Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 149
Текст из файла (страница 149)
Это: ° оценка с наибольшей плотностью вероятностью (20.34)„если выбрана просюая функция стоииости; ° оценка мааенатичесного ожидания параметра (20.9), если выбрана квадратичная функция стоимости. Интегрируя по а, равенство (20.9) можно найти а=га(1)Р(1!у) =2:а,р(у). / (20.45) Результаты (29.43)-(20.45) используются в разд. 22.7 и 23.2-23.5. Полигауссовость модели плотности вероятности р(у ! а)) текущих измерений.
Учитывается аналогично априорной модели полигауссовской плотности вероятности исходной информации. 20.7. Возможность учета произвольной негауссовской априорной статистики при высокоточном регулярном измерении Логарифм априорной доопытной плотности вероятности р(а) при высокои точности текущей оценки а . можно аппроксимировать в ее окрестности тремя членами разложения в многомерный ряд Тейлора )п р(а) = 1п р(п,)+(а — о„)й)п р(а )1йа+ «--(и-а ) [«1 !пр(а,)/Ыа «п-а„).
Иначе, негауссовское распределение р(а) в узкой области вокруг а сводится к учасгплу гауссовского (20.19) с некими расчетными параметрами Со, ао. Из сопоставления (20.! 9) и (20.46) следует Со = Н !пр(а,)1«га, 2 " 2 (20.47) ао =а, — ~а 1лр(а,)1Ыа ! И!ар(а,)1па, [.г - .2)-! что позволяет найти Ср и ар согласно (20.21) и (20.25) или (20.27). Подобный подход можно использовать при решении некоторых задач измерения (см.
разд. 22) и классификации (см. разд. 24.10). 20.8. Условная оценка максимума правдоподобия Априорные ограничения для составляющих измеряемого векторного параметра о можно задать не только доопытной плотностью вероятности р(а) нли ее логарифмом 1п р(о), но и алгебраическими уравнениями К,(сг) =0 (1= 1,2, ...,ю). Их можно считать стохасюичесниии — связывающими случайные (согласно байесовской теории) переменные. Нахождение оценки сводится к нахождению реше- ния а= а уравнения максимума правдоподобия (20.14) при наличии ограничений К,(о) = О.
Поиск локальных экстремумов при наличии ограничений сводится к ре- шению уравнений (14.13) для функций Лагранжа; Цп,)) =!п!(у)а)+~Л,К,(а)=!и!(у!а)+Л~й(а), 3 где Л=!!Л, )! — вектор множителей Лагранжа, а 8(а) = = ))8, (а)!! — вектор ограничений. Иначе, можно ввести условие оптимизации оценок «1[1пр(у[а)+гг[Лп (а)[)=0 . (20.48) В нем гг а — след матрицы а (см. разд. 26.4) а=!я (а), являющейся скалярным произведением вектора Л и транспонированного вектора 8(а). 326 21. ИЗМЕРЕНИЕ НЕИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ 21.1.
Общие сведения В разд. 21 продолжается анализ первичного изиервния параиетров обнаруженного объекта локации, навигации, управления или же сигнала связи. Считается, что параметры не успевают заметно измениться за время измерения (за время контакта с целью обзорной РЛС, например). На этой основе в разд. 22 осуществляется переход к измерению изменяющихся параметров.
Вводят.иод«ли сигналов: ° известных с точностью до измеряемого параметра (разд. 21.2); ° с известными гауссовскими и негауссовскими случайными распределениями неинформатнвных параметров(см. разд. 2!.3-21.9 и 21.10). Распределения параметров помех до разд.
25 полагаются известными. Рассматривается измерение амплитуды, фазы, времени запаздывания, частоты, направления прихода, разности хода для различных моделей сигнала на фоне белого гауссовского шума (см. разд. 21.2-21.7) и аддитивных коррелироваиной нестационарной гауссовской помехи (см. разд.
2!.8). Разд. 21.9 связан с измерением параметров сигналов на фоне гауссовских аддитивной и мультипликативной помех. В разд. 21.10 рассмотрен переход от моделей сигналов с известным распределением неинформатнвных параметров к моделям с неизвестным распределением. В разд. 21.11 обсуждаются примеры разрешения- измерения направления прихода сигналов. В разд. 21.12 рассматриваются особенности измерения параметров радиосигналов с широким спектром частот, а в разд.
2! .13 — оптических си:нилов. 21.1.7. Энергетические и неэнергетические параметры сигналое. Методы построения измерителей и анализа ошибок измерений Энергетические и неэнергетические параметры. Первые сказываются, а вторые не сказываются на вели- 2 чине параметра обнаружения ц . В условиях некоррелированных стационарных помех к числу энергетичес«их относят амплитуду и длительность сигнала, к числу неэнергетических — его частоту, время запаздывания (в малых пределах изменения), угловую координату цели. В условиях коррелированных нестационарных помех энергетические параметры сигналов включают: ° частоту при небелом шуме; ° время запаздывания при нестационарной помехе; ° направление прихода сигнала при неравномерном угловом распределении источников помехи (разд. 21.! 1).
Методы синтеза и анализа измерителей. В настоящее время для измерения неэнергетнческих параметров широко используется метод максимального правдоподобия, практически справедливый для симметричных их распределений прн больших выборках асимптотически интенсивных сигналов (см. разд. 20.4.1). Однако при измерении энергетических параметров часто приходится встречаться с несимметричными распределениями (см.
326 разд. 21.11, 21.12, 25.2), когда этот метод отличается от оцени«анин по максиияиу послеопытного математического ожидания при квадратичной функции стоимости (см. разд. 20.3). Полезно сопоставление различных приближений методов оптимизации с методами регуляриэации некорректных решений. 21.2. Регулярное измерение амплитуды, начальной Фазы, частоты сигнала, известного с точностью до измеряемого параметра В условиях достаточно интенсивных уже обнаруженных «гладких» сигналов обычно с успехом используют метод максимального правдоподобия. Измерение амплитуды. На фоне стационарного белого шума методом максимального правдоподобия измеряется амплитуда а временного сигнала х(О а) = а хо(/), все остальные параметры которого известны полностью.
Из (16.18) следует )л/=а9 — а 9О /2, 2 2 где а — параметр ожидаемого сигнала; 2 2 2 4 = — ')У(/)хО(/)с/Г, ЦО2 = — )хО2(/)й/. /ч' о Ф о „ Согласно уравнению правдоподобия (20.!4) оценка амплитуды регулярного измерения а =9/цо = )у(г)хо(/)и/ )хо2(/)с//. Прн а= а, в отсутствие шума у(/) = а,хо(/) оценка а = а совпадает с истинным значением параметра а,. У Потенциальная точность измерения амплитуды в силу(20.17) составит С=1/а =-д !л//да приа =а нли 2 2 2 !/а = цо, а=1/цо 2 2 Измерение начальной фазы. На фоне стационарного белого шума измеряется начальная фаза а временного сигнала, остальные параметры которого считаются известными.
Ожидаемый сигнал соответствует выражению х(!, а) = х (/) соз(2я/о/ — а) = х!(/) сова + х2(/) яла, где хч(/) = х(!) соз2~сй/ и х2(/) = х(/) ял 2х/ок Выражение 1и / согласно (! 6.! 8) — (16,19) принимает вид !и/= 9! сов а+ 92 ял а+ сола!, где 0 Д~ 2 = — ~у(/)Х(/) 2Л/о/Ш. /чо Уравнение оценки следует из (20.14) — 91ялат+~2созах — — 0 или а .
=агс18(92/9!). В отсутствие шума оценка а, совпадает с истинным значением а =а,. Потенциальная точность измерения на фоне шума определяется выражением 1/а =-62 )л//са ~ 1«=а (2!.6) 327 Фазовый дискриминатор. Его выходной эффект соответствует производной (20.32) от 1л ! по а. Для немолулнрованного по амплитуде колебания х(/) = ! выходной эффект соответствует накоплению по времени произведений принимаемого сигнала на напряжения, сдвинутые по фазе на 90' по отношению к ожидаемому; ю /»'(а)м )у(/)з)л(2я/о/-а)»//. Фазовое измерение времени запаздывания. Ожидаемый сигнал х(/, а) = хо(/) соз(2х70(/ — а)] отличается от рассмотренного масштабом измеряемой величины.
Потенциальная точность (при устранении неоднозначности измерений путем привлечения дополнительных данных) 1/ог дг 1п!/даг! 4я~70'Ч~ (21 1) !а а Измерение частоты. Для ожидаемого сигнала х(/, а)= х»(/) соз 2яа/ значение 1л ! = 9(а) — »/ 0'/ 2, где 2 Ц/) = — !у(/)х»(/)соз2ла/д/. г/О ю Оценка а частоты а определяется нз уравнения 4х " г,' (а ) = — ! 0~(/)х»(/)з!и 2на/»// =О. /'/О ю Потенциальная точность при ат,в» 1 составит х» (/) соз 2ядга// 90 т» 1 8л "гг г — гг аз гув ,'= Р ' 0(/)д 1х»(/)д/; 9о = 2 3хо(/)д/. ю /УО „ 21.3.
Особенности регулярного измерения незнергетических параметров когерентного сигнала с известным распределением иеинформативных параметров Предполагается измерение случайных информативных неэнергвтических наречен»ров сигна»ов, имеющих случайные неинфорчативныв парачетры: равновероятную начальную фазу и релеевскую амплитуду. Квадратурные составляющие сигналов имеют в последнем случае гауссовское распределение. Для всех этих случаев детализируются уравнения максимального правдоподобия, выражения обобщенных дискриминаторов и матриц точности.
В разд. 21.4 — 21.5 на этой основе обсуждаются измерения времени запаздывания, частоты колебаний и угловых координат источников излучения. Приводятся примеры учета доопытных (априорных) данных. 21.3.1. Максимально-правдоподобное оцениеание параметрое Поскольку 1л !0(и) = и при и» 1, для сигнала со случайной, равновероятнай начальной фазой выражение (16.28)при »/ » 1 переходит в 1л ! 9 ) 2, ) -9'/ 2. (21.2) Для сигнача со случайными релвевской алпьгитудой и равноввраятной начальной фазой при 9 » 1 (см.. разя. 21.3.3) выражение (16.31) перейдет в )л!=)2н! /2 — 2!не»сола!.
(21.2а) 2 Уравнения максимального правдоподобия (20.14) принимают внд Д 2н)/да, =0 при а= а, (21.3) д!2»/ /са,=О при а= а. (2!.4) По правилу дифференцирования степенной функции уравнения (2 1.3) и (21.4) при ! 2н ) ы 0 равносильны, т,ег ° сокращая (21.4) на 2! 2н ), придем к (213); ° домножая (21.3) на 2( 2н ), придем к (21.4).
Поэтому каждое из уравнений (2!.3) и (21.4) можно использовать в качестве уравнения правдоподобия неэнергетнческих параметров и для сигнала со случайной начальной фазой, и для сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой. Поскольку а!2» ~' а (2н2н) да, да, д2н ° а2н ! д2н = — "2„+ — н2„=2К вЂ” "2„ са, " да, " ~ да, то к уравнениям правдоподобия относятся также ! д2н йе — "2 =0 при а=а (/=1,2,...,т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
