Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 154
Текст из файла (страница 154)
). Как обосновано ниже, введение следа логарифма матрицы согласно (27.33) обеспечивает возможность перехода к суммированию (ннтегрнрованню) матриц, ГО = — «г)ф„иА —, 1 АА (21. 56) 2 А о где решающая матрица вА определяется нз уравнения (17.59) для измененной в А раз мощности сигнала «РА = фи+ Афс (О ~ А ~ 1).
(21 566) Обоснованне формулы (21.56). Скалярные множнтели А н матрицы фА пока задаем дискретно в виде А, = »с! п (!«=О,),...,п) н фА» = «Р„+ А» «Р,, причем «РАн= «Рсп, «РАО=«рп, а «Р«яфА»= 1», где 1 — единичная -1 матрица. Тогда н 1П(фспфп ) = 1П(фА»!с 1...121«фАО) = ~А~' !П!фА»фА«»-!1) где прн и» 1 ф»фА!»-!! =фА»(фА»-~ 4ф,) =1+ВАф<фА» По аналогии со скалярнь!м соотношением!и (1 + у) = у для малых у справедливо подобное матричное соотношение. Прн этом СО = — «г~' 'Рс«РА» ЬА = — «г )фсфА с«А (2156в) 2 »=О ' ' 2 А О Выражая «Р,в (21.56в) нз (2!.56 б), а якнз (21.56 а), найдем ЕсфА =(ЕА Еп)ЕА !А Еп(фп ЕА )уА=фппА1А. Случай непрерывяого распределеяня комплексных амплнтуд. После перехода в (21.56) к непрерывным колебаниям н нх комплексным амплитудам детализированное выражение (17.65) принимает внд сс 1 1= — ) ) т' ~(г)1)(г,~) т'(~)«1« ух- 2 —.
1 — Г ГФ.(,.)ПА(., ).«~ ««А о А -сс Здесь %)А(х, !) — решение интегрально-матричного уравнения ) )ФА(г,х)ПА(х,О)Фп(й,т)«!в«Ю = АФ,(г,т), (21.57а) в котором ФА(б з) = Ф„(г, з) + АФ,(г, х). В свою очередь, функция Ю(в, г), определяемая выраженнем (17.66), сводится к значению функции ПА(ж г), вычисленному прн А = 1. 21.8.2. Пример оцениаания спектральной плотности мощности стационарного Рауссоаслого шумового процесса Пусть сигналом служит квазнбелый шум с искомой спектральной плотности мощности )чп, принимаемый за время Т в полосе частот П» 1!Т на фоне собственного шума со спектральной плотностью мощности Уо.
Корре- ляционные матрицы помехи Фп(с, 5), сигнала Ф,(/, г) и вспомогательная ФА(с, г) вырождаются при одноканальном приеме в корреляционные функции Фп(с, з) = !УО П /5(с, 5), Фс(с, 5) = суп П 6(с, 5), ФА(г, 5) =(!5/О+ А!5/и) ПЬ(/, З) При Т> 1/ П в пределах ф < ТЯ и !г!< Т/2 функции Ь(!, 5) ведут себя как дельта-функции и равны тождественно нулю при !й > Т/2 или (з! > Т/2.
Из уравнении (21.57а) можно поэтому найти (/А (!, т) ч, " Л(/, г). (21.58) В свою очередь, из (21.57), (21.58) следует 1и!= " ~!у(г)/~ с/г-Т!п(1+/!г„//Уо). 2 ПТ(//о + 2У )!!/0 сг! Максимально правдоподобная оценка Л'и находится нз условия /1и ! / Ымп = 0 при /!/и = /9п, откуда у +/! — 1 ~! у(/)!2 с/с. (21.59) 2ПТ !т! Оценка спектральной плотности мощности суммарной помехи/!/„+/5/о (в вещественном спектре) определяется средней по частоте и времени энергией помехи (на единичном, как было условлено) сопротивлении.
21.9. Фазометрическое измерение незнергетических параметров для модели частично-когерентного сигнала с гауссовским распределением начальных фаз Измерение рассматривается здесь при отказе от амплитудной информации, т.е. в фазометрическом при62ижении (см. разд. 21.5.5). Зато учитываются фазовые корреляции в среде распространения, создающие модулирующую, фазометрнческую помеху, характерную для оптического, миллиметрового и частично сантиметрового диапазона. Учет свойств этой помехи часто позволяет ее скомпенсировать (1.138, 7.291. Синтез устройства фазометрической пеленгации на основе линейной эквндистантной решетки.
Пусть решетка состоит нз М> 2 элементов с межэлементным расстоянием с/. Пеленгация в зоне Фраунгофера сводится к оптимальному оцениванню параметра а = 2яс/5!и О/Х по всей совокупности фаз принятых колебаний, определяемой вектор-столбцом сР = !!5Г11!=!!гад+131+тяф~ (/с= 0,1, ..., М-!). Коэффициенты 52 = /с — (М -1) / 2 характеризуют линейное распределение фаз колебаний полезного сигнала л а= зя . 2яо/5!и О/)с вдоль элементов решетки в отсутствие фазовых искажений. Величина !31 — фазовое искажение полезного сигнала, дошедшего до /с-го элемента решетки, а чг — фазовая ошибка в !с-м элементе, обусловленная наличием шумов. При малой интенсивности шума дисперсия (см.
разд. 21.2) составляет 9, где с/ значение параметра обнаружения элемента решетки. При малых ошибках можно считать их включенными в шумовые ошибки фаз. В этих условиях задача решается так, как если бы вместо вектора фаз 5р был вектор напряжений у. Вводя векторы з = !!51!1, х(а) = за и и =А)2 +и;,)(, получим ср = за+ и = х(а) + в, где х(а)=за — величина, известная с точностью до неизвестного скалярного параметра а, а и — случайный вектор, закон распределения которого можно считать гауссовским с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей ср=М(пп'). Как и в разд. 17.1, находится логарифм отношения правдоподобия 1п !=2р'2(а) — — х'(а)г(а), 2 где г(а) — вектор весовых коэффициентов г(а)=5р х (а)=5р за, с которыми должны обрабатываться измеренные фазы.
Оптимальная оценка а находится из уравнения правдоподобна с! 1п! /с)а=О и имеет вид а=2р'ср з/з'ср з. (21.60) Потенциальная точность измерения параметра а со- ставляет 1/а =-с/ 1п!/с/а =з ср'з. (21.61) Е где с/= М-1 Для принятой в примере корреляционной матрицы вычислялнсь весовые векторы, а значит распределения весовых коэффициентов фаз, н потенциальные стандартные отклонения ошибок измерения ап . Оптимальные распределения весовых коэффициентов оценивались для случаев отношений /! ) 1=1 0 2, 1, 1О' и нескольких ч (рнс.
21.18). Эти распределения в первом и третьем случаях заметно не отличаются от линейных, характерных для фазово-амплитудной обрая-олы ! я-!. я=!оос ' ч 9 0 -О5 ч 05 ч-о.! О 29.5 с 59 О 29,5 ! 59 0 29,5 с 59 Рнс. 21Л8 Пример фазометрической пеленгации. Число элементов решетки М = 60, их номера 0 < ! < 59 . Соотношение дисперсий некоррелированной и коррелированной составляющих помехи задается неотрицательными коэффициентами г 61 н (1-9) . Корреляционная функция коррелированной части помехи принята экспоненциальной с радиусом корреляции флюктуаций Н. Корреляционная матрица помехи в целом имеет тогда вид 339 ботки.
Распределения при ЮХ=! и о < 1 становятся явно нелинейными, что связано с взаимной компенсацией коррелнрованных атмосферных ошибок при малом уровне шума ж На рис. 21.19 сплошной линией показана зависимость отношения а!О!!/а(!! стандартных отклонений ошибок а =а1,.! при о=0,1 и в=! в зависимости от отношения /1 / Ь радиуса корреляции атмосферных ошибок /! к длине решетки Ь. к:с. !о' !о' !о' ! !о !о' !о' Рис. 21.19 Ошибки наибольшие в окрестности значений отношения /1/Ь (0,1...1), когда для снижения ошибок измерения использована нх компенсация, предусмотренная оптимальной обработкой. Варианты фазометрической весовой обработки. Оптимальная обработка является здесь частным случаем фазометрической весовой обработки а зр'зв / з'вв, (21.62) осуществляемой для произвольного удельного вектора весовых коэффициентов, равного оптимальному значению зв = г(а)/а=вр в.
Произвольная флюктуацня Л!1/ вектора фаз !)/ приводит к флюктуации Ла скалярного параметра а вида Ь!а = (/3Ч!)'зв/в'зв с дисперсией п,~ =М((Ла)~] =зв'!Рзв / (з' и ), где !Р=М((Ьзр)Л!р'] — корреляционная матрица помехи. Штриховая и пунктирная линии (рис. 21.19) соответствуют значениям зв = з и я — вяп з, характерным для амплитудно-фазовых измерителей равд. 21.5.3. При более слабых шумах и корреляционных функциях, отличающихся от экспоненциальных, выигрыши оптимальной обработки большие [1.138, 7.29]. 21.10. Регулярное измерение информативных параметров сигналов с неизвестным распределением неинформативных параметров Регулярное измерение проводят иногда при неизвестньм распределениях неинформативных параметров.
Если априорные расщзеделения амшппуды Ь и начальной фазы !3 когерентного сигнала неизвестны, то отсутствие этой информации можно восполнить путем нахождения совместных оценок максимального прав- ° начальных фаз !3о (/с = 1, 2, ..., М)! ° начальных фаз !3/, и амплитудных множителей импульсов Ьв в случае независимых флюктуаций; ° начальных фаз !)в и общего амплитудного множителя Ь = Ьо в случае дружных флюктуаций. При известных !3» и Ъв логарифм отношения правдоподобия согласно (16.27) определяется выражением 1и/= ~~~ ~Ьо ! Ев )сов(агйУо -()в)-Ь|до /2~, где Ув — комплексный весовой интеграл для /г-го импульса, дв — параметр обнаружения последнего. При неизвестных !)о отношение правдоподобия 1п! макснмизируется для значений начальных фаз !)к =агйУь совпадающих в данном случае с их максимально правдоподобными оценками.
Все тригонометрические функции обращаются в единицу и при известных амплитудных множителях Ьо = 1: 3/ (1п!)мох ~о~~! 2о ! + Соля! /с=! (2 1.63) Если Ь| флюктуируют независимо, то их значения, максимизирующне 1л/, находятся из условий гфв ! Ух ! — Ьв дв /2]~г/Ьо = О, откуда Ьв = Ьв = ! Ув ! / дв, так что г 3/ (!п/)„„= ~(2в ! /2до . /с=! В случае дружных флюктуадий оценка общего множителя определяется соотношениями (21.64) Ь~]Уь! — Ь Ядх/2 /г/Ь=О, Ь=~)Уо( Ядв, откуда г (1и/)„, = ~~~ )Уо ! 2~до . (21.65) доподобия всех информативных а и неинформативных ]3 параметров.
Другой часто используемый подход основан на последовательной максимизации отношения правдоподобия по неинформативным параметрам и нахождении максимально правдоподобных оценок только информативных параметров а. Такие подходы можно использовать не только при оценивании информативных параметров, но и при обнаружении. В каждом отдельном случае следует обсуждать целесообразность таких подходов, поскольку имеются и нх отрицательные стороны. В особенности существенно учитывать отклонения от гауссовских распределений, которые проявляются в ряде случаев при усложнении задач.
Максимизация отяошеяня правдоподобия пачка нз лв когереятаых яеперекрывающнхси радиоимпульсов в интересах обяаружеяня. Пусть эта пачка обнаруживается на фоне стационарного белого шума известной интенсивности. Рассматриваются случаи неиззестиых: 340 Соотношения (21.64)-(21.65) согласуются прн «/»» 1 с известными алгорнтмамн обнаружения прн некагерентном накоплении с линейным и квадратичным суммированием (16.53)-(16.55) .
Макеямнзацяя отяошення правдоподобия по неянформатнвным параметрам в интересах измерения. Используя результат (21.64) прн числе импульсов пачки М=! н проставляя зависимость г,=Х(а) н «/ = = «7(а) от информативного параметра сигнала, находим уравнение максимально правдоподобной оценки ««1ь(а) / /2п (а))/«/а и «/12и(а) / 1«/а = О арпа =а, (21.66) где Е;(а) = г.(а)/«/(а). (21.67) Прн слабых по отношению помехам сигналах алгоритмы измерения случайных параметров становится некорректныии. Возникшие трудности можно преодолеть за счет ° изыскания более корректных алгоритмов н уточнення условий нх применимости; ° регулярнзацнн некорректных алгоритмов, исходя нз нх конкретного предназначения. 21.11.Примеры алгоритмов разрешения-измерения и их регуляризеции 21.11.1.Общие вопросы разрешения.
Корректное я некорректное разрешенне-нзмеренне. Наряду с разрешением-обнаружением (см. разд. !8.7.4) приходится решать задачи разрешения — измерення. Разрешением-измерением называется измерение скалярного а нлн векторного а параметра сигнала на фоне мешающих излучений с близкими параметрами.
Неэнергетнческнй параметр а приобретает характер энергетического «/'(а) и сопя! (см. разд. 21.1.1), если разрешение полезного н мешающего сигналов проводится по измеряемому параметру. Оценки могут стать прн этом негауссовскнмн, н применение к ннм гауссовской теории становится некорректным. Целесообразно обсудить пути получения корректных оценок, в том числе метод регулярнзацнн некорректных оценок. Расчетные соотношения для простейшего случая разрешения-нзмерення. Пусть измеряется угловая координата цели а =а прн воздействии некоррелнрованных шумов н активной маскирующей помехи от нсточника с близкой угловой координатой и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
