Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 92
Текст из файла (страница 92)
п,(с) А=-, я (с)=, М (и (с)п„'(с)) =Х«8(т), Хс= Сигнал (18) можно представить также в виде с(с, 0(кс), Л(с))=В(с)соя[во« с 9«(к)+0(й)я], В(с)=([Аотл,(с)]'-ьлг(с)) и', Р(с)=агск8[л,(с)с(Ао-ьл,(с))], где огибающая В(с) имеет распределение Райса, а фаза ч«(с) распрелелена в интервале ( — я„я). Такое задание си«нала позволяет учесть его амплитудные и фазовые замирания.
Оценка дискретного параметра, оптимальная по критерию минимума вероятности ошибка, осуществляется а соответствии с алгоритмом 0(Л)=шах ' (р(с=к«Т — О, 8=«)) (102.19) где шах '(с(с)) функция, обратная функции псах(с(с)); р(!=сот-О, О=с) — -ало стериориая вероятность дискретного параметра в конде А-го интервала. Ее можно определить, если известна совместная апостериорная п. в. р(с, 0=6 Л).
При использовании представления ' Мареха А. С. Оптимальная фильтрация фазоманипулированных сигналов с замираниями 0 Радиотехника и электроника, — 1986. Т. 31, № 12. С, 2426— 2430. р(с, 0=«,1)=р(с, О=с)р(г, ЦО=-«), тле р(с, О)- -апостериорная вероятность дискретного параметра (безусловная относительно Л), р(к, ЦО) — условная апостериорная и.
в. непрерывного параметра 1.(с), алгоритм (19) преобразуется к виду в=о (ЛТ вЂ” О)= ] [То(с, Л,(с)) — Р,(с, Л,(с))]йс > О. (10.2.20) и-ссг о=. ! Здесь г(К«Т вЂ” О)=1пгр(с=оТ вЂ” О, О=О)(р (сййТ вЂ” О, 0=1)], р (с, Л,(с))= =(1/дсо) [2~(с)«(с, О=с, л,(с)) — г'(с, О=с, л,(с))1, л,(с)=)1Р(с, ЦО=с)скл. Поскольку Л(с) входит в (18) линейно, то р(с, ЦО=«) является нормальной, что позволяет перейти к вектору условных и.
о. Л,(с) и корреляционной матрице К,(с), описываемых внутри тактовых интервалов уравнениями ВЛ !«В=АЛ«ч(2[Во)К«Н' [( — !)'((с) — (Аосоасвос-ьНЛ)], с(К./«СС=АК -!.К А (2/Ако)К Н НК -! 1Чм (Сс — 1)Т(к<к«Т. (10.2.21) В стационарном режиме (с со) значения элементов корреляционной матрицы К,(с) примут вид В.„= В.а =пСУ о ( Л +2!Э [цдка — 1) = К В.в ж О, (1О.2. 22) где кэ=ксс[4а — дисперсия процессов л,(с) и л,(с).
Соотношения, связывающие Л,(с) в точках разрешенной смены состояний 0(кс), именэт вид Л,(с=АТ+О)=(!12) [Л,(с=АТ вЂ” О)+Л,(с=йт — О)]+ сс Ь(1[2)[Ло(С=С«Т 0) — Л«(С=К«Т вЂ” О)]сй( ] [Ро(к 1о(к))-.Р,(к, Лс(К))]с(к). а-скт (10.2.23) При сравнительно больших значениях сигнал-шум справедливо приближенное равенство 1Ь( )- 21, и уравнение (23) реализуется в виде алгоритма переприс- воения непрерывных параметров Л,(с=ЛТьо)=Л,(с=ЛТ-ьо)=к' "( Я(с=йТ вЂ” О) при 0(1«)= !. (10.2.24) Структурная схема оптимального различителя сигналов (18), реализуюцкая алгоритм (20), (2!), (24), представлена на рис. 10.9.
Она является двухканальной (по числу разрешенных значений информационно«о параметра). В каждом канале имеются устройства фильтрации квадратурных составляющих Ли и Л„, предскавскяюкссие собой стационарные фильтры Калмана. Особенностью схемы является наличие операции переприсвоения (24). Суть ее заключается в том, что на тактовом интервале формируются условные оценки Лл /=О, 1, для каждо«о из возможных значений 8. В конце интервала определяется оценка 0 в соответствии с правилом (20), и в качестве финальной оценки Л вектора непрерывных 485 дрос (С, х) юр»1(с, х) 1 о'Р»1(с, х) д! дх 2 дх' др„(с, х) др,о(с, х) 1 д'рю(с, х) дс ~ д' 2 ' дхз (! 0.229) ао = †=а= 2А~о/(ЬСо ! 227(а), Ьо =Ь, = 2а.
Рсо=Ф(х) Рос=! Ф(У) (!0.2.30) Ре Р =Рорш+Р~рсо= =1 — Ф ! 1, Е= . (10.2.31) Г 2Е зс До'Т )!со ! 20/Я с) 2 10' Р,о(Г, х)=Р(х()сТ)>0(0()с)=1, «(Г)), р„(г, х)=Р(х(йт)<О)0(й)=О, «(г)), (10.2.25) !О удовлетворяющие условию рсо()сТ, х)=П(х), (1 при >О, (7(х) = рщДсТ, х)=1 — (7(х), (О при э<О. (10.2.26) 10 10' (10.2.27) т„,«кТ, !0Я гд" т Рис. 10.10. Кривые помехоустойчивости замирающих ФМ-сигналов со 20 00 2Е/!»а 487 Рис. 10.9. Структурнаи схема оптимааьного приемника ФМ-сигналов параметров выбирается условная оценка ьь соответствующая б=ь Начальные зыачения оценок ). (Г=)сТ+0) в следующем (1;+1)-м тактовом интервале делаются равными йе Для расчета помехоустойчивости полученыого алгоритма можно воспользоваться методикой, применяемой в задачах обнаружения стохастических шепилов (8). Для этого введем в рассмотрение на lс-м тактовом иытервале апостериорные вероятности опгибок Очевидно, что ввеленные апостериорные вероятности до начала наблюдения совпадают с обычными условными вероятностями ошибок Рс о =Р (хо(хс) и Р»1 =р(»,!»,).
В общем случае вероятносты (25) описываются многомерными уравнениями в частных производных, решение которых представляет значительные трудности. Приближенное решение можно получить для случая, когда выполняется условие где т„; — -интервал корреляпии процесса Е,(!)=с(х/с(! при О=с. При этом реальный сл.
пр. х(!) можно приближенно заменить одномерным марковским процессом, а вероятности (25) описываются обратными уравнениями Колмогорова с началь- ными условиями (2б): Здесь ас и Ьь с=0,1с — соответственно коэффициенты сноса и дифф)зии процесса х(с) при 0=1, определяемые при выполнении (27) выражениями ас = 1пп М ( Е (!)), Ь, = 2 ( М ()',(!) Ес (! 3- х)) с)з. Значения коэффициентов а, и Ьь рассчитанные с учетом (20), (21), (22). равны При этом решения уравнений (28) при с=(!с — !) Т-1-0 имеюз вид Ф(а)= ехр — 00 х= — а, —, у= — а о Вероятность общей ошибки при использовании критерия идеального наблюдатели равна Видно, что при выполнении условия (27) воздействие помехи ).(с) эквивалентно воздействию белого шума с односторонней спектральной плотностью Ь1„=5,(со=О)=2)7)и.
Следовательно, справедливый в общем случае алгоритм (20), (2!), (24) в том частном случае, когда выполняется условие (27), эквивалентен обычному корреляционному приему на фоне белого шума, имеющего спектральную плотность ЬС=)Уо+)У„, Кривые помехоустойчивости, построенные по формуле (31) при аТ=-100, что обеспечивает выполнение условия (27), изображены на рис. 1О 10. Видно, что с увеличением глубины замираний, характеризуемой отношением помеха-сигнал по мощности 22)/Асс=0,1; 0,2; 0,4; 0,8 (кривые 1, 2, 3 и 4 соответственно), помехоустойчивость ухудшается.
Если замирания отсутствуют (Р=.01, формула (31) совпадает с формулой (9.3.18) для детерминированных Фм-сигналов, а график помехоустойчивости (штриховая линия) — с соответствующей кривой потенциальной помехоустойчивости иа рис. 9.9. В закшочение отметим два обстоятельства. Если огибающая имеет распределение Рзлея (Ае —— 01. алгоритм (20), (2!) при лащюй постановке задачи становится вырожденным, так как и, и Ь, обращаются в нуль при любом Е Физически зто можно объясним тем, что в отсутствие регулярной составляющей в наблюдении д(!) информация о дискретном парамез.ре 0 не содержится. Хотя ал| орнтм перепрнсвоения в общем случае требует наличия л схем оценки непрерывного параметра (по числу возможных состояний дискретного параметра), в данном частном случае линейной фильтрации непрерывных параметров возможна одноканальная реализация.
Это объясняется тем, что условные опенки (21) при начальных условиях (24) однозначно связаны между собой. 10.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ В отличие от локальной аппроксимации, применимой при малых ошибках фильтрации, когда требовалось получить хорошую аппроксимацию решения основного уравнения фильтрации в неболыцой окрестности оценки л(г) фильтруемого параметра )ь(!), основная цель ин)пегральной (глобальной) аппроксимации состоит в получении приближенного решения во всей области возможных значений фильтруемого параметра )ь(!), что особенно важно при малых отношениях сигнал-шум, а также в задачах, связанных с выходом процесса за границы заданной области (в частности, при расчете характеристик обнаружения и различения сигналов). Качественное соотношение между точным решением р(г, к) уравнения фильтрации, локальной аппроксимацией ра(1, к) н интегральной аппроксимацией р„(г, к) иллюстрирует рис.
10.11. Аппроксимирующая п. в. р,(1, л) обеспечивает хорошую аппроксимацию и. в. р(г, к) в окрестности ее наибольшего максимума, а р„(г, к) должна быть близка к р(1, 2 «в среднемн ) во всей области возможных значений ).(г). При интегральной аппроксимации точное решение р(1, к) апироксимируется некоторой плотностью, выбираемой на основании физических представлений из параметризованного класса р((, к, и), сее2., причем всегда желательно, чтобы число пара- Рис.
10.! !. Характер локальной р,(з, Л) и интегральной р„(), Л) аппроксимапий плотности вероятности р(! )) 488 метров с! было небольшим. В качестве критерия близости и. в. р((, 2) и р(г, 2; сг) берется минимум некоторого интегрального расстояния l(р((, к), р(1, к; и)), т. е. параметры сг выбираются из условия ег*(()=пил ! 1(р(г, Ц. р(1, ).: и)). (1 0.3.1) Рассмотрение конкрегных радиотехнических примеров показывает, что весьма удобным является критерий Кульбака (6.2.1), согласно которому мера расстояния между двумя п. в.,„().; и) и р(к) определяется выражением У(Х, р)= --! р(Л) !и(я(Л; я)/р(Ц~г!).
(103.2) Она удовлетворяет некоторым свойствам расстояния: У(К, р)>О для всех разумных Х(2, ег) и р()); /(о, р)=0 при д(2.;, а)ьнр(к). Однако свойство симметрии не выполняется: У(8(, р)!4/(р, я). Характерное о гличие критерия (2), например, от критерия минимума среднеквадратического расстояния У(Х р)=1И и)-1 ()Н'б) сг*(!)=и!!и ' — р((, к)!иР ' ' г()ь р(к Л; «)) =иии" М вЂ” !п — ' а ( р(кл) (10.3.3) или, отбрасывая слагаемое, не зависящее от ег, сх".=пи'и ' М ( — 1и р(г, )ь; а)).
(10.3.4) Запишем необходимое условие минимума да(р(К Л). р(0 Л; а*)) ) д!пр(К Л; «*) да д« (10.3.5) Рассмотрим конкретный пример, когда аппроксимирующая п. в. отыскивается в классе нормальных п. в. Лг(г, 3.; из, К) с м. о. т и корреляционной матрицей К, т. е. р(г, 3.; «х)=Ж(1, 2.; т, К).
Здесь составляющими вектора параметров и являются в и К, хотя возможен и дгт)угой, эквивалентный, выбор, например и=(щ, К), где К=К >О. При этом 489 состоит в подчеркивании значимости «хвостовн распределения р(Ц, придании им болыпей значимости. что должно обеспечивать их хорошую аппроксимацию. Теперь кригернй (1) можно записать в виде —! (7„ш) К()„т)+ ! !и ! К ! да да( 2 2 — К (А — т), — -().— т)().— т)'+- К (10.3.6) (10.3.8) Здесь были использованы известные матричные соотношения д(Х'КХ)/дХ=2КХ; д 1п ~ К! /дК=К д (Х'КХ) /дК = ХХ'.
(10.3.7) Подставив (6) в (5), получим пв(1)=М(7.(!)) =) ).р(0 ) ) 1/7, К '(1)=К(1)=М((1.— т)(1.— т)')= =((7 — п1) ().— т)'р(О ).) ЙЪ.. (10.3.9) Следовательно, наилучп1ая интегральная аппроксимация про- извольного распределения р(6 )) нормальным законом Ф(6 ).; ш, К) достигается приравниванием их м. о. и дисперсий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
