Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Если же Вз — случайный вектор или же вектор неизвестных неслучайных параметров, то траектория является квазидетерминированной. Наблюдаемый и-мерный векторный процесс имеет вид у„+,=С„+, Е„+,+й„+,, й=0,1,..., (7.58) где Сь+, — матрица размером (тХт); фь+, — случайный ш-мерный вектор погрешностей измерения (шум), для которого Мйь+1= =О, МФ,+Д'ь+1=ктьнбзы 1, А=О, 1, ..., Кть+1, — матрица размером (лтХт).
Предполагается, что случайные последовательности и вь не коррелированы: МкД'д=о для всех 1, л. Для рассмотренной постановки задачи фильтр Калмана (рис. 7.10), последовательно формирующий оценку вектора состояния Ею описывается рекуррентным соотношением Е„+,=Г,+,,Е„+В„+,(у,+,— С„+,Г„+,.,Е„), й=0,1,..., (7.59) где Вь+, — матрица коэффициентов усиления фильтра размером (тХт), определяемая соотношениями Вь+1 = Кь+1.ь С~~+1 (Сь+т Кз+~ д С~~+1+ Кр+1 ) (7.60) К+па =Г+кьК,,Г;,, +а,а,а;, (7.61) Кь+1,а+1 = (! — Вд+т Са+~) Кь+1.ь (7.62) ! — единичная матрица размером (тХт).
Начальные условия задаются в соответствии с (57): е,- е„К„=К, (7.63) В частном случае, когда оцениваемый параметр — скалярный марковский гауссовский процесс, описываемый уравнением Е„+,=рЕ„+ У~ — р ~„+,, й=о,1,..., где р = ехр ( — у ) М ! ), (ьх ы) — последовательность независимых гауссовских величин с нулевыми средними и дисперсиями озь имеем Гь+ьь=р, бь= ')Г 1 — р', ах=а'ь и если, кроме того, Сь=1, Кть=п'з для всех й, то из формул (59) — (62) вытекают соотношения (4.! 17) — (4.119) и, следовательно, (55), а при дополнительном условии (р=1, о',=со) — алгоритм (54). Как видим, структура фильтра Калмана (59) является обобщением структуры простейшего рекуррентного алгоритма (54), для которого матрицы Гь+1 м Сь+ь Вхм вырождены в скаляры, причем Гь+ьь=сь+~=1, а коэффициент усиления Вз м — — 1/(1+А). В общем случае матрица коэффициентов усиления Вь+1 определяется формулами (60) — (62), причем вычисления происходят 281 следующим образом. По заданным матрицам Га+ьы бы 0а и вычисленной матрице Кк и находится с помощью соотношения (61) матрица Ка+ьа.
Эта матрица, а также известные матрицы Се+в и Каа+в подставляются в (60) для получения матрицы Ва+,. Затем матрицы Ва+ь Савч и Ка+ьа подставляются в формулу (62) и определяется матрица Ка+ь а+в После этого вычислительный цикл повторяется. В начале вычислений (1=0) используется условие Квв= Кв, (см. (63)). Описанная вычислительная процедура вместе с матрицей коэффициентов усиления фильтра определяет точность фильтрации, так как матрица Кма представляет собой корреляционную матрицу ошибок: Ка,а=йй[(вд — Оа) (ва — вд)'1.
Диагональные элементы этой матрицы дают среднеквадратические ошибки оценивания параметров на й-м шаге: и;„= 1' М(0,„— Ога)а, 1=1,..., чв. Данные ошибки принимают минимальные значения, поскольку фильтр Калмана является оптимальным. По поводу оптимальности рассматриваемого фильтра отметим следующее. Независимо от вида распределений случайных векторных последовательностей ~д и йа, входящих в (56) и (58), фильтр Калмана является оптимальным (в смысле минимума среднеквадратнческих ошибок оценивании) в классе линейных фильтров.
Если же потребовать, чтобы случайные последовательности Ьд и йа были гауссовскими, то фильтр Калмана станет «абсолютно» оптимальным, т. е. оптимальным в любом классе фильтров (линейных и нелинейных). Именно с таких позиций и рассматривался в $4.3 фильтр Калмана как оптимальный фильтр марковского гауссовского процесса в аддитивном гауссовском шуме с независимыми значениями.
Многомерный дискретный фильтр (59) — (62) является достаточно общим. Задавая конкретный вид матриц Г, б, Я, С, Ка, можно непосредственно получать решения различных задач линейного оценивания параметров траекторий. Рассмотрим пример, когда необходимо оценить параметры линейной траектории (44) при равноточных и равнодискретных измерениях' с периодом Те. В этом простом случае вектор состояния является двумерным: * Аналогичный пример рассмотрен ранее н рамках нерекуррентного оиениааиин. 282 Рнс. 7.11.
Структурная схема фильтра Калмана (случай линейной траектория) Рнс. 7.!О. Структурная схема многомерного дискретного фильтра Калмана траектория неслучаинои, а матрицы й)т,й О =0, Р»+», = й 'й, С„+ =1~10!1, К1»+ 110 (7.64) для всех Ь. Конкретизируя с помощью этих соотношений алгоритм (59), получаем Й»+Та Й, )г» )т»+ %~+1 + В,+, (р„+,— ߄— Т,В„). (7.65) Матрица коэффициентов усиления В»е» определяется формулами (60) — (62) после подстановки в них (64). В рассматриваемом случае эту матрицу удается выразить в явном виде. Используя в качестве начального условия Кп корреляционную матрицу ошибок (50) при п=1 " -"~~'..
'-"'Г в результате вычислений находим ~~ 2(24+1)1(й+1) (Ь+2) ~~ 6!(й+1) (й+2) Те Таким образом, оценки дальности Я» и скорости 11», как следует из (65) и (66), определяются последовательно для Ь=1, 2, ... с помощью рекуррентных соотношений ггг,+ =гт +Т, ~„+Ь, +,(й»+,— гг — Т,~„~, К,+,=В,+Ь,,,+, (р,+„— Є— Т,В„), (7.67) где Ьц»+! 2 (2 й+ 1)/(й+ 1)(й+ 2), Ьт,»+! = 61(А+ 1) (й+ 2) Те. (7.68) 283 На рис. 7.11 показана схема фильтра, реализующего алгоритм (67). Коэффициенты усиления йьь+~ и Ь,, ь+ь как следует из (68), с увеличением й уменьшаются и при й-+-оо асимптотически стремятся к нулю.
Иначе говоря, с ростом времени наблюдения полоса пропускания фильтра сужается, и он все меньше реагирует на изменение входных данных. Нетрудно убедиться, что алгоритм (67) приводит на и-м шаге к тем же оценкам Я„и й„, что и алгоритмы (51). Однако в отличие от них алгоритм (67) является рекуррентным и при реализации требуемых меньших вычислительных затрат, а также не дает задержки в выдаче данных. Итак, общий фильтр Калмана (59) и вытекающие из него частные рекуррентные фильтры являются оптимальными линейными, позволяющими осуществлять последовательное сглаживание параметров траекторий и обладающими существенным преимуществом по сравнению с нерекуррентными фильтрами.
Вместе с тем необходимо иметь в виду, что при практической реализации фильтров Калмана возникают «свои» трудности. Эти трудности связаны с довольно быстрым уменьшением элементов матрицы коэффициентов усиления Вь+о стремящихся в пределе (при й-+-оо) к нулю, в результате оценки параметров практически перестают зависеть от наблюдаемых данных.
Следствием этого является то, что возможные маневры объекта, даже небольшой интенсивности, никак не будут учтены. Кроме того, при некотором й элементы матрицы Вь+~ становятся соизмеримыми с ошибками счета, неизбежно возникающими при реализации фильтра на ЭВМ. На рост этих ошибок существенно влияет необходимость многократного обращения матриц в фильтре Калмана. В результате машинное решение может сильно отличаться от математического, элементы корреляционной матрицы ошибок вместо уменьшения возрастают — фильтр расходится, становится неустойчивым, Эта трудность преодолевается рядом способов. Один нз ннх заключается в ограничении снизу элементов матрицы Вьы заданными постоянными значениями.
Можно, в частности, задать некоторый шаг й, после которого указанные элементы фиксируются на постоянном уровне, вследствие чего поступающие результаты измерений учитываются с постоянным (ненулевым) весом. В крайнем случае, когда А=О, коэффициенты усиления фильтра вообще не зависит от времени. Другой способ заключается в искусственном введении в исходную модель траектории дополнительных шумов.
Это приводит к более медленному уменьшению элементов матрицы Вь+ь Соответствующим выбором интенсивностей вводимых шумов можно устранить расходимость рекуррентного фильтра. 284 Гл а в а 8. КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ 8.1. ПРИНЦИПЫ КОМПЛЕКСИРОВАНИЯ В РНС и РЛС могут входить несколько устройств обработки информации, решающих одну и ту же задачу. При этом возникает проблема их наилучшего объединения в единый комплекс— комплексную систему обработки информации (КСОИ).
Более того, РНС, включающая в себя радиотехнические измерители — радиовысотомер, измерители разности дальностей, ДИСС н др., обычно объединяется с нерадиотехническими системами, в которые входят гироскопические измерители, акселерометры, измерители воздушной скорости и др. В результате такого объединения образуется комплексная навигационная система (КНС), или навигационный комплекс. Ранее было выяснено, что местоопределение на плоскости, например разностно-дальномерным методом, можно осуществить с помощью двух однотипных измерителей разностей расстояний, определяющих две пересекающиеся линии положения (гиперболы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
