Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Однако на этом пути возникают трудности вычислительного характера, связанные с операцией обращения информационной матрицы Л высокого порядка. Чтобы избежать эти трудности, в рассмотрение вводится некоторая «эквивалентная» задача линейной фильтрации в том смысле, что для нее информационная матрица Л совпадает с соответствующей матрнцей для нелинейной задачи. Дисперсия ошибки в эквивалентной линейной задаче меньше или равна дисперсии ошибки для нелинейной задачи, т. е. являешься для последней нижней границей. Дисперсия ошибки в задачах линейной фильтрации легко вычисляется по известным уравнениям 8 8.1).
Таким образом, рассматриваемый ниже подход является распространением на задачи фильтрации границы Рао — Крамера, представленной в форме, более удобной для выполнения расчетов. Граница Рао — Крамера обычно более точна при малых ошибках (больших отношениях сигнал-шум). Поэтому следует ожидать, что и получаемая нижняя граница для задач оптимальной фильтрации будет точна при больших отношениях сигнал-шум. 1.
Дискретное время. Пусть наблюдение и сообщение имеют вид Р„=и(г„, )ч,)+по„ (10.8. 1) ).„=8(г„, 3.„г)+вл.„ (10,8,2) где по. и пл,— взаимно независимые дискретные БГШ с матридами дисперсий )ч)о. и (ч)л., причем теперь они не должны зависеть от 1,. Кроме того, ъгатрица )ч(о. должна быть положительно определена, а функции и(г„, 3.,) и 8(г„).„) должны иметь производные первого порядка по 1,. Введем в рассмотрение «эквпвалентнуго» линейную задачу с уравнениями наблюдения и сообшения ' 1.п.
!Ч., Егяепысгп Н. %еа1г 8!8па1 Пегесггоп 1и !чоп-йаазз|ап !Чо1яе оГ ГГпггполчп 1.ече10!ЕЕЕ Тгапз,— -1984.— -Уо1. АЕ8-20, № 6. Р. 830 — 834. 516 Р„= Н„1„+ по,. 7 г= р„).,— л +ггл, (10.83) (! 0.8.4) 517 где матрицы н„!л (1„связаны с в(1„, 1.„) и 8(л„, х„!) соотношениями (1„= Мр, (дй(1„, 1.„!)/дХ; — !) (1 0.8.5) и:мып -м 1[-'='р '- ! ] п '("р '! р]! д141 + м„ф'-?ь — !] др(6, 1, ,) (10.8.6) Здесь М„„( ) обозначает м. о. по априорному распределению.
Априорная п. в. для «эквивалентной» линейной задачи считается нормальной А1(ш „ Рп), причем ее м. о. плп и дисперсия 0„ определяются априорной п. в. р „(л ) для исходной нелинейной задачи: тп=) а!!де,(7 ) /7., 0п=М(-д'1прр,(1,)/07.пМ). Если Մ— одномерный процесс, то утверждается, что дисперсия ошибки лл„для нелинейной задачи (1), (2) больше или равна дисперсии ошибки Я', в линейной задаче (3), (4). Для общего случая векторного процесса Х, справедливо аналогичное соотношение: й,> И'„, (10.8.7) илн, иначе. матрица (Ȅ— й'„) положительно определена: (Ȅ— И',) > >О.
Здесь К„и К'„- ковариационные матрицы ошибок фильтрации, например К,,=-М,, !(Մ— Хр)(Х,,— 1,)'); их называют также обобщенной дисперсией. Известно, что йз положительной определенности матрицы А следует неотрицательность ее диагональных элементов: Ап>0. Применительно к нашему случаю это означает, что дисперсии ошибок оценок всех компонент вектора Х в нелинейной задаче не меньше соответствунццих дисперсий в эквивалентной линейной задаче: Докажем более общий результат, чем (7). а именно: если К--обобщенпая дисперсия ошибок оценки в нелинейной задаче всего вектора А= (7п!, Х!, ..., 1.,), а нс только 7, и К„' --дисперсия ошибок оценки А в эквивалентной линейной задаче, то справедливо неравенство й>й'. (10.8.8) Отсюда следует, что результат. аналогичный (7), справедлив и для интернояяционных оценок, которыми являются ком)юнелны 1,(Ц, !<ч, вектора А(Ц). 3 ак как согласно неравенству Рао †-Крамера К >Л ', то для доказательства результата (8) достаточно доказать справедливость соотношения Л<Л', (10.8.9) где согласно (6!.4.10) Л = — М (д~ 1и р /А, Ц!) ! !7АдА'); Л! — аналогичная матриьа для линейной задачи.
Х1Х Действительно, известно, что если А ' > В ', то А < В. (Формально это следует из того факта, что при А > О, В > 0 справедливо АВ > 0 и цепочки соотношений А ' — В '>О- А(А ' — В ')В>0-  — А>0.) Поэтому вместе с не- равенством Рао — Крамера И>Л ' справедливо также неравен- ство К' '<Л.
Если выполняется (9), то имеем К '<Л<Л'=(й') Из К '<(И') ' следует (8). Чтобы упростить выкладки и записи, не будем ллодчеркивать векторный характер Х,. и ~,. Так как Х„--марковский процесс, то р(А, д",) =р(Л) р(д;! Л) =р,„(3.,) Ц р(7., ~ 1...) П р(д,. ~ 7.,) (10.8.10) л=! != ! или 1пр(Л, Ц)=1прр„(~, )+ ,'!" (1пр(3л~Ц !)+1пр(~!~Хл)], !=1 где согласно (1) н (2) Р Д, ~ Х,) =- с, ехР ( — (1/2) (см — х (л!, ~,.)3 ' Ф и ), р(лц1л! !)=сзехр( — (1/2)~Х,.— 8(еп л! л)1 А!ы! ), с, и с — нормировочные постоянные. Для линейной задачи выражение для р'(Л, д~) совпадает с (10), только теперь согласно (3) и (4) имеем р!(гм1рп)е-с! ехр( — (1/2)(Р,— НХл)2 А!9!!), р! (Х, ~ 3л !) = с, ехр ( — (1/2) (Х,.
— (1Хл !) ' Ю,, л). В результате вычислений находим ненулевые члены, которые после осреднения входят в матрицу Л: дл!пр(л, ~'81 дл!пр(1,1х;.,) ! дд(л, х, ~) дХ,дХ,, дх,дх,, ' дХ, д' 1п р(1,1Х,,) д' 1п р(Л„, 1Х ) д' 1п р(~;1Ъ ) длл д!л дл! ~д'~пр(Л, ~;,) ли1пр(Х,1ХЛ1) д Влр(Ц~,1Х) д~!пр(Ь,13.,) дл л дкл дтл Рхл дй, ' дх, +А;,' — — „", 'Аа'(д,— (,, Я+ „" 'А; '„" !+ дпл(0, Х.) дк(1, Х) дх(!и 7') ! дХ, +Арп,л, 1<!<9, (10.8.12) д1пр(Л, Ц) д'1пр(Х,!Х, ) д'1пр(Ц„!Х„) дь„' дХ,' дл др(лм Х,) ! др(сп Х,) (1О.8.
13) 519 Для — д 1пр(Л, Ц)/дЦ в выражении (12) появится дополнительный член — ск1прр„(7 )~г)Х~~. В случае линейной задачи имеем — оэ~!и гг(Л, Ц)!ВХдХ!, = Л!,!" ()г, 1 < г( о, (10.8.14) — ся1пр(Л ~о)ИЦ=()гЛгх! 0г+Агх +ИМо ~Нг+Хоэ (10 8 15) — гз'1пР(Л, 1о)/дХ„'=Лг,,„г+ Н„дг,„гН,— Лго„! (10,8 16) При вычислении м. о. от выражений (11)...(13) с п. в. р(Л, го) в (13) два члена, содержащие БГП1, равны нулю, так как М (Х! э г — я(г; !.
„2)) = М (гг!. ! з. г ) =-О, М(с,— э(г!, 2.;)) =М (»о!) — — О. Сравнивая (11)... (13) с (14) ... (16) и учитывая (5) и (6), заключаем, что все элементы матрицы Л равны соответствующим элементам матрицы Д', кроме элемента (вк), для которого У'„„— У„„=М "'-""- -"-'- — ' — ))„Н„-,,' '"-'(-"г-г) )3„0 Отсюда следует выполнение соотношения (9) и справедливость неравенства (8), Результат (7) для г1, получается из доказанной положительной определенности матрицы й — Кг>0. 2. Непрерывное время.
В этом случае уравнения наблюдения и сообщения имеют вид 4(г) я(г ))+ "о(г) (10.8.! 7) И гг =8 (г, ) )+ п,(г), (10.8.! 8) где по(г) н п,(г) — независимые БГШ с матрицами спектральных плотностей Х (г) и !х(„(г), которые не зависят от 1(г)! причем Хо(г) положительно опРеделена, а Я(г, ).) и 8(г, )) имеют пРоизводные первого порядка по Запишем исходные уравнения для задачи линейной фильтрации 9(г)=Н(г)Х+и (г), (10.8,19) гУ) ~ггг=Ф(г) 2.+п,(г). (10.8.
20) Здесь Н(г) и Ф(г) связаны с я(г, 1) и 8(г, Х) соотношениями. аналогичными (5) и (6): Ф(г) = М,„(г78(г, ).)гг7).'), (10.8.21) ! Н (г))х! (г)Н(г)=М,„Ук(',Ч вЂ” Ф(г)~ М„-'(г) х х '~(" .) Ф(г) +Мр ' ) (Х(о '(г) ' ('.. (10 822) М " "= ))., =~('-М " 8(г, )„), )„ !!о~-'1!о(г) —,,1'!ы — '!'(х(г). (10.8. 27) Коэффициенты эквивалентной линейной задачи в дискретном времени находим подстановкой (24)...(26) в (5) и (6): (10.8.28) где М„,( ) — м.
о. по априорному распределению ). При этом априорйая п.в, для ).о=). при г=О нормальная !5!(гпо, 1)о); ее м. о. гп и дисперсия )Э связаны с априорной п. в. исходной нелинеййой задачи р „().о) соотношениями шо=) горн()о)гг "о=М() о), )Уо=М !' — В (пР~, ("о)гг7) од)о) Матрица дисперсий ошибок В(г) фильтрации процесса 2.(г) в нелинейной задаче (17), (18) ограничена снизу матрицей ошибок фильтрации йг(г) в линейной задаче (19)...(22): В (г) > И'(г), (10.8.23) Аналогичный результат справедлив и для задачи интерпо- ляции. Не вполне строгое обоснование этого результата можно получить предельным переходом в доказанном выше неравенстве (8) для дискретного времени. Действительно. рассмотрим задачу (1), (2) для некоторого момента времени г„= г.
Обозначим Л=г,— г„и ).„=1., Х,,=-).', и рассмотрим следующее задание параметров уравнений (1). (2): 8(г„, г.„,)=й(г„, ).')=э.'+8(г — Л„г.')Л, 5(г„).,)=я(г„, Х) =я(г, ).), )х(„,=)хг,(г)гЛ, ~1,„=(х)„(г)гл, где последние соотношения соответствуют при Л- 0 следующему заданию дискретных шумов; ! по,, = — по(т) ггт, и.„= п„(т) ггт. !г а !.Ь Выражения (24)...(26) составлены так, чтобы при Л- 0 обес- печивался переход от уравнений (1), (2) к (!7), (18). Действительно, при Л вЂ” 0 получаем 520 52! ,'ь !т , да(-л, ) М (-") +М О Ц '„- ()М5Ц (10.8.29) При Л- 0 из (28) следует (2!) л,-л.а,)2 Р.и-л' М дк( л) Р(!)=И(ь)) (1)+п,(ь), где в данном случае Н.р)- И=М д(' ) )л),1 ( ) Для К'(1) из последнего уравнения' (8.1.б1) имеем дп' ..., (Гдя([, Х) ) 1 дя(г, Л)) дь' (! 0.8.30) ' Воьготайу В.
7., 7а)[а! М. А $.огсг Вопи[) оп 1)ьс Езйшаьюп Еггог Гог Сег1аьп 1)[тгпяоп Ргосеззезьь!ЕЕЕ Тгапз.— 1976.— 'то1.!Т-22, № 1.- Р. 45 — 52. 522 а (29) переходит в (22). Таким образом, составлена задача в дискретном времени, которая при Л- 0 переходит в исходную задачу в непрерывном времени. Для полученной задачи в дискретном времени дисперсия ошибки ограничена снизу: К„>К'„, где К'„— дисперсия ошибки в линейной задаче фильтраыйи с параметрами (28), (29). При Л- 0 получившаяся линейная задача в дискретном времени переходит в задачу (19)...(22) в непрерывном времени. Соотношение (7) справедливо при любом Л„в том числе и при Л-эО. Отсюда приходим к справедливости неравенства (23).
Существует ь более строгое доказательство этого результата. 3. Фильтрация гауссовских процессов при нелииейиом наблюдении. Пусть фильтруемый гауссовский процесс ) (1) описывается линейным уравнением вида (8.1.59), а уравнение наблюдения имеет вид (17), где полезный сигнал является нелинейной функцией от ),(1). Согласно результату п. 2 нижняя граница для матрицы дисперсий опьибок фильтршьии (и интерполяции) совпадает с дисперсией ошибок К' в задаче линейной фильтрации с уравнением наблюдения Сравнивая это уравнение с уравнением Риккати (10.1.12) для корреляционной матрицы ошибок расширенного фильтра Калмана, получаемого при применении гауссовской аппроксимации к нелинейной задаче, замечаем, что они отличаются последними членами в правой части; в фильтре Калмана отсутствует м.
о. (~да(ь, Х) ь оа(~, )) П ~ дя(ь, )) 1[Ъ(ь, Х) 1 Поскольку осреднение в (30) производится с априорной п, в., определяемой для любого 1 априорным уравнением (20) в отсутствие наблюдения (Н(!)=0), то оно оказывает большее влияние на начальном интервале времени (в переходном режиме) и меньше сказывается в дальней!нем (в частности, в стационарном состоянии).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
