Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 147
Текст из файла (страница 147)
(20.5) Из соотношений (20.2) и (20.5) можно получить р(а ~ у) = кор(а) р(у ) а). (20.6) Здесь йо — не зависящий от а коэффициент кс = 1!р(у) = $/ ) р(у ) «)р(«)сб;„, (20.7) /0;) удовлетворяющий условию нормирования (нормировки) посчеопытной плотности вероятности 7гв ~р(у)а)р(а)ЫР' =1. (г„) Соотношение (20.6) поясняется для одномерного случая а = а на рис.
20.1. Пологий характер кривой р(а) характеризует весьма ограниченную в данном случае до- опытную ннформар(а)у) 7> ', цию о параметре. Информация заметно уточняется при более Р(У)«) острой кривой зави,! !:! симости р(у)а). Эту зависимость как ! функцию а называа ют функцией правдо- подобия Кривая по- Рис. 20.1 слеопытной плотности вероятности р(а)у) уже и кривой р(а), и кривой р(у)а) в функции а. Плошадь же под кривой р(а)у), в отличие от плошади под кривой р(у)а), равна единице.
В этом состоит условие нормировки, обеспечиваемое выбором коэффициента (20.7). При полном отсутствии доопытных данных р(а) = = сопя) кривая послеопытной плотности вероятности по форме совпадает с кривой функции правдоподобия р(у)а). Наоборот, при наличии надежных, не устаревших еще данных предшествующих измерений кривая р(а) может быть уже кривой р(у)а), определяя после- опытную плотность вероятности р(а)у).
20.2.4. Характерные функции стоимости ошибок измерения К ним относятся: ° квадратичная функция стоимости (квадратнчная форма ошибки измерения) векторного параметра а с некоторой положительно определенной матрицей В г(«,«)=(« — «) В(а-а); ° простая функция стоимости ! («, «) = -8(а — а) = сопя) . Соответствующие функции для скалярного случая г(«,«)=(а-«) и г(а,«)=-8(а-«) представлены на 2 рис. 20.2,а,б. (а-а а) б) Р ..гог Критериями эффективности при квадратичной функции стоимости согласно (20.4) являются: ° минимум среднего квадрата ошибки в скалярном случае; ° минимум среднего значения квадратичной формы от ошибки в векторном случае (т.е.
минимум средней суммы квадратов ошибок при В = 1). Критерием эффективности прн простой функции стоимости является согласно (20.4) минимум выражения -р(а~у), т.е. максимум послеопытной плотности вероятности в точке а = а. 20.3. Оптимальные оценки и приемники оптимальных измерителей Оптимизация оценок параметров, а значит, измерителей этих параметров — возможный резерв повышения точности измерений. Оптимальные оценки вводятся в зависимости от принятых функций стоимости в соответствии с распределением послеопытной плотности вероятности. Оптимизация при простой функции стоимости.
Согласно изложенному опткмшьной является оценка максимума послеопытной плотности вероятности р(а ! у) = шах при а = а. (20.8) 320 Оптимизации при квадратичной функции стоимости. Оптимальна оценка максимума поснеопытнога матечатическага ожидания измеряемого параметра )ар(а)р(у/а)г!г'„ и = ! а р(а ! у)гб'и = . (20.9) 1 р(а) р(у ! п)г(~; 1ь) К выражению (20.9) можно прийти, исходя из минимума математического ожидания квадратичной формы ошибки измерения.
Это особенно наглядно в скалярном случае, когда условный средний риск (20.4), а именно дисперсия ошибки измерения, составляет О О пз = )'(а — а)зр(а!у)гйх ~з ')р(а!у)з!а— Р Э вЂ” 2а )ар(а!у)г!а~-)а р(а!у)г!а Интеграл от любой плотности вероятности равен единице. Поэтому непосредственно из необходимого условия минимума з!и з!а = 0 приходим для одномерного случая г г%; =аа к выражению (20.9). Обоснование для более общего случая можно найти, например, в (1.57). Попутно находится выражение минимальной дисперсии ошибки измерения одномерного параметра аз = )а р(а!у)с1а-а . (20.9а) Приемники оптимальных измерителей. Если приемник обнаружения вырабатывает логарифм условного отношения правдоподобия!и 1(у!а) при различных а, то он выдаст всю информацию о реализации у, достаточную для вычисления оценок максимума после- опытной плотности вероятности.
Действительно, входящая в выражение (20.6) функция правдоподобия р(у ! а) = р,„(у ! а) выражается через условное отношение правдоподобия: рсп (у ! а)! рп(у) =! (у ! а)., (20.10) Подставпяя (20.! 0) в (20.6), можно найти р(а ! у) = игр(а) 1(у ! а), (20.11) где в соответствии с (20.7) !г = р„(у)!р(у) не зависит от а н не влияет на результат измерения. Логарифмируя (20.!!), можно получить выражение, содержащее выходное напряжение оптимального приемника обнаружения! и 1(у ! а): 1пр(а ! у) = 1и 1(у!а)+!пр(а)+ сопл.
(20.12) После учета априорного слагаемого 1и р(а) оно определяет оценку максимума послеопытной плотности вероятности р(а ! у) в силу монотонности ее логарифмической функции. 20.4. Особенности регулярного и нерегулярного измерения Регулярным называют измерение, для которого зависимость 1п !(у !а) от каждого из образующих вектор а скалярных параметров является дифференцируемой (дважды), симметричной, унимадазьнай (имеющей один максимум) и подчиняется нормальному закону. Регулярное измерение проводится для дифференцируе- !ь мых (дважды) сигналов, при высоком отношении сигнал-помеха и в отсутствие неоднозначности измерений. 20.4.1.
Регулярные оценки максимума послеопытной плотности вероятности и максимума правдоподобия Регулярная оценка максимума послеопьпной плотности вероятности находится из условия др(а!у)!да,=Оприа= и (20.13) (з = 1, 2, ..., т) и совпадает с оценкой послеопытного математического ожидания. В отсутствие априорных (даапытных! данных полагают р(а) = сопз1. Тогда плотность вероятности р(а!у) в (20.13) заменяется на функцию правдоподобия р(у ! а), отношение правдоподобия 1(у ! а) или на логарифм отношения правдоподобия 1и!(у ! а).
Последнее приводит, в частности, к условию максшиума (наибольшего) правдоподобия МП д р(у ! а) ! да, = 0 или д 1п !(у ! а) ! да, = 0 при а = а, (20. 14) записываемого иначе в виде д!п1(у!а)=О приа= а. (20.14а) Это означает, что после приема входной реализации у в отсутствие априорных данных регулярная оптимальная оценка и находится из условия максимума выходного напряжения приемника обнаружения при изменении параметра ожидаемого сигнала а. В обозначениях оценок а = а ., получаемых по у входным реализациям и вещественным, и комплексным, ниже при необходимости проставляется индекс у.
20.4.2. Качество регулярного измерения Зависит от степени сосредоточенности или размытости послеопытной плотности вероятности р(а ! у) в окрестности оценки а . В отсутствие априорных данных р(а) =сопз1. согласно (20.! 1) можно получить Р(а!У)п1(у!а)=е . (2015) Функция 1п 1(у ! а) многомерной переменной а меняется в окрестности оценки и при высоких отношениях сигнал-шум значительно медленнеефункции 1(у!а)» 1. Это ( ! ) ~ ! ) поясняется на рис. 20.3, приведенного для одномерного случая, и дает возможность аппроксимации во многих случаев (но ее всегда!) !и 1(у ! а) суммой членов ряда Тейлора второй, первой и нулевой степени (гауссовское приближение).
В силу (20.14) можно приравнять нулю члены первой степени. Член нулевой степени сводится к постоянной, с учетом Рнс. 20.3 которой функцию 1(у ! сг) можно аппроксимировать квадратичной формой вида !п1(у!а) = ! д 1п1(у!и) . (20.16) =-Х (а, — а з)(п -а )+сопз1. 2 да да з / 321 Входящие в (20.16) при с = /' вторые производные по условию максимума отрицательны. Матрицу же квадратичной формы (20.16) удобно ввести с положительными диагональными элементами, т.е. в виде С„= ~Су, ~(=))-д 1п/(у!ау)/да,да/)! (20.17) или, поскольку 1п/(у!ау) =1и р(у/а )-1п р(у), то Су=))Су, )~=~(-д !и р(у/а„)/дасдсг/~. (20.17а) По определению (20.17) или (20.17а) матрица является симметричной (симметрической): т Сус/ = Сур нли Су = Су. Используя (20.17), выражение (20.!6) можно представить в векторно-матричной записи 1 1пу(у)а) = — (а-а ) С (а-а ) е соло!, 2 Заменяя постоянную логарифмом коэффициента пропорциональности К, плотность вероятности (20.15) можно аппроксимировать законом т-мерного норма!оного (гауссовского) раснредвленил ошибок: р(а! у) = К ехр~ --(а-д )'С (а — д ) .
(20.18) Р~ 2 Коэффициент Ку в выражении плотности вероятности (20.18) определяется из условия ее нормирования: Кг = (2 ) [Сг['". 20.4.3. Корреляционная матрица ошибок и матрица точности регулярного измерения Входящая в (20.18) матрица С„является обратной по отношению к корреляционной матрице ошибок и может бьггь названа матрицей точности. Вычисляя матрицы Су согласно (20.17), (20.17 а), можно находить -! корреляционные матрицы ошибок С, как им обратные.
Дисперсии ошибок измерения составляющих вектора а определяются тогда как диагональные элементы этих обратных матриц. Пример. Послеопытная плотность вероятности скалярного параметра а когереитного сигнала со случайной начальной фазой в силу (20.15) и (16.28) составит р(а ! у) и У(у ! а) = ехр(- су с2) Уо(су !2„!). (20.18а) Нормированный модуль корреляционного интеграла )У„! в окрестности оценки пропорционален нормированной функции рассогласования: /У„! мсур(а,а„)ад[1-/р«(0,0/(а-ао)'/21. (20.186) При и» 1 значение!и Уо (и) = и, а Уо (и) =ехр (и). Распределение (20.! 8а) сводится к нормальному р (а!у) (1/ 2яао )ехр[-(а- ау )'/2ао'1, (20.18в) где ао'=аДу )=1/су'/р"(0,0)! — послеопытная дисперсия ошибки измерения. 20.4.4.
Примеры нерегулярности измерения Нерегулярность прн малых отношениях сигналшум. Пик (20.18) при этом слабый, а выбросы шума в стробе рао (р — относительная ширина строба) принимаются за сигнал. 322 Послеопытная плотность вероятности р (а~ у) аппроксимируется весовой суммой нормального и прямоугольного распределений (рис. 20.4) с коэффициентом, вытекающим из ее нормиросс 20 иоО/2 вания ) р(а1у)суа = 1; -иоо /2 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
