Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Кроме того, данная отметка передается в блок 2, в котором оцениваются (сглаживаются) параметры траекторий по сравнительно несложным алгоритмам при упрощенных предположешшх относительно закона движения объекта. Оценка парамезров траектории в блоке 2 необходима для обеспечения непрерывности сопрсьождения, и от пее не требуется высокой точности оцеинвапия, которая должка обеспечиваться в блоке 7 перед непосредственной передачей результатов вторичной обработки информации их потребителю. Блоки д и 4 вычисляют экстраполированные значения координат н размеры стробов на очередной обзор.
Если обнаружен маневр объекта (блок 5), то процедуры оценива и я параметров, экстраполяции координат и вычисления размероз строба должны быть скорректированы. В частности, дблжны быть пзмепепы гипотезы о законе движения объекта, а соответствеш.о и алгоритмы оценигапия и экстраполяции. Задача оптимизации обнаружения маневра может решаться с помощью рассмотренных статистических методов. Обычно под маневром пони мают возникновение изменения (скачка) скорости движения объекта. Этот скачок можно обнаружить с помощью алгоритма, вычисляющего оценку ускорения объекта и сравнивающего полученное значение с порогом, выбираемым по заданной вероятности ложного решения о наличии маневра. Прп непоступлении новой отметки проверяется критерий сброса траектории (блок б).
Простейший критерий сброса — й пропусков отметок подряд. При выборе значения й необходимо учитывать, что при увеличении й уменьшается вероятность вынесения неправильного решения о сбросе траектории с сопровождения, однако при этом возрастают число сопровождаемых ложных траекторий и их средняя длительность. Нетрудно видеть, что операции, выполняемые при сопровождении траекторий, в значительной мере аналогичны тем, которые должны выполняться и при обнаружении траектории Я 7.3). Однако в силу большего объема информации иа этапе сопровождения эти операции будут точнее, чем иа этапе обнаружения. 269 ч ')7(О, Г)=О,+О,(+О,(+ +О„( = ~О,(з. а=о (7.26) Коэффициенты Оо, Оь Оз, ...
полинома имеют смысл координаты, скорости изменения координаты, ускорения и т. д.; степень поли- нома т зависит от маневренности объекта. Вектор неизвестных параметров 8 траектории Я (8, г) подлежит оцениваиию по результатам наблюдения процесса у(() = =гт(8, 1)+й(1), где в качестве шума 5(г) выступают погрешности язмереиия координат объекта при первичной обработке. Решим задачу оценивания методом максимального правдоподобия, а затем методом наименьших квадратов. При использовании первого из этих методов необходимо знать распределение вероятностей ошибок $(1). Во многих случаях можно считать, что они распре. делены по гауссовскому закону с нулевым средним и корреляционной матрицей погрешностей измерений Ке=йКс,~~, й 1'= =1, ..., и. Диагональные члены Кы представляют собой дисперсии погрешностей измерений в моменты времени )ь а члены Кц(1Ф)) * Здесь и далее, говоря о модели траектории, будем подразумевать модель одной ее компоненты, описываюпгей изменение во времени какой-либо одной координаты объекта.
Методика опенивания параметров другив компонент траектории м(8, Г) аналогична излагаемой далее. 270 Фактически обнаружений и сопровождение траекторий могут быть проведены с помощью общего алгоритма одним вычислительным устройством. ВажнейшуЮ роль при вторичной обработке сигналов играет оценивание параметров траектории. Эта операция выполняется уже на этапе обнаружения, когда требуется определить параметры траектории (среднюю скорость и направление движения) по начальным данным.
На этапе сопровождения траектории оценнвание можно осуществить более точно. Результаты вторичной обработки передаются потребителю информации, например в виде сглаженных траекторий объектов, при этом в блоке 7 (рис. 7.7) желательно обеспечить максимальную точность оценивания параметров траекторий, для чего следует использовать оптимальные (или близкие к ним) алгоритмы.
Метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов. Для описания траекторий движения объектов будем использовать квазидетерминированнуго модель траектории * Я(8, г), представляющую собой детерминированную функцию гт' неизвестных и неслучайных параметров 8= (Оо, ..., О,) и времени й Функцию Я полагаем дифференцируемой по всем Ою А=О, ..., т.
В важном частном случае траектория К (8, 1) задается в виде полииома т-й степени: характеризуют попарную корреляцию погрешностей в моменты 6 и (3 При решении задачи оценнвания методом максимального правдоподобия необходимо вначале определить функцию правдоподобия (см. $4.!). Так как полагаем, что шум ~(!) гауссовский, функция правдоподобия для выборки у(6) — = уь - У(г~) — = У~ определяется п-мерной гауссовской плотностью вероятностей 7.(е)= (у,,..., у„!0)= и -а ) иы-'"1к ~~ р[ — Х ь; ь — во, ~д х 2 к (=1 х [ут — )т(0, (,)), (7.27) где ~!йо~!=!~Ко!! — '.
Оценка максимального правдоподобия =(ео,ь ..., 0„,) векторного параметра и находится путем максимизации функции правдоподобия Ь(В) или монотонной функции С(В). В данном случае удобно взять натуральный логарифм и !и 7. (О) = сопз1- — ~ йм [у~ — )т(0, !)) [Ут — Я(0, гз)). (7.28) Оценка и является решением системы уравнений максимального правдоподобия: — ы.(е)=о, й=о, [,..., д ь (7.29) Дифференцируя (28), находим — [п7.(0) = — ч; йгт[У,-Я(0, г,)) — )7(Е, (,.)+ д И д дзь з к; 1 дзь л д + — х; й,,[у,— я(0, (,)) — вЛо, г,).
Е, !=! определяющую оценку максимального правдоподобия Е„параметров траектории )с(в, !). 2?! Подставляя это выражение в (29) н учитывая, что матрица ~!й;;!! симметрическая, получаем систему уравнений Л д Им[У; — Я(0, (,)) — )с(0, (;)=О, й=О,..., т, (7.30) зе, Рассмотрим важный частный случай, когда погрешности измерения координат от обзора к обзору не коррелированы.
При этом корреляционная матрица К.. является диагональной: оз О...О О азз..О (7.31) О О ..а'„ где а-';(/=-1, ..., л) — дисперсия погрешностей измерений в момент времени гь т. е. в /-м обзоре. Элементы обратной матрицы йи= =1/ааь /=/ и л;;=О, /~/; в результате система уравнений (30) упрощается: й д ч',— (у,— Л(О, /,)) — В(О, /,)=О, й=о,..., о~ ' ' двз Если, кроме того, дисперсии погрешностей измерений одинаковы: о~=Ф, (=1,..., л, (7.33) — случай равноточных измерений, то нз (32) получаем л д ,д(у,— /7,О, /,)) — Я(О, /,)-О, й=о,..., (7.34) бал Найденные уравнения совпадают с системой уравнений, определяющих оценки параметров методом наименьших квадратов (МНК-оценки).
Действительно, согласно методу наименьших квадратов прп оценивании векторного параметра В=(Оо, ..., О,) функции /7(а, /) по результатам наблюдения уь ..., у ищется такая оценка в, для которой сумма квадратов отклонений наблюденных значений у; от /т(0, /;) минимальна: л чз ~!у; — Я (О, /;)Р = ш!п. ~=1 Если функция Й(а, /) дифференцируема по Ом ..., О„то указанная сумма минимальна при значениях Ом ..., О„являющихся решением системы уравнений (34).
В более общем случае МНК- оценки ищутся путем минимизации суммы квадратов взвешенных отклонений: 'Я И; (у, - /х (О, Ц7 = ш!п. г-~ Получаемые при этом оценки при выборе весовых коэффициентов по формуле В=1/оз; совпадают с оценками максимального правдоподобия, определяемыми системой уравнений (32). 272 (т — операция транспонирования). Умножив обе части этого матричного уравнения слева на матрицу (С'НС) ', обратную матрице С'НС, получаем его решение: О = (С' НС) С' Ну. (7.38) Найденная формула определяет МНК-оценки 0= (Оо, ..., 0,)' параметров полиномиальной траектории (при любом распределении случайных погрешностей измерений).
При гауссовском распределении оценка (38) является к тому же оценкой максимального правдоподобия: О=О . Как видим, оценка (38) находится путем линейного преобразования наблюдаемых величин у= (уь ..., у„)'. Покажем, что данная оценка является несмещенной. Для этого вычислим математические ожидания от обеих частей равенства (38). С учетом того, что матрицы С и Н детерминированные, имеем МО=(С'НС) ' С'НМу. Так как у =СО+й, (7.39) где компоненты вектора погрешностей измерений й имеют нулевые математические ожидания, то Му=С0. Поэтому МО=(С'НС) 'С'НСО=О, (7.40) что и требовалось показать. Точность оценнвания параметров траектории характеризуется корреляционной матрнцей случайного вектора 0 К; =М[(Π— МО)(Π— МО) [, которая в силу (40) есть корреляционная матрица погрешностей измерений К« =М[(Π— О)(Π— О)'[.
(7.41) Вектор погрешностей измерений (Π— О), как следует из (38) и (39), 0 — 0=Вй, где В =(С'НС) 'С'Н. (7.42) Поэтому согласно (41) К; = М [Вй(В Р') = М [В йй'В') = ВМ (йй') В' = ВК, В', где Кг — корреляционная матрица погрешностей измерений коор- 274 динат при первичной обработке (31).
Используя (42), а также то, что Ке=н ', находим к; =(с'нс)-'с'((с'нс)-' с'НГ= =(с'нс) ' с'н'с Кс'нс) )'= = (с' нс)-' (с' н с)'((с'нс)-')'. Так как матрица Н симметрическая, то матрица С'НС также симметрическая и поэтому получаем окончательно К; =(С'НС) '. (7.43) Формулы (38) и (43) позволяют вычислить оценки и точность оценивания параметров траекторий полиномиального вида (26). Аналогичные формулы справедливы и для других моделей траекторий Я(8, 7), представимых в виде линейной комбинации детерминированных функций '. ч Р(6, 7) = ~Е„р,(7). Подставляя в (26) вместо неизвестных параметров их оценки, т получаем оценку траектории Я(8, 7) = Д Оьуь, иначе говоря, сгла- е=о женную траекторию. Устройство оценивания параметров траек- (т йй Рас. 7.8. Структурнан схема дискретного сглаживающего фильтра Рис.
7чн Зависимость точности оценивании параметров линейной траектории от числа намерений г е л в а' е В качестве таковых используютси, в чаетпостн, ортогональные по тогональные полиномы Чебышева. 276 торин представляет собой линейный дискретный сглаживающий фильтр. Согласно (38) и О!= ~ЬОУ,, =О,..., у=! где (Ьн, Ьоь ..., Ь;и) — !-я строка матрицы (42) — импульсная ха- рактеристика дискретного сглаживающего фильтра (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
