Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 159
Текст из файла (страница 159)
-! Корреляционная матрица ошибок С, определяющая в (22.31) коэффициент фильтрации С !Н Св, может формироваться отдельной следящей системой согласно (22.33) в зависимости от матрицы Св. Как и матрицы А, Н, !4, она в общем случае изменяется за время наблюдения. Следящую систему (рис. 22.5) относят поэтому к системам с переменными параметрами. При неизменных же матрицах Св, А, Н, Я возможен переход к системам с постоянными параметраии С =сопя!, -! дС '/х//= О (см. также разд.
22.5). При а(а, /) = А(г) а(/), Ь(а, /) = Н(г) а(/) квазилинейная фильтрация переходит в линейную. Уравнения (22.3!)-(22.33) для этого случая называют уравненшиш Каттани — Бьюси. Пояснение вывода уравнения (22.32). Подставив в (22.18) Сы! = Сл + (х/С/х//)т, а также (22.26), (22.29), (22.30) и опустив индексы, получим )-! С+ — т= ~1+Ах)С !(1+Ат) +Ят~ +Н СатН. !/г (22.34) Прямая матрица в квадратных скобках с точностью г -! до членов порядка т приводится к виду С (1+ Р т), где Р=САС +А «-Я. Обратная ей матрица с той же точностью примет вид (1+ Рт) С = (1 — Рт)С = С вЂ” (СА+ А С+ СЯС)т.
Подставляя полученное выражение в (22.34), вычитая С из обеих частей равенства и поделив полученное равенство на т, найдем (22.32). Пояснение вывода уравнения (22.33). Дифференцируя уравнение связи матриц точности и ошибок СС =1, связываем производные этих матриц х/С /х//=-С (!/С/х//) С . (22.35) Подставив (22.32) в (22.35), придем к (22.33). 22.б. Примеры марковских моделей изменения параметров и кназилинейной фильтрации оценок 22.6.1. Ыодели дискретных скалярных параметров с первыми и вторыми независимыми стационарными приращениями Параметр с первыми независимымн стационарнымн приращениями.
Параметр ак следует закону: где р/х — независимые величины с постоянной дисперси- ей. Возможные реализации последовательностей ал и рл (л =1,2,...) показаны на рис. 22.6,а,б. Штриховой линией (рис. 22.б,а) отмечены границы области, охватывающей а» при заданном значении ао с вероятностью 0,8. Увеличение разброса а» вокруг ао и постоянство разброса )»» вокруг нулевого значения с ростом /» характеризуют нестационарность процесса а» при стационарности процесса р».
переменные, переходящими в постоянные по мере установления дисперсии 0»»1. Дисперсия 0»»1 уменьшается согласно (22.40) при накоплении результатов измерений. Для Р,» = Рл Р)!» = 0»/б, 1/Рс -+ 0 данные рас- в) а) Рис. 22.6 Параметр со вторымн независимыми стационар- нымн приращениями.
Параметр а» следует закону а, = а» + а», а, = а» + )1» (22. 3 7) (1) (1) (1) Процесс изменения а» показан на рис. 22.б,в. Первое его приращение а» нестационарно, не является неза(и висимым и соответствует процессу с первым стационарным приращением. Стационарны и независимы только вторые приращения р» Вводя вектор а»»1 с составляющими ая, и а» 1, (1) скалярные соотношения заменяют векторным ая а() /! /с+1 (1) !с+1 (22.38) аьм = эти выражения представляются в виде: а»,)=а»+ (а,(»»1) -а»), (22.39) 0»»1 !3 х(/с+1) 1 1 1 Р»и 0» -Рл» 0,,(»»1) ' (22.40) Произвольному значению коэффициента фильтрации (усиления) Р»+1/Р)(»-»Ч соответствует определяемая (22.39) дискретная следящая система рис. 22.7 , 'а(»,1) с переменными парамет- В х рами. Накапливающим а» ее элементом служит выделенный штриховой ы ! ! линией рециркулятор. В переходных режимах па- лятор ! раметры рассматриваемой системы являются Рис.
22.7 22.6.2. Фильтрация оценок дискретного скалярного параметра с независимыми стационарными первыми приращениями Устройство фильтрации (следящий измеритель) синтезируется согласно выражений (22.12), (22.13). Заменяя векторно-матричные величины скалярными а-+а, С -+Р., Я-+Рю (Р„,Є— дисперсии), В-+ 1, Установившееся значение Р»+1 находится из квадратного уравнения, определяемого (22.40) в предположении Рм) = 0» = О. Для принятых при построении таблицы предположений значение Р = 0,330.. Чем меньше Рю тем меньше Р, но длительнее установление. 22.5.3. Винеровскея модель и фильтрация оценок Вннеровская модель случайного изменения непрерывного параметра.
Так называют модель, удовлетворяющую дифференциальному уравнению »/а/»// = )»(/). Модель является результатом предельного перехода г»+1 — /» -+ 0 от дискретной модели с независимыми стационарными приращениями (22.36). Параметр задается как интеграл от белого шума а = ) )»(/) !// . Фильтрация в нестационарном режиме (общий случай для выбранной модели). Синтезируется согласно уравнениям (22.3 1), (22.33), полагая а -+ а, С -+ Р, Н -+ 1, А -+ О, (4 -+ Д, Ся -+ 1/Рх . Здесь Р— дисперсия ошибки на выходе устройства обработки; Р, — дисперсия входной ошибки для единичного времени (за! с).
Уравнения оцениваиия принимают вид: »/а / !// = (Р / Р „) (а „- а ), (22.41) »/Р/»// = Д вЂ” Р /О,. (22.42) Особенности установлении режима фильтрации. При Д = сопя( и Рг = сопя! дисперсия Р устанавливается. Из условия»/Р/»// =0 находится установившееся значение Втст = .фР . Процесс установления определяется путем интегрирования дифференциального уравнение (22.42) по методу разделения переменных !/(Р/Р „) //') — т= /Р„/Д.
)2 ~ / )' х Отсутствию априорных данных Р(1)~ — »»о соот- ветствует решение 0 = 0) с(Ь (//т), поясняемое сплошной линией рис. 22.8,а. Синтезированная следящая система (рис. 22.8,6)— это система с интегратором, заменяющим рециркулятор схемы рис. 22.7, причем с переменными параметрами. !/((Г! 0,107 ! ! ! О)зп а) 0 2 Г:Г в) б) Рис. 22.8 35! а(а, /) = А а(!), (22.43) в 1 ,'а(!) 1 1 $ 1 б(1) б) Рис. 22.9 362 Особенности оптимального переходного процесса в начале и в конце установления. Согласно (22.41)- (22.42) в начале переходного процесса оценки а .
ус- редняются равновесно а(!)= — )а (в)4/в (/«т), Т !-г что повышает быстродействие. Конец переходного процесса отличается экспоненциольныт сглаживаниви а(!) = — )ау(в)е (' ') 'с/в, (22.44) !-Т обеспечивающим забывание устаревшей информации. Фактическое время усреднения определяется Т « т в первом и т « Т во втором случае, где т = ГР /Д определяется параметрами модели. Комплексная частотная характеристика оптимальной следящей системы в установившемся режиме. Описывается выражением К(Р) = а/ау при ау = ау(г") = е/ Подставляя а =К(Е)ау н а, = а„(Е'), для системы (22.41) можно получить 22 Р К(Р) = (Р/Ру)(1- К(Р)) Комплексная частотная и амплитудно-частотная (рис.
22.8,в) характеристики этой системы принимают вид: К( ~ =(1.7 /Ро) ', !К(Р)! = [1 4 (Р/Ро)') '" Здесь го = Р/2хРУ вЂ” полоса частот на уровне 1/э/2 . Для установившегося режима Р = Руст = /ДР значение Рс = ЯРУ /2яР „= 1/2кт. Сопоставление параметров переходного процесса н установившегося режима рассматриваемой следящей системы. Пример данного раздела, так же, как и последующие примеры, подтверждают общее положение о том, что расширение полосы частот в установившемся режиме повышает быстродействие системы. Полученный результат для гв согласуется с целесообразностью расширения полосы при маневре цели (здесь увеличение Д) и сужения ее при возрастании помехи (увеличение Р ). Вместо систем с плавно изменяющимися параметрами используются системы с дискретно изменяющимися параметрами (сменными полосами частот).
Об этом и о других методах учета интенсивного маневра целей см. в разд. 22.7, 22.8. 22.5.4. Фильтрация оценок скалярного параметра п его производной, описываемой аинероеской моделью Пусть оцениваются координата а (дальность) и ее производная йз/й = а (радиальная скорость), образующие (1) (1) т вектор состояния а = !! а а !! на основе вырожденного в скаляр вектора наблюдаемых параметров О = О = а. Изме- пение производной а (радиального ускорения) соответ- (1) (1) ствует здесь винеровской модели !/а /й = р(/). В данном случае где матрица А учитывает детерминированную связь (1) между составляющими а, а Случайные возмущения получает только состав- (1) т лающая а, поэтому вектор р(/)= !! О )1(!) (! .
Матрицы А, О, Н, Св приобретают вид О1 О О !1!' А= 0= , Н=)О~, Св=)/Ру. О О О Д Коэффициент фильтрации текущих оценок (22.31) выражается через результирующую матрицу ошибок С размера 2н2. Обозначая Р(, Р2 диагональные и Ргз недиагональные элементы этой матрицы, его выражение представим в виде Р! Р!2 1 1 1 У С Н'С,= У Риз Р2 О! Р Р)2 / Рэ Матричное уравнение фильтрации (22.31) разбивается на два скалярных: да(1) /й = а2 4(Р) /Ру)(а() -а(1)), Иа(~) /й = (Р!2 /Р„)(а(!) -а(1) ). Соответствующая следящая система (рис.
22.9,а) имеет два интегратора. Сглаживая поступающие оценки и их производные, она отслеживает и дальность, и скорость. Пояснена возможность замены выделенной штриховой линией ее часть дискриминатором первого рода с цепью выработки опорного напряжения (рис. 22.9,б). Установившийся режим сопровождения. Соответ— ! ствует нулевому значению матрицы иС /Ы!.
Подставляя в (22.33) значения матриц А, О, Н, Св получим матричное уравнение !/С О О! Рш Р2 Рш О( й Оа~'О О'Р, а~ У =О, Р2/Р Р1Р12 /Ру 1-)12 /Ру которое сводится к системе из трех скалярных: Р) /Рт =2Р(2, Р)Ргз/РУ=Р2, Р)2/РУ =Д. 2 Решая систему, находим Р! )44Р~Д Р2 =4/4Р Д Р)2 =)4/Р Д ал = ()а~~) а( )!), причем в= (, в'-( 1 — 1 В 0 1 (22.45) (22.46) /!/и-! = йе+Рь Я,л = (т — 1) т(2т — !) / 6«, 2 АР/с// = 0 - (АР) /Ре, 2 363 12 — 4251 Особенностью следящей системы (рис.
22.9) с двумя интеграторами является сохранение данных о скорости (2) цели а . Поэтому такие следящие системы лучше, чем следящие системы с одним интегратором, прогнозируют (1) координату а при прекращении поступления данных (Ру -+ е). Они в этом смысле более помехоустойчивы. 22.б.б. Фильтрация оценок дискретного параметра, изменяющегося с постоянным, но неизвестным приращением 6) Пусть координата а (дальность, угол) изменяется в течение времени наблюдения с постоянным, но неазвестныт прираше- о(' а' нием а (рис.
22.10, (2) 22.11). (1) Скаляры а и (2) а составляют век- 0 2 4 /, 0 2 4 тор состояния а. Вектор наблю Рис. 22.10 Рис. 22.! 1 (1) даемых параметров выродился в скаляр 8 = Ь(а) = а 2 измеряемый с дисперсией ошибок а . Априорные данные отсутствуют. Случайные приращения координаты не вводятся. Введем модель а/н.) = В а/с с вектором состояния Учтем соотношения Се = С = 1/сг, О = О, н = 11 д/с /да 11 = 11 ! О 11 . Подставляя эти соотношения в (22.18) и обращая -! т матричное произведение (Все В /', можно получить С~ ! =(В ) ! СьВ ! + Н Се(, Р Н. Обозначая элементы матриц точности С на разных шагах измерения Р, /1, Я, получим уравнение которое сводится к трем скалярным: РЬ 1 = Р/с + !/а, 2 Яьс.) = Яв — 2/Ц+ Рь (22.47) Суммируя (22.45) по /с, получаем Рт=т/а .
2 (22.48) Суммируя (22.46) по /с и учитывая (22.48), находим /!ы= — т(т — 1)/2« . (22.49) Суммируя (22.47) по /с и используя (22.48К22.49), получаем Вычислив определитель матрицы точности )Сн,! = РыЯ вЂ” Б,н = т (т — 1)/2сс, находим элементы матрицы ошибок: а! =бт /!С„, ~= 2(2т-1)а /т(т — 1); «2 = Ры /)С )=!2« /т(т — !); (22.50) р„о)„,«2,„= -Я,„/(С,„) = ба /т(та 1) . Дисперсии ошибок (22.50) неограниченно убывают по мере увеличения номера измерения т вследствие отсутствия обновления данных. Коэффициент фильтрации — это матрица 2х1: 12(2/с + 1) /(/с -ь 1) (/с + 2) с,,',н„'„!Се(„,!) =1 6/(/с (-1) (/с + 2) (22.51) Уравнения фильтрации (22.17) для в+ 1 = 2 и 3 принимают вид: 116, «,=~ '+ (е,-е), ~11 0 1 1 ! 62 5/6 «З = ' - .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
