Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 148
Текст из файла (страница 148)
20.4 р(а! у)= ехр -ц 2 Дисперсия (20.9 а) сводится к весовой сумме дисперсий нормального и прямоугольного распределений а =а (ц,и)= (К, +К,р'/!2)сто * 1 где сто =оо(су)*К! = 2к К Кз =(р-1)е о К, К = К! + Кз.Стандартное же отклонение при р»1 и р-1 р приводится к виду а = а(су, р) = а(су) Графики зависимостей, рассчитанные без учета эффек! та ложных тревог ао(ц) = — а(ц) =сова!/ц (пуиктир), вме- 40 сте с графиками а(ц, 40) а (9,40) од '; ' (сплошные линии) показаны на рис. 20.5. По мере уменьшения ц проявляется нерегулярность измерения. Возникает «пороговый эффект», и Рис.
20»5 сплошные линии «отрываютссо> от пунктирных. Нерегулярность вследствие неднфференцируемости огибающей сигнала. Присуща модели прямоугольной огибающей сигнального импульса без внутриимпульсной модуляции. Так, излом треугольной функции рассогласования (рис. 18.3,а) при измерении времени запаздывания приводит к замене (20.!86) на [Е„~ р(а, ау) 1 — (а-а .! ' т „, где т „— длительность имРис. 20.6 пульса. Послеопытная плотность вероятности (20.18а) переходит в биэкспоненциатьную (рис.
20.6); 2[о.с1,~ р(а!у) = — е а, Стандартное отклонение ошибки а! =тяч2/ц Г/ 2 2 изменяется обратно пропорционально су, а не ц, как (20.20) Можно ввести матрицу (20.21) Т Т "Т Т "Т Т арСр аоС,> чатС„. (20.23) (20.28) 323 прн регулярном измерении. Нерегулярность устраняется при учете конечной полосы пропускания радиотракта, что округляет прямоугольную огибающую 12.12].
20.4.6. Многомерные эллипсоиды ошибок при регулярном измерении Используются иногда как характеристики качества интервального регулярного измерения. Вводятся из условия р(а ) у) = сопя! или же уравнения (а-а,) С,(а-а ) =сопя!. (20.18г) В двумерном (т = 2) случае приведенное уравнение соответствует эллипсу, в трехмерном (т = 3) — эллипсоилу в пространстве параметра а вокруг оценки «» . Многомерный (т > 3) эллипсоид — абстрактное понятие, придающее алгебраическому уравнению геометрическую трактовку. Постоянную в правой части уравнения (20.18 г) выбирают из условия заданной вероятности Р невыхода а из области (Эл) внутри эллипсонда Р = ] р(а ) у) ИГа .
13л) 20.4.В. Связь бвйвсовского подхода снебайесовским Значения байесовских точечных оценок максимального правдоподобия, получаемые в отсутствие априорных данных в условиях регулярного измерения, количественно совпадают с небайесовскими оценками максимального правдоподобия. С небайесовских позиций они состоятельные, асимптотнчески несмещенные и эффективные (см. разд. 20.1.1). Как для параметра а в байесовском случае регулярного измерения, так и для его оценки а в небайесовском, имеет место в пределе (в асимптотнке): ° гауссовское распределение а вокруг а, в первом (байесовском) случае, ° гауссовское распределение а вокруг а, во втором (небайесовском) случае.
В обоих случаях матрицы точности определяются выражениями типа (20.17), называемыми в небайесовской теории информационными матрицами Фишера. Об интервальном небайесовском оценивании, широко используемом для задания н контроля технических допусков, см., например, [0.30, !.5! . 1.101]. 20.6. Регулярное измерение в условиях гауссовской априорной статистики 20.6.1. Прямое измерение в условиях гауссовской априорной статистики Учет априорной статистики особенно важен на этапах измерения изменяющегося параметра а. Часто задаются нормальным (гауссовским) априорным распределением с некоторой доопытной оценкой ао и снм- метричной матрицей точности Со = Сот.
1 р(а)= Коехр --(а — ао) Со(а-ао) (2019) 2 Логарифм послеопытной плотности вероятности. Находится из (20.12), (20. 18), (20.! 9) т 1п р(а!у) = — — (а-ао) Со(а-ао)- 2 т — — (а-а ) С (а-а )+сопзс. 2 Со=со+С, а также вектор-столбец ар, такой, что одновременно Срар = Со«о + С„а,, (20.22) Соотношение (20.23) введено с учетом симметрии квадратных матриц Со т= Са Ст, = Ст, Ст = Ср. Раскрывая скобки (20.20), учитывая (20.21) — (20.23) и заменяя значение постоянной, можно прийти к многомерному нормальному послеопытному распределению 1пр(а)у) =- — (а — а ) С (а — а )+сопя!. (20.24) т 2 Характеристики послеопытного распределения. Входящая в (20.24) результирук>щая матрица точности Ср определяется согласно (20.21) как сул>ма .матриц точности до«лытково и текущего оцвнивания.
Послеопытная оценка (математнческое ожидание) параметра ар сводится в силу (20.22) к весовой сумме оценок, доопытной ао и текущего оценивания а .: ар =Ср (Со«о+С а,), (2025) Матричные весовые коэффициенты (20.25) составляют в сумме единичную матрицу Ср Со+Ср С ° =Ср (Со >СТ)=Ср Ср =! (2026) откуда С„Со=1 — С С, Послеопытная оценка (20.25) сводится поэтому к сумме доопытной оценки и повязки между текущей и доопытной оценками, взятой с матричным весом, а =ао+Ср С (ау ао) (2027) Несколько реже используют близкое выражение ар =а, +Ср Со(ао-а»).
(20.27а) Пример измерения скалярного параметра. Пусть текущая идоопытная оценки а . и ао параметра а определены с дисперсиями ошибок о, и оо. Выражения 2 результирующие дисперсии ор и оценки ар поясняют 2 повышение точности измерений за счет совместного учета данных доопытного и текущего оценивания и методику введения невязок: 1/«2 =1/«2 ь1/«2, 2 о о„ „ о„ ар = — ао ь а» =ао+ («> «о).
2 2» 2 оо 1 20.5.2.Общие принципы дискриминаторных измерений при гауссовских доопытной и текущей статистиках Вычисление невлзок а -ао текущих оценок при у следящем измерении можно заменить измерением пропорциональных им величин. Измерители величин, пропорциональных малым невязкам, называют дискриминаторами. Дискриминаторы многомерных параметров называют обобщенными дискричинаторачи. д С ! и 1 Синтез типичных диск(ау -ао) У(1) Дис~ ри кРиминатоРов Раздельно мииатор проводится для двух их разновидностей, называеа 1) а) о() мых дискричинаторачи первого и второго рода Ь*=(ау-ао) (рис.
20.7). Выходные эфу .И фекты А', бу и выражеае(1) ния оценок ар определяб) ются для них двумя групРис. 20.7 пами соотношений; Ь Су(ау йо) ар ао ьСр А (20 29) Ь" =ау — ао, ар =по+С С А', (2030) Выходной эффект дискричинатора первого рода усиливается с повышением точности текущей оценки. Это позволяет накапливать значения Ь' с постоянньвч весом. Выходной эффект дискричинатора второго рода не зависит от веса оценки, что часто также представляет интерес. Синтез дискриминатора. Проводят на основе: ° оценок, полученных из условия максимума логарифма отношения правдоподобия; ° градиентов (разд.
26.7) аппроксимаций оценок квадратичными формами — 1л!(у(а)= — ~--(а-ат)'С„(а-а„) . о(а о(а~ 2 о(1п!(у ! а)/о!а = Су(ах — ао) = А'. (20 31) Иначе, Ь' в рассматриваемом приближении сводится к градиенту логарифма выходного напряжения оптимального приемника обнаружения по параметру а А' =]]д!п1(у!а)1дах]]в,й (20.32) в точке доопытной оценки ао.В двумерном случае т = 2, это пояснено рис. 20.8. Зависимость выходного напряжения 1л 1 пл! т от а =!! а! а2 )! представлена линиями уровня и точкой максимума а,. Градиент аг аог ач Рис. 20.8 Согласно правилу дифференцирования квадратичных форм (26.41) значение подобного градиента при а = ао совпадает с дискриминаторным эффектом Ь' г5' ориентирован нормально линии уровня, проходящей через точку ао.
20.6. Регулярное измерение в условиях полнгауссовской априорной статистики с гауссовскими условными плотностями вероятности н,~ц-к„,(--1-алО! с,оф-й,ц1]. 1 2 Ко, =(2п) !Со(!)(, вероятностями условий РЯ= Р, -ы/2 . — Ьз у' послеопытная плотность вероятности при квадратичной функции стоимости р(а ! у) = ~ р(а ! 1, у)Р(1! у), ~г Р(1! у) =1, (20.34) где условные плотности вероятности р(а ! г',у), как и вероятности условий Р(г ! у), отличаются от доопытных р(а ! 1) и РЯ. Аналогично (20.20), имеем 1п[р(а! (у1РЯ у)]= — — '(а — ао(1)] Со(1)!а — ао(1)]— 2 т — — (а-а ) С (а-а )е!пР(г')+сонэк 2 (20.35) Выделим из (20.35) логарифм послеопытиой условной плотности вероятности р(а(1,у) параметраа: 1и р(а ! г, у) = — — (а -а (1)]т С (1)(а -а р (1)]+ 1п К „ 2 (20.36) где, как и в разд. 20.5, К, =(2л) ~ )С (1)! — нормировочный коэффициент распределения по а, а Ср(г) = Со (1)+ Су (20.37) а (г) = ао(г) + с (1)су,)йу — ао(1)].
(2038) Далее находится логарифм послеопытной вероятности условия ! с невошедшими в (20.36) слагаемыми )п Р(! ! у) = 1п К+ 1п Р(г) + Е(1) . (2039) Здесь 1п К является общей для всех условий ! постоянной, а функция Х(1) дискретного параметра 1 составляет !.(й = ' а',(1)С,(1)а,(1)- ' ао(1)С,(1)ео(1)- ' а',С,а„. (20.40) Полигауссовские априорные модели [1.33, 1.48, 1.70] (разд. 13.7.5) исходной информации полезны при измерении координат маневрирующих (разд.
22.7) и имитируемых (разд. 6, разд. 13.4) целей, при вторичной или третичной обработке множества целей на фоне потока ложных измерений (разд. 23), при классификации сигналов (разд. 24). Статистика текущего измерения считается пока гауссовской, определяемой (20. 19). Доопытнаи н послеопытнаи модели полигауссовской плотности вероитности параметра а. Вводят: > доопытная плотность вероятности р(а) = ~ ~р(а р)Р(1), ~ Р(1) =1 (20.33) 324 Функция Е(1) выражается и более компактно. Заменяя произведение С р(1 ) а в (1 ) согласно (20.22), найдем 2Ц ) = [а,И-аьИ~" СьИаь+ [а,И-а,И]'С,а,. В полученном выражении разности оценок ари-ао(1) и а„-ар(1) используя (20.27), (20. 27а) и учитывая симметрию матриц точности, можно представить в виде 2Ц1) = [а„-аь(!)1 С С, (1)Сь(1)аь(1) (20.41) -[а, -а,(1фс,(1)с '(1)С,а,.
Пользуясь правилами матричной алгебры (см. разд. 26), матрицу ошибок С =!Со+С,), входящую в оба слагаемые (20.41), удобно представить двояко: С~[С~ «-Со ! Со =Со[С~. «-Со ! С~ Используя первое представление для первого слагаемого (20.41), а второе для второго слагаемого н вводя обозначение (С )г =Со «.С„~ (20.41 а) получим Цг) = Е, = — -[аь -а~(1)[~[(С ')з] [а -аь(1)[. (20.42) В соответствии с (20.39) Р(1!у) = КР(1)ехр[Ц1)] или Р,(у) = КР, ехр[1,), (20.43) где К определяется из условия нормирования (20.34) г 3-1 К = ~',>" Р(1)ехр[Е(/)) = 2„Р ехр(1. ) . (20.44) Оптимальные оценки параметра при различных функциях стоимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
