Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Знак равенства в (8) будет в том вырожденном случае, когда шумы измерения для всех каналов системы тождественно одинаковы, а 1-й изме- ритель осу[цествляет оптимальную фильтрацию параметра 9». Модели наблюдений. Чтобы конкретизировать рассмотренные об[цие алгоритмы оптимального комплексирования измерителей, необходимо прежде всего определить модели выходных (илн входных) данных измерителей уп, ..., уи, информативных пара- метров 91», ..., Ои и погрешностей измерений, играющих роль слу- чайных помех.
Рассмотрим достаточно общее представление Ум = Ф» (9», т[»», 1) + ь»», 1 = 1,-., 1, (8.9) где»[»», $»» — помехи, искажающие информативный параметр Он. Функции Ф»(»=1, ..., 1), определяемые характером воздействия по- мехи»[»» на параметр О»» (которое может быть аддитивным и не- аддитивным), считаются известными. Аддитивная помеха $»» имеет статистические характеристики, вообще говоря, отличные от ха- рактеристик помехи»[»». Если помеха Пн аддитивна, то функции Ф» могут иметь, например, вид Ф,.
(9»ь Чы, 1) = з, (9», 1)+ цм, 1=1,-, 1, где з»(1=1, ..., 1) — детерминированные функции. В том частном случае, когда з»(Оо, 1) =9»ь »[»»=О, »'= 1, ..., 1, получаем наиболее простую модель У»»=9»»+$»», 1=1, ..., 1, которая часто использует- ся на практике. Представляет интерес и модель вида з (Оо 1)+В»ь1= 1,..., и», "=( (8.10) 9»+ $1», 1= т+ 1,-, 1 290 (з — детерминированная функция), также являющаяся частным случаем модели (9).
Представление (10) потребуется тогда, когда 6! — одномерный параметр, причем одна группа измерителей фильтрует сигнал з(8!, 1), а другая оценивает его параметр, В зависимости от типов измерителей (аналоговые, цифровые) их выходные данные поступают непрерывно или дискретно, принимают непрерывное или дискретное множество значений.
В связи с этим в качестве моделей информативных параметров и помех целесообразно использовать марковские случайные процессы, которые достаточно хорошо описывают широкий класс реальных процессов (позволяя, в частности, охватить указанные случаи) и, кроме того, удобны для математических исследований. При этом для получения оценок Й*!„определяющих синтез оптимальных комплексных фильтрационных, интерполяционных и экстраполяционных систем измерителей, можно воспользоваться методами теории оцеиивания марковских процессов 148, 531, элементы которой применительно к скалярному процессу были изложены в 8 4.3. Уравнения, определяющие синтез и анализ КФСИ. Рассмотрим случай, когда компоненты наблюдаемого процесса протекают непрерывно во времени и определяются формулой (9) при г= О.
При этом положим, что информативные параметры Оп, ..., Ои и помехи !1!с, ..., г!!! (последиие для упрощения записи обозначим !1!!в = О!+!,с, ю=1, ..., 1) образуют 21-мерный непрерывный марковский процесс (Ои, ..., О!и), 1= О, характеризуемый коэффициентами переноса а!(6, 1) и диффузии Ь!;(Ц Е), ю, 1=1, ..., 21; 6— 21-мерный вектор. Аддитивиые помехи З!! будем считать белыми гауссовскими, для которых ( (Л!о!!2) д (г), ! =!, йч !! и!+.= ~ , !э-'1. Достаточной статистикой в рассматриваемой задаче фильтрации является апостериорное распределение вероятностей фильтруемого процесса.
Используя 1531, найдем уравнение для апостериорной плотности вероятностей: Рс(6)=п!(О!!~- Оыс(у!!з - ~ у~~а) которое в симметризованной форме записи представим аналогично (4.109): р, (6) = (2 — У (р! (6))) р, (6), (8.12) где 2! з 2! з! М = — х~з ~— а, (6, 1)+ — ~з ~— Ь (6 ()+ , ! дВ! ' 2 ! ! ! двгдв! 291 (8.13) Воспользуемся одним из возможных метоло конкретизации уравнения (12) — методом гауссовского приближения, с озсно которому апостериорнав плотность вероятностей аппроксимируется многомерным гауссовским законом 1 гг р,уор=<а у оо кроко о( — — т, оооо,— со(о — о>), С, С=! (8.14) где 1й„о)= ~!К,м!!-'. Подставив (14) в (12), найдем уравнения многомерной нелинейной фильтрации в гауссовском приближении: с 2 гс дф жСС=ОСС+,", — (рло — Фло) ~ Кро — "' л=!Скол " " Р=1 ' дЕр ' гг адс, гг д, Кон = ьсс, + ~К.с,, ™ + ~ К„„— '+ л=1 " Ол л †! " аол 2 гс до Фас + д~л ~(рос Фод л~~~~ Касс Крм о=! СгСоо л, р=! Ел р а дФос дФос — — Кл)С Кни —— ,ги „,," ае„ю,' (8.15) (8.16) где а; =о (О, С)со,л, цс=ясгс,..., сп Ьсгс=бст(е С)(о= с' Ф с=Фа(сллс нос+о,с Е до Фос доФя (Ео, Ос+„С) де„ао, = авлде, В, ос+я — ььо, с 2 + х; — Ф,(ес, Е,+,, 1) ~у„— — Ф,(ес, В,+1,() с=! й(м С 2 оо оо М(рс(0))= ~~ — )' - ~ Ф; (вс,в!+с, Е) ~ ус!- 1=1 оС вЂ” оо о, йС 1 — — Ф, (Еы В,+ь 1)1 р, (0) (Е, ...
(Вьп 2 Оптимальные оценки с!*с!с информативных параметров Еп, с= =1, ..., 1, а также помех е,с, 1=1+1, ..., 21, при квадратичной функ ции потерь имеют вид с(ссс = )' Вс р, (Е) с(0, 1= 1 ..., 21. е Алгоритм формирования этих оценок дает структуру оптимальной КФС И. Аностерионые средние ты, получаемые из уравнений (15), (16), при выполнении условия большой апостериорной точности приближенно равны оптимальным оценкам (13) фильтруемых процессов: тссюсСнссс, с=!, ..., 2!. Уравнения (15), (16) определяют структуру нелинейной КФСИ, являющейся, вообще говоря, квазиоптимальной. В частном случае, когда функции Фс в (9) — линейные функции марковских гауссовских процессов Осс, с)ы, -1, ..., 1, уравнения (15), (16) дают точное решение задачи н описывают оптимальную КФСИ, строющуюся на основе многомерного линейного фильтра (фильтра Калмана).
Качество работы синтезированной комплексной системы измерителей характеризуется апостериорными дисперсиями Ксы, которые в гауссовском приближении определяются уравнениями (16), (15). При этом среднеквадратические ошибки фильтрации информативных параметров апс= Ргй((8сс-д,'.с(уос))зас )ссййКссс, с= 1,..., 1, (8. 17) В том случае, когда комплексная система строится на основе фильтра Калмана, апостериорные дисперсии К„с являются неслучайными, при этом оссс=)сКссс, ! = 1,, !. (8.18) (8.20)с дз д где ас =- а (О, Ще, ', Ьс — — Ь (О, Щ е=, ', дзп дзс(О, С)! дас да(8, С) дО дО !Е=мс дО д8 ! е~мс Примеры. Рассмотрим два простых примера применительно к случаю (!9).
!. Положим зс(Ос, 1) =Оь с=1, ..., 1, т. е. рассмотрим модель Ус!=Ос+асс, 1=1, ..., 1. Предположим, что параметр Вс описывается уравнением (4.122), т. е. коэффициенты переноса и диффузии оп- 293 Комплексная система измерителей существенно упрощается, если не учитывать помеховые составляющие т!ы, 1=1, ..., 1, а информативный параметр Ос считать скалярным, положив в (9) Фс (Осс, т)сс, () = зс (Ос, !), с = 1, (8.19) В этом частном случае из (!5), (16) следует 2 дзы псс= аз+К! ~ (уы — вы) с=с с1сес д8 К,=ьс+2Кс — + дас д8 Рис.
8.2. Структурные схемы оптимальной (а) и квавиопти- мальной (б) комплексных систем ивмерителей (8.21) К-2%[.... р 1.~. '" (8.23) ределяются (4.124). Конкретизируя уравнения (20) для рассматриваемого случая, получаем т, = — у -1- 2 К, ~ — ~ т, -1- 2 К »»»не» ~ »=» л'е» » К,= — — 22К,— 2К ~ — '. 2 (8.22 ;=»»уо» В соответствии с (21) на рис. 8.2,а представлена структурная схема оптимальной КФСИ, где И», ..., И» — комплексируемые изме» рители; К»=2/Фо», с»= — у+2К, ~~" — 1 — коэффициенты »-» усиления усилителей. Как видим, выходные сигналы измерителей У»» суммируются с весами 2/)теь после чего пропускаются через одномерный нестационарный фильтр Калмана.
На выходе фильтра имеем оптимальную фильтрационную оценку т»=»("»» параметра 8». н стационарном режиме апостериорная дисперсия Кь описываемая уравнением (22), обращается в постоянную где оз,=м/4у — дисперсия параметра Вь При этом коэффициенты усиления усилителей в фильтре Калмана (см. рнс. 8.2,а) также будут постоянными и его техническая реализация существенно упрогцается. Точность оценивания параметра Вг оптимальной комплексной фильтрационной системой определяется среднеквадратнческой ошибкой: оз= ")г/(ь В стационарном режиме она равна постоянному значению а= ')/ /(, где К находится по формуле (23).
Если шумы (ошибки) комплексируемых измерителей имеют одинаковые спектральные плотности А/ее=Ма, (=~1, ..., 1, то 4 от .,/~Г Сравнивая этот результат со среднеквадратической ошибкой фильтрации параметра Вг без учета комплексирования (см. (4.131)), видим, что полезный эффект комплексирования 1 измерителей в рассматриваемом случае сводится к уменьшению спектральной плотности результирующего шума комплексной системы в 1 раз по сравнению со спектральной плотностью Мс/2 шума одного измерителя.
Это приводит к соответствующему уменьшению среднеквадратической ошибки фильтрации искомого параметра (24). 2. Рассмотрим задачу комплексирования двух измерителей, предполагая, что один из них выделяет фазомодулированный сигнал А з)п(ы/+0~), а другой — процесс, пропорциональный фазе О, этого сигнала: зз(Ог, /)=Аз)п(ю/+От), зз(Ою 1)=ВОг. Предположим такжц что параметры А, ю и В известны, а параметр 0~ является гауссовским процессом с независимыми приращениями, т.
е. выполняютсн соотношения (4.139). Кониретизируя уравнения (20) и пренебрегая колебательными членами с частотой 2в, получаем (8.24) (8.27л 295 тг = (2Кг/А/зх) уы А сов (ю г + ин) + (2Кг В/й/аз) (ум — Вез) (8.25) Кг = (2~Ф~/ог) ум А з)п (ы /+ М (2 Кг В~/А/оз) + (н/2) ° (8.26д Уравнения (25), (26) описывают КФСИ, включающую в себя следящее устройство типа ФАПЧ с переменным коэффициентом усиления 2Кг/Ую~ в цепи обратной связи. Согласно (25) в кольцо слежения вводится выходной сигнал второго измерителя уз„скомпенсированиый величиной Вть где т, — оценка фазы 8ь Для упрощения системы в стационарном режиме целесообразно пренеб.
речь флуктуациями коэффициента усиления 2К~/)уеь заменив процесс К, его средним значением, определяемым из (26): й)Кз ю ) /и/2 1(Аз/А/ах) + (2Вз//Уы)1. В результате получаем квазиоитимальиую КФСИ (рис. 8.2,б, где Пà — перестраиваемый генератор; РЭ вЂ” реактивный элемент; К1=2МК~/Атзп Кз=2ВМК~/ /тат), содержашую, в частности, типовую схему ФАПЧ. Качество работы комплексной системы определяется значением среднеквадратической ошибки оценииания фазы, которая, как следует иэ (!7) и (27), в стационарном режиме о ж у к/2((лз//Уо~)+(2Вз/Коз)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
