Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 157
Текст из файла (страница 157)
Одновременно с дальностью и ее приращениями в вектор состояния могут включаться угловые координаты и их приращения. Упрощая расчеты, для различных координат чаше вводят раззичные векторы состояния. Прн непрерывном оценивании в векторы состояния включают координаты и производные. Принцип многошаговой нелинейной фильтрации. В этом случае модель изменения вектора состояния задается в виде переходной плотности вероятности р(агь1 ! Сев), СВяЗЫВаЮщЕй СВЕдЕНИя О НЕМ ОтНОСящИЕСя к различным моментам времени. Сведения о векторе состояния, относящиеся к моменту времени зььз, но до (й + 1)-го измерения содер- жатсЯ в послеопытной плотности веРоЯтности Р1пг1»г), где у'„— блочный вектор всех реализаций„принятых на интервале времени з < бз Прогнозируя условную плотность вероятности на (/с+!)-й шаг, находят р(а»м ) у») = ]р(а» ) (а )р(а 1у»)с(У(а ) .
(22.1) (Уст)) Плотность вероятности (22.1) выступает как доопьггная для измерения параметра на основе прихода текущей (» + 1) й реализации. Послеопытная (условная) плотность вероятности за (!с+ 1) шагов р(а»+) ~ у»п) у сс) =р(а»п) ! у'»и)) выражается в аналогичном (20.6) виде: р(а»,)~у»,)) = К„„р(а„,!у„') р(у»„ )а»„ ). (22.2) Условием здесь является совокупная реализация у'»+) = (у»п), у») за время с < с»п).
Входящий в (22.2) нормировочный коэффициент определяется из условия 1 — ~ р(а»м у») р(у»„!а»м) Л'(а».)) (223) )У)ппв)) Далее процедура повторяется со сдвигом на один шаг. По послеопытным плотностям (22.2) на каждом шаге» определяются нецентрированные и центрированные мо.иенты распредепенил вероятносппей (разд. 27). Первый нецентрированный момент (математическое ожидание) дает оптимальную оценку (20.9), второй центрированный момент — корреляционную матрицу ошибок (20.17), (20.21).
При отказе от гауссовости марковских моделей нужно прямо или косвенно учитывать моменты высших порядков. Информация о параметре а), на (» + !)-м шаге получается на основе всех принятых к этому шагу реализаций у» и уь у» с и т.д. Описанную рекуррентную процедуру называют нелинейной фипьтрацией. Теория нелинейной фильтрации развивалась преимущественно для непрерывных изменений параметров (!.7а, 1.15, !.24-1.25, 1.28, 1.34, 1.53а, 1.57, 1.62, 3.9].
О последних ее результатах см. разд. 22.8. 22.3. Модели дискретного изменения параметров в виде стохастических уравнений и многошеговая квазилинейная фильтрация оценок 22.3Л. Модели е аиде нелинейных стохастических уравнений Облегчают совокупное описание детерминированных и случайных взаимосвязей скалярных составляющих параметра на различных шагах измерения [1.24, 1.25, 1.34, 1.57, 1.61, 1.81, 1. 100]. Марковская модель в виде реккурентного стохастического уравнения для моментов времени сь Сс, представляют выражением а»п) = р(аь р») (22.4) Марковость модели определяется зависимостью а»п) только от аь а не от а» ), а» 2 и т.д., ее стохастичность определяется включением случайного вектора р». Распространенные стохастические модели имеют вид Модель (22.5) для представления случайного вектора р»=Б»ро» показана на рис.
22.1 (штриховые линии пока не существенны и разъясняются в разд. 22.3.4). Характерно наличие обратной связи. На вход сумматора поступает преобразованное выходное векторное значение параметра а», прошедшее через элемент задержки на время с)с». Преобразовано оно неслучайным образом в функционально связанное с а» значение вектора Ь»(а») той же размерности. Индекс» при функции Ь(а) показывает возможную нестационарность преобразования - изменение функции Ь(а) от шага к шагу.
К результату преобразования Ь»(а») добавляется выходное значение и» многомерного датчика случайных чисел. Значения р» от шага к шагу до разд. 22.7 считаются статистически независимыми. Вектор а»п) явно зависит только от его предыдущего значения аь что определяет марковость векторных последовательностей. Последняя не мешает моделированию немарковских связей их скалярных составляющих а~, (с =1, 2, ... 0) т), определяемых видом функции Ь»(а»). Случайные векторы р» модели (рнс.
22.1) могут иметь также коррелированные случайные составляющие. Они формируются (рис.22.1) на каждом шаге из независимых составляющих вектора рш с единичными дисперсиями и единичной корреляционной матрицей; М(ро» рот») = 1. Вектор ро» линейно преобразуется матрицей 3» в вектор р» = 8» ро». Взаимосвязь составляющих вектора и» описывается корреляционной матрицей обновления данных »2» = М(р» рт») = Б»М(ро» но~»)$~» = Я»б~» (22 6) Индексы !с при й1» учитывают возможную нестационарность случайного обновления — слабо выраженного маневрирования. Матрицы йг» до разд. 22.7 невзаимосвязаньс на различных шагах измерения !с. 22.3.2.
Кеазилсснейная стохестическея модель Текущие оценки а» =~ш ~~ часто (но не всегда, см. 11" О)1 разд. 22.8) считают сравнительно точными. Уравнение модели (22.5) в их окрестности а» = а» + е»(е» вЂ” после- опытная ошибка) тогда приближенно линеаризуется. Это обеспечивается разложением векторной функции Ь = 1]Ь»'~(0» +е»)]] векторной переменной (многих скалярных переменных) в ряд Тейлора с точностью до квадратичных членов: Ь»(а» +е») = Ь»(а»)+В»в» . (22 7) ' )с Рис. 22.1 346 а»п) = Ь»(а») -ь !и.
(22.5) г--------.й»,! ]Ь».)(а».,) лй в Здесь В» — неслучайная динамическая матрица пересче- та приращений вектора состояния »-го шага измерения на следующий шаг (см. также разд. 26.7) В = »» =)~лЬ0) )оаО)~ . (22.8) lс )~ lс Ыа ~Г а=в» Верхний индекс ! характеризует строку, нижний индексф — столбец матрицы. Матрица В относится к классу матриц Якоби, связываю)цих малые приращения век- торов при преобразованиях координат. Известные якобианы, связывающие малые объемы, являются определителями таких матриц (примеры см.
в разд. 22.5). После линеаризации (22.7) уравнение модели (22.5) принимает вид а» ! =Ь»(а»)+В»е»+й». (22.9) В правой его части содержатся три векторных слагаемых: одно неслучайное и два случайных. При гауссовских законах распределений случайных векторов р» (рис. 22.1) и ошибок текущих измерений е» левую часть (22.9) можно считать гауссовской величиной. Ее условное математическое ожидание определяет оценку прогнозирования (экстраполя ции) ао!»ь!) = М(а»+! )а») =Ь»(а») .
(22.10) Корреляционная матрица случайных ошибок прогнозирования на (»+ 1)-м шаге равна С, =М((В»с»+)г»)(В»с»+р») или — ! -! т с, =в»с в +О» Здесь С,, = М(с» ет») — корреляционная матрица случайных ошибок измерения после»-го шага, причем учтена независимость вектора случайного обновления Р» на А-м шаге от ошибки на этом шаге: М(р» е»т) = О. Моменты высших порядков здесь не учитываются. 22.3.3. Кеазилинейная фильтрация оценок при прямом измерении В случае гауссовских статистик прогноза и данных текущего измерения послеопытные значения параметра а»+! удовлетворяют гауссовскому закону распределения с математическим ожиданием а»л! и матрицей точности С»+ !.
Согласно (20.27) и (20.21) находят: -! а!в! =ао!и)+С» !Су!»+!!(ау!»ч!! ао(и!) с» ! =со,» !1+Су(»,!!. Дополняя эти выражения результатами (22.10)- (22.11), получают рекуррентные разностные уравнения; ° фитыпрации текущих оценок: а»~! = Ь»(а»)+С»,С !»~!1'(ау!»~!! — Ь»(а»)1; (22.12) ° фильтрации.матриц точности; С»„! — — (В»с» В»т+О») +Су!» !!. (22,13) Простейшая структурная схема дяскретной следящей системы. Обеспечивает рекуррентную фильтрацию (22.12). Отфильтрованная оценка вектора состояния а» запоминается в элементе задержки и используется для прогноза на следующий шаг (рис.
22.2). ат ли+и Рис. 22.2 К моменту выработки оценки а»ч! для прогноза снимается задержанная оценка а» и подвергается функциональному преобразованию: Ь»(а») =ао!» !!. К прогнозированной таким образом оценке ао!»+!! до- бавляется с матричным весом невязка текущей а„!»ь!! и прогнозированной ао<»~!1 оценок вектора состояния, что дает результирующую оценку а», ! . Матричный вес зависит от матрицы точности текущего измерения С ~»ч.!1 и результирующей матрицы ошибок С» 1. Выражение (22.13) определяет изменение результирующих матриц точности С»+! и ошибок С»~!. Для их формирования можно использовать дополнительный вычислитель (не показан). Следящая система (рис. 22.2) оказывается сне!пеной с переченными парачвтрами и реализуется в настоящее время в цифровом виде. При неизменных матрицах точности текущих измерений, а также установлении результирующих матриц точности имеет место соотношение С»+! = С» = С (примеры в разд.
22.5). Следящая система рис. 22.2 переходит в системус постоянными парачетрами. 22.3.4. Кеазилинейная фильтрация оценок при косвенном измерении Наряду с прямым используется косвенное измерение. Вектор состояния а = ам! с заданной моделью оценивается косвенно — на основе оценок Е, =Е свя- У занного с ним вектора 9 = Ь(а). Вектор 9 в радиолокации может включать две угловые координаты и дальность, искомый же вектор ив три пересчитанные декартовы координаты. В состав векторов 9 и а наряду с координатами могут входить их приращения. При объединении данных РЛС размер вектора наблюдаемых параметров 9 увеличивается. Векторы 9 в гиперболических системах радионавигации могут включать разности хода, а векторы состояния а — широту, долготу (иногда и высоту) объектов. В квазидальномерных системах радионавигации векторы а могут включать корректируемые отсчеты времени.
Вектор 9 в общем случае назовем ввкторач наблюдаечых параметров. Его оценку Е называют вектороч наблюдения. Вектор 9 имеет в общем случае размер п, отличный от размера т вектора состояния а. Переход от а к 9 был показан на рис. 22.1 штриховыми линиями. Лянеаризацая связи векторов наблюдаемых параметров и состояния. В предположении малости ошибок прогнозируемой оценки ао = ао!»+!! и с точностью до квадратичных членов ряда Тейлора Е=Ео+Н( -ао) (22.14) Здесь Ео — вектор наблюдения, соответствующий про- гнозированной оценке вектора состояния ао Ео = Ь(ао) =!)йо (ао)(( (22.15) а Н вЂ” матрица пхт пересчета изменений вектора со- стояния в изменения вектора наблюдаемых параметров 347 Н = )~дн(') ! даО))! (22.
16) После введения векторной функции Ь(а) = Ь(ч-)(а), матрицы пересчета Н = Ны), вектора наблюдения 0 =0лл( и новой матрицы точности Со<ын рекуррентные линеаризированные уравнения (22.12), (22.13) приводятся к виду: ° уравнение фитьтрации текущих оценок ал,,)=Ьл(ал)+Кл,,)'(Ол 1 — Ьл 1[Ьл(йл)]) (22.17) где Квв) =Се~)нвч)СО<ЛИ)) (22.!7а) ° уравнение фитьтрации матрицы точности СЛ .1 СО(в+1) + Н~Л.,)СО(2+1)нвч) (22 176) или в силу (22.11) Су„.) =(Влсл Вл~+®л) +Н~~„)со(л,))нл 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
