Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 54
Текст из файла (страница 54)
7.8), формирующего оценку !-го параметра траектории. При реализа- ции фильтра на ЭВМ значения весовых козффициентов ЬО, а так- же наблюдаемые величины уь ум ... хранятся в запоминающем устройстве, операции умножения н суммирования производит арифметико-логическое устройство ЭВМ. Рассмотрим частный случай, когда траектория описывается полиномом 1-й степени (т=1), т. е.
является линейной. Этот слу- чай важен для практики, так как почти любая траектория на ограниченном участке может быть аппроксимирована прямой ли- нией. Положим Я (О, 1) = )7„+ )г„(1 — 1„), (7.44) где вектор оцениваемых параметров Е(я„, д'„) состоит из координаты дальности )г„в момент времени 1„последнего измерения и скорости изменения дальности ц„. В рассматриваемом случае вектор оценок О= (7.45) ца С (см. (37)) а магри ~! (в 1 (7.46) 1 ~~ — ! (в 1 О Предположим, что измерения дальности равноточны (т.
е. выполняется условие (33); тогда Н = (1/оз) 1, (7.47) где 1 — единичная матрица размером (пХл). Находим 1 1,-1„ ~ (1; — 1„) 1=! ;", (1~ — (л)' (7.48) ~~~ ~(~! (л) 1=1 Обращая эту матрицу, можно определить точность оценнвания (43) н сами оценки (38). Для упрощения дальнейших выкладок предположим, что измерения производятся через одинаковые промежутки времени: 1!+! — 1! = 7'О, (7.49) что соответствует случаю, когда параметры траектории оцениваются по данным РЛС с равномерным периодическим обзором пространства. При этом Л л — ! ;«;(1! — (л) = — То ',«"„1= — То" 2 в(л — 1) (2л — 1) о 1=! 1=1 6 Подставляя эти выражения в матрицу (48) и обращая ее, находим корреляционную матрицу ошибок: 2(2л — 1) 6 л(В+ 1) Тол (и+ 1) 6 12 К- =(С'НС) '=по 6 (7.50) ТО л(п+ 1) Тв л(ло Н Далее, подставляя матрицы (45), (47) и (50) в формулу (38) и учитывая (49), определяем вектор оценок (45): 2(2 в — 1) 6 1 1 п(п+ 1) Т, л(в+ 1) 6 12 (Π— 1 -.
1,-! — 1 0 Тол(п+ 1) Топ(ло 1) УЛ 2 л ~ (31-в-1) у, в(п+ 1),, 6 Л 'Я (21 — и — 1) у! Т, в(л' — 1) Таким образом, оценки дальности Я„и скорости Ф„в случае линейной траектории при и равноднскретных и равноточных иа° яереииях 277 л л )~„= ~;, бш у„)~„=;~~ бй,у,, ! ! ! ! где весовые коэффициенты 2(3! — л — 1) 6(2! — и — 1) .52) эя! = бй! = (7. п(л+1) Тлл(л! — 1) Эти коэффициенты представляют собой импульсные характеристи- ки дискретных сглаживающих фильтров, на выходах которых пос- ле и-го обзора имеем оценку дальности и скорости. Структурные схемы фильтров строятся по типу схемы на рис.
7.8. В частности, при двух измерениях (и=2) )!э=уз, !ха= (уг — у!)/Тз, а прн п=З Рз = (5 уз+ 2 уз у!)Ю )7з = (уз у!)!2 То Среднеквадратические ошибки оценивания дальности о- и я„ скорости о. при п измерениях, как следует из (50) йл и. =о. /2(2л — !) Д, . 7 12 (7.53) ° $' ( + Ц ' я„Т. У .(" — В ' (7.51) где и- =о — среднеквадратическая ошибка оценивання дальнося~ ти при одном измерении.
Из графиков на рис. 7.9, построенных по формулам (53), следует, что для получения приемлемой точности оценивания параметров линейной траектории необходимо обработать не менее пяти — шести измерений дальности. Рекуррентное оценивание.
Линейные алгоритмы оценивания параметров траекторий сравнительно просты и широко распространены на практике. Однако рассмотренные алгоритмы оценивания имеют недостатки, связанные с тем, что обработка поступающих отметок осуществляется после проведения всех п измерений (обработка по полной выборке). При больших п требуется соответственно большая емкость памяти устройства обработки и, кроме того, имеется задержка выдачи оценок параметров траектории, которая не всегда допустима.
От этих недостатков свободны рекуррентные алгоритмы оценивания, при которых вновь поступающая отметка сразу используется для уточнения ранее полученных оценок. Рекуррентный алгоритм определяет оценки вл+! параметров траектории на (1+1)-м шаге (т. е. в момент (а+!) через оценки на й-м шаге и очередное наблюдение ух+!. В~+!=~(У„„Вх), й=1,2, .... Согласно такому алгоритму обработка наблюдений происходит последовательно в реальном масштабе времени. По сравне2Т8 нню с нерекуррентной обработкой емкость памяти существенно сокращается, так как необходимость в запоминании предыдущих отсчетов уь ..., Уь отпадает. Известен ряд способов синтеза рекуррентных алгоритмов оценивания параметров. Некоторые нз таких алгоритмов получаются соответствующей модификацией нерекуррентных алгоритмов. Рассмотрим это на простом примере.
Положим ч=0 (полипом нулевой степени), тогда согласно (36) и (37) Оа т. е. наблюдаемые величины (39) имеют вид уа=Оа+$ь 1=1, ..., и. В качестве матрицы весовых коэффициентов Н возьмем еднннч- ную матрицу !. В соответствии с (38) МНК-оценка Оа„парамет- Ра Оа Уа Уа л = — ~ Уо л а 1111 ...
!й 1 Ул т. е. совпадает с выборочным средним. Эту же оценку, как нетруд но убедиться, можно представить в рекуррентной форме: Оа,ьа = 8аь+(1/(й+1))(у~» — О,„), й=1,2,..., и — 1 (7.54) с начальным условием Ом=уь Согласно алгоритму (54) оценка параметра формируется последовательно путем добавления корректирующей поправки (уьм — Оаь) к предыдущей оценке. Вес этой поправки 1/(й+1) с увеличением й уменьшается. Рекуррентный алгоритм (54) реализуется дискретным следящим фильтром с переменной полосой пропускания, стремяшейся к нулю при А-а-оо.
Общий метод синтеза рекуррентных алгоритмов оценивания, которые могут быть как линейными, так и нелинейными, основывается на теории нелинейной фильтрации стохастических сигналов ,!48, 531, элементы которой рассмотрены в $4.3. На практике широко распространены линейные рекуррентные алгоритмы, определяющие дискретные фильтры Калмана. Одномерный дискретный фильтр Калмана синтезирован ранее (см. (4.117) — (4.119)). Перепишем алгоритм (4.117) в виде Оь+1-Оь+сьь!уь+д — с1ьв (1-саь) Оь), Й=1,2, -, (7.55) йе где коэффициенты с1ь и сзь вычисляются по формулам (4.119) (с учетом замены индекса 1 на й).
В частном случае, когда оцениваемый случайный процесс является полностью коррелированным„ т. е. когда р=1, из этих формул следует с1ь = 1/(1+ Ьь оо), с,„= Ьь о',1(1+ Ь„о~) Ь,+, = ль+ 1/ою * 8=1,2,.-. Если в начальном условии и, (см. (4.120)) положить оз~=оо, то л,=1/озз и, следовательно, Ьь=й/а~в а с1ь — — 1/(1+1), сзз= =А/(1+я); в результате алгоритм (55) совпадает с (54). Таким образом, алгоритм Калмана (55), оптимизированный для решения байесовской задачи оцеиивания марковской гауссовской последовательности (О„(=1, 2, ...) в гауссовском шуме с независимыми значениями (см. $ 4.3), в рассмотренном частном случае совпадает с рекуррентным алгоритмом метода наименьших квадратов в небайесовской задаче (т.
е. когда оцениваемый параметр О,=вз — неслучайная неизвестная величина). На практике приходится оценивать одновременно несколько параметров траектории, для чего требуется многомерный дискретный фильтр Калмана. Этот фильтр, как и одномерный, синтезируется методом, изложенным в О 4.3, путем конкретизации рекуррентного соотношения оптимальной фильтрации, а также рядом других методов в рамках линейного оценивания (49). Не приводя выкладок, остановимся только на моделях наблюдаемого и оцениваемого процессов и конечном результате — многомерном дискретном фильтре Калмана. Оцениваемые параметры Он~.1=(Осью, ..., О,яы)' — ч-мерный вектор состояния — задаются линейным векторным разностным уравнением В„+, = Г„+ыя В„+ О„~„, й =О, 1, ..., (7.56) где Гь+ьл — переходная матрица состояния размером (чХч); бь— матрица размером (чХр); Ьь — р-мерный вектор гауссовских величин, для которого М~ь=О, М (ьДь') =(1ьб,», Яз — матрица размером (рХр); б,ь — символ Кронекера.
Начальное состояние вз— случайный вектор с известным средним значением н корреляционной матрицей: мв,= в„м 1(в,— в,) (е,— е,)'1 =кв,. (7.57) Уравнение (56) определяет характер движения объекта, причем матрица Гь+ьь задает динамику движения, а матрица бд— преобразовайие случайных возмущений, действующих на объект. В том частном случае, когда бь=в, Ф=О, 1, ..., движение будет определяться переходной матрицей Гь+ьь и начальным состоянием 288 Ез, и если последнее заранее известно, то траектория движения— детерминированная функция времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
