Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 96
Текст из файла (страница 96)
(!) — ошибка аппроксимации, Функция г(г, Л) и момент времени !'„„у аппроксимирующего процесса выбираются так, чтобы обеспечить приемлемые значения ошибки аппроксимации ех(г) (см. ниже). В частности, при г„'„=г! и х(г, Л)=0, т. е. Л(г)=Ло(с,)=сола! на асем интервале [г„, т„„), имеем ступенчатую аппроксимацию. Минимизация ошибки е,(!) обеспечивается применением методов теории оптимальной фильтрации марковского процесса Л(!), в чем нетрудно убедиться. Таким образом, приходим к задаче оценки марковского процесса Ц!) при !и [!„г„,) по наблюдению Решение ее основано на определении апостериорной п. в.
Р„,(с, Ц=р(1.(!)= =Л[9!х! !). Такая постановка задачи аналогична рассмотренной в ([ 7.5. Решение такой модифицированной задачи, определяемой выражениями (1)...(4), рассматривается как приближенное решение исходной задачи фильтрации процесса Ло(!), стремящееся к нему при ез(!)-лО. Аппроксимация (1)...(3) сама по себе не упрощает реализацию. Упрощение обеспечивается за счет явного решения уравнения Стратоновича для поставленной задачи, возможность которого является следствием аппроксимации. Действительно, уравнение (2) для процесса Л(г) совпадает с уравнением (9.1.15), задающим квазислучайный процесс.
Процесс Ло(!) на каждом интервале 506 [!,, !хм) аппроксимируется процессом Ц!). Поскольку квазислучайный процесс полностью определяется заданием значения в некоторой точке, то это значит, что Ц!) полностью определяется заданием последовательности 7.„,=! (гх„), !!=0, 1, 2, ... Пользуясь модификацией результата (9.1.20), можно записать выражение для апосгериорной п, в. рх„(г, Ц=[дФ(1„'э„г, Л)[дЛ'[рлм(1.„„)!„ (!0.6.5) причем р.,(1'.,)= ° Рх,(Л.!)ехр(Р!.,( .,) — Е(Лл+ И Здесь рл,(Лх„,) — экстраполированная л.
в. по наблюдениям на предыдуших интервалах, получаемая из р„(Л,) по правилу Рх*(Лл~ !) — ) Я(Л! ! ! Л!)Р! (Л!) !(Л! где я(1 л м [Л,) — п. в. перехода; схр(Р „()л„,) — Е(Ъ„,,)) — функционал правдоподобия нри наблюдении д'х-:-!: !! 2 Гх„(Лхь,)= — ~ ь(!) г(г, Ф(!, !х !„Лл„))!(г; !оо У! Ель!(1.„,)= — з (Г, Ф(з, г„,.„Л„„))дг; !Уо е„, — нормировочная константа. П.
в. Р,„,(г, Л) является решениел! сформулированной задачи оценки Л(г), заданной соотношениями (1)...(4). Заметим, что при наличии на входе системы обработки аналого-цифрового преобразователя наблюдение имеет вид При этом интеграл в (8) переходит в сумму, например: Все последующие результаты, записанные для иабдюдения 1(г), останутся справедливыми и для наблюдения в дискретном времени (9) при очевидной замене (8) на (10).
Выражение (5) позволяет пай~и р,„,(!, Л) для тех моментов врелзени г, в которых необходимо иметь оценку Л(г). Если оценка опрелеляется по максимуму апосгериорной п. в. Р„,,(г, Л), то при высокой точности оценки Л„ь! определение р,ь,(г, Ц можно опустить, так как из (5) следует, что Л(!)=Ф(!, („о !.„,). (!0.6.11) где Л,э, — максимально правдоподобнаи оценка, определяемая по р„ь,(!, Лх „). Основным в алгоритме является соотношение (6), типичное лля фиоьтранни марковских послеловательносгей (см.
6 7.3, 7.5). Особенность закл!очается в том, что наблюдение 9(г) входит в (6) в виде взвешенной суммы Р!.„! (л„э,) 1 (с) = Ф(с — („,) 1.„,, (10.6.12) 2 Г . д Х.„= 2. В„,— )Г(«()-с( Х()П вЂ”. (6Х())дц о дХ (10.6.1 3) В„-,с,=(Ф(Т)В„Ф (Т)ч-П(Т))-сч- — ~ -- — '---'' ' д(, 2 Г дх((, й" (с) дх((, й'(!)) Ао (!0.6.14) где введены обозначения для экстраполированных оценок й'(() =- Ф ((- ( „,) 71„1, Х;, 1 = Ф (( „,, - с,) Х.
Структура алгоритма изображена па рис. 10.16 (матрица Вл„считается рассчитанной заранее). Входной снпсал «(О поступает на блок группировання. который выполняет роль прсдпроцссеора н формирует корреляционные интегралы наблюдений. Наблюдения суммируются (интегрируются) с весами дх((, 1'(())!(7)ь Рис. 10.16. Структура алгоритма фильтрации с группированием наблюдений (корреляцноииого интеграла), т. е.
Ел»1(7»1 „) является достаточной статистикой от совокупности наблюленнй на (А ч-1)-м интервале. В результате оказывается возможным осуществлять сложное вычисление значений апостсриорной п. в. один раз за Т=(„, — (л>Л в отличие от обычных цифровых алгоритмов, где подобные вычисления необходимо выполнять в темпе поступления наблюлений Л (порядка интервала корреляции сигнала). В частном случае ступенчатой аппроксимации, когда Г(с, Х)=0, т. е. Ф((, т, Х)= ! при всех (н [(,, („„), соотношение (5) становится тривиальным и не используется„ а (6) эквивалентно выражениям (7.5.2), (7.5.5). В другом частном случае, когда Яс, й) .линейная функция, т. е.
Т(с, Х) =А(г, используемое в (5) решение (3) уравнения (1) имеет вид Ф((, („,, ))=Ф(с — (1,,)1, гле Ф(с)=ехр(А() — матричная экспонента и 7.(!)=-Ф(( — с,,)1,,, Для дальнейшего упрощения технической реализации алгоризма (5), (6) можно использовать различные методы аппроксимации для р„,(с, Х) и рл,, (1»„1), например расширенный фильтр Калмана. Ограничимся частным случаем гауссовского процесса )о(с) и выберем Г((, Х)=АХ в (2). Для последовательности 1.„, справедливо равенство 21»1=-Ф(т) хгч-пл»1, тле '1» 1 М(п„пл) = ) ехр(А((„,, — ()) (л(1 ехр(А'(! „— ()) (7(=П(Т). Итоговый алгоритм фильтрации булез иметь вид, аналогичный (10.1.23), (10.1.24): 1(с, Х)=дФ(!. („1, 2„1)!д(= дк((ло (!7.о((л 1)=-С'л ° 1) хо дйо ™ »а (с 1.1) ! !.1 дс (!0.6.!5) где а((, ) о) - коэффициент сноса, связанный с й(с, !.о) соотношением типа (3.6.26) Если Хо(с) — гауссовско-марковский процесс, то конкретизация (15) дает 1((, )г)=М (д((, 7.„)!3.„„) =М(А7.„(2„,,) =Ай(!), (10.6.
16) г. е, в этом случае 1((, 7.) —.й((, Х). Средний квадрат ошибки аппроксимации б(() при выборе 1(с, 3.) согласно (!5) совпадает с условной дисперсией О((., (;...) приращения процесса Х((). Наорилсср, дпя ОдНОрОдНО(О ГаусСОВско-марковсКого процеССа 13(( — (1» 1)=) схр (А(! — т)) А»лехр (А '(! г)) с(т. Двя обычно рассматриваемых в теории фильтрации процессов й(() (в частиосзи, однородных гауссовско-марковских) дисперсия приращения --неубывающая функция: П((1 с'„,,)- 13((1 !',,) при ((1 с», ! > !с, ('„,, !.
Здесь магри щое неравен ство понимается в смысле А>В А — В>0, т. е. (А — В) - положнтелыю определенная матрица. Отсюда, а частности, следует, что лля дисперсий всех компонент вектора кс(() выполняется неравенство До((,— (1,1)>(71,((1 — (1,,). Поэтому наиболыпее в указанном смысле значение ошибки аппроксимации достигаю! па кра(о интервала (руппнрования. Оптимизация выбора !'„, пз условия мнппмуми наибольшего зиачеяяя Д(с) на интервале срупппрования эквивалентна пр,свнлу (П!.6. (Т! 509 которые зависят от оценок параметров на основе предшествующих пабл(Одений.
Во втором, основном, блоке фильтрации вычисляется 7ч.» Третий блок служит для вычисления оценки Х(с) процесса в нужные моменты времени. Каждый блок работает в своем масштабе времени: первый- в самом высоком темпе, определяемом дискретностью поступления отсчетов входного сигнала (в том числе в непрерывном времени при аналоговой обработке), второй- с дискрезностью Т, третий с требуемой дискретностью вывода х((). В этом закяючается отличие от обычных алгоритмов фильтрации, где самый сложный в вычислительном отношении расчет Хл»1 по (13) требуется осуществляз.ь а темпе поступления отсчетов сигнала.
В результате сушесгвенно упрощается техническая реализация алгоритмов фильтрации. Привелем соображения по выбору Пс, Х), с„,, и Т. При малых длительностях Т ннтервала группирования справедлива практически любая аппроксимация (в частности, ступенчатая). Увеличение 7, непосредственно влияющее на эффективность метода (руппированин, требует оптимизации 1((, 2) и (кю с целью уменьшения ошибки аппроксимации в,(()=й(с)- ло((). Известно, что минимум среднего квадрата ошибки Ь(()= =М (е,(с) с)(()!з((1',1) =Хо((1»1)=1.„,) при всех !в ((„, с...) обеспечивается, если й(() совпадает с условным м.
о. (2(!)=Ф((. (1»1 хл»1)=М»йо(!)!ло((1 1)=11+11. Отсюда следует, что 10.7. ФИЛЬТРАЦИЯ СЛАБЫХ СИГНАЛОВ ПРИ НЕГАУССОВСКОМ ШУМЕ Рассмотрим асимптотический случай дискретной фильтрации при негауссовском шуме. Пусть обработке подвергаются временные отсчеты наблюдения Р,„г к(1„,7.„)+и„, 1„„— 1,=А, (Ш.?. !) представляющего собой сумму полезного сигнала «(б ).(/)) и стационарного негауссовского шума п (1), имеющего известную одномерную и. в.
ро (и) с нулевым м. о. и дисперсией 2)„. Предполагается, что шум ц(/) для синтезируемой системы можно считать широкополосным (белым) с известной односторонней спектральной плотностью А', его отсчетные значения и; = п (0) в п/=и(//) при /~?' приближенно независимы, что может иметь место, если А превышает интервал корреляции шума и(/).
Отношение сигнал-шум в отсчете ргй кг(/„, 7 „)/Ю„есть малая величина (асимптотический случай). Перейдем от (1) к нормированному наблюдению /у- г/г е +и (10.7.2) где безразмерный шум й„=/у„игп„имеет известную п. в. р (й„) = Р „'/'р, (Р „"'и „). (10.7.3) тьг емо еу ! г Рис.
10.17. Реализация наблюдения См г 510 Отсюда видно, что оптимум достигается при ~'„„=(1„, +гь)/2, т. е. точка должна лежаэь в середине интервала груплировании. Выбор допустимого значения длительности Т тактового интервала естественно производить из условия, чтобы увеличение дисперсии полной ошибки е(г) при использовании алгоритма фильтрации с группированием наблюдений было мало ло сравнению с ошибкой обычного алгоритма фильтрации. Это обеспечивается, если дисперсия ошибки фильтрации е,(1) в алгоритме 114) близка к дисперсии ошибки К1=Ф(Т)К,Ф'(Т)+Гэ(7).
Кроме того, при выборе Т нужно учитывать то обстоительство, что в описанном алгоритме оценка ь(1) производится с задержкой 1в среднем на Т/2) относительно момента наблюдения. где умножение и суммирование ведется ио всем номерам отсчетов /„, лежащим внутри интервала (/ы „ /а,).
Величина Т. (Э.)=Е1пр(~„! ).), !10.7.6) определяющая вид функции правдоподобия (5), представляет собой достаточную статистику наблюдаемых отсчетов. Входящая в (5) функция правдоподобия р(!',т!) ) для о-го о~счета выражается через распределение шума р(й„) согласно (2): р(К. !) ) =р(1,— р,) (10.7.7) При достаточно болыиом числе отсчетов М величина р„, входящая в (7), имеет порядок Р„М к (6 ) )с/!/— з 1 Раскладывая каждое слагаемое достаточной статистики (6) в ряд Тейлора в окрестности точки р„=0, имеем Т.
(1)=с+,"! ( ")р,+-~~,Т(!,„)+о(рг), С!0.7 8) ' Харисов В. Н., Кириленко Ю. Н. Аснмптотически оптимальные алгоритмы нелинейной фильтрации в залачах цифровой обработки снгналов//Радиотехника н электроника.— -198б.— т. 31, П!э 8.— О. 1578 !584. 511 Требуется в дискретные моменты времени 1 =/,„, + Т (рис. 10.17), где Т вЂ” интервал группирования наблюдений (Т= МЛ, М вЂ” число отсчетов на интервале), получить апостериорную и. в. р(/, ).) информационно!о параметра ) (/).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
