходе дискриминатора. Тонг!ее, если обозначить п,(г)=дг(г, "а)(гг)ь — Я, )., л), (10.1.73) то флюктуационпая характеристика 6(г. 7., 2.)--это спектральная плотность шума па(г) прц частотах, близких к нулю. Для наблюдения (70) из (7!) и (73) имеем гг. (г) (2ггло)по(г)г)к(г л)гл)ь Видно, что шум п,(г) белый с корреляционной функцией М (ггч (г) п, (г+ т)) = (2гглго ) (г)л (6 Ц)/г)Ц г б (т).
В данном случае флюктуационная характеристика зависит только от г и ).: 6(г, л) =(27Лго) ! дх(г, 2)/г723 г. (10.1.74) Нетрудно проверить, что для радиосигналов как с линейной, так и угловой модуляцией флюктуационная характеристика не зависит от л: для линейной модуляции 6(г)=20'(г)ггглго, а для угловой С=А'/глго. По заданным характеристикам дискриминатора 7'(г, )., ) ) и С(0 )л гл) можно составитЬ статистический эквивалент фУнкЦии д)г(г, Х)/дХ: о)г(г, ))/дХ=7(г,)л, Х)+и,(!), (1О.
1. 75) где п,(г) — белый шум со спектральной плотностью 6(г, )., ).). ' Тихонов В. И., Харисов В. Н. Оптимальный прием дискрстнык сигналов со случайной эадержкойбградиотскника и электроника — !980.— Т. 25, гйг 3.. С, 529--55!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
