Диссертация (1151135), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî p1 (t), c12 (t) ïîñòîÿííû è èíòåíñèâíîñòè ñìåðòíîñòè ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó îìïåðöà-Ìåéêåìà (27)µx (t) = A + BeC(t+x) .Îáîçíà÷èìα = − 21 2kc12(t)−C+A+lC√2 −4k(p (t)−c (t)A)(A+l)112.β = 12CÒîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (45) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäåA + BeC(t+x) − C + l + kc12(t)V̄1 (t) = −+kiihhBeC(t+x)1BeC(t+x)− 2 + α + β WM α + 1,β, CC1WW α + 1,β, Chiih, (46)+C ·BeC(t+x)BeC(t+x)+ WM α,β, Ck C1 WW α,β, C59ãäå C1 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, èWW [λ,ν,z] =WM [λ,ν,z] =1z11Γ(2ν+1)z ν+ 2 e− 2 R ν−λ− 12 (1 − u)ν+λ− 2 ezu du,u11Γ(ν−λ+ 2 )Γ(ν+λ+ 2 )0∞1 −z Rν+ 2e 2zν−λ− 21ν+λ− 21 −zuu(1−u)e du,1Γ(ν−λ+ 2 )0 óíêöèè Óèòòåêåðà (Whittaker).Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåçåðâà â ðåòðîñïåêòèâíîé îðìå èç óñëîâèÿ V̄1 (0) = 0íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ êîíñòàíòû C1 : 1BeCxC1 = C+ α + β WM α + 1,β,+2CBeCxCx:+ A + Be − C + l + kc12(t) WM α,β,CBeCxCx+: − A + Be − C + l + kc12 (t) WW α,β,CBeCx+CWW α + 1,β,.
(47)Càññìîòðèì óíêöèþ ðåçåðâà íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè îò 0 äî n. Ïðèt = n èìååì V̄1 (n) = d1(n). Ýòî óðàâíåíèå ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ïîñòîÿííóþ ïðåìèþ p1 ÷åðåç óíêöèþ ñòðàõîâûõ âûïëàò c12 (t) è îñòàëüíûåïàðàìåòðû çàäà÷è.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåçåðâà â ïåðñïåêòèâíîé îðìå èñïîëüçóåì óñëîâèåV̄1 (n) = d1(n).ßñíî, ÷òî c12 (n) = 0. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (46), íàõîäèì: BeC(x+n)1+ α + β WM α + 1,β,+C1 = C2CC(x+n)Be+ A + BeC(x+n) − C + l + kd1 (n) WM α,β,:C C(x+n)Be+: − A + BeC(x+n) − C + l + kd1 (n) WW α,β,CBeC(x+n)+CWW α + 1,β,.
(48)C60×òîáû íàéòè çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé íåòòî-ïðåìèè p1 â ýòîì ñëó÷àå, íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèå V̄1 (0) = 0. ßñíî, ÷òî ïåðñïåêòèâíàÿ è ðåòðîñïåêòèâíàÿ îðìû çàïèñè ðåçåðâà áóäóò ñîâïàäàòü.Ôîðìóëà (46) âìåñòå ñ êîíñòàíòàìè (47) è (48) ïîçâîëÿåò ó÷åñòü ïðèîðìèðîâàíèè ðåçåðâà íå òîëüêî ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà îò ðàçìåðà ðåçåðâà, íî è âëèÿíèå íà ïðîöåíòíóþ ñòàâêó ïðî÷èõ àêòîðîâ. Äåëàåòñÿ ýòî òàêæå, êàê â ðàñìîòðåííîé ðàíåå ìîäåëè ðåçåðâà ïî ñìåøàííîìó ñòðàõîâàíèþ æèçíè, ó÷èòûâàþùåé êóñî÷íîïîñòîÿííóþ çàâèñèìîñòü óíêöèè δ îò ðàçìåðà èíâåñòèðóåìûõ ñðåäñòâ.Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ðàñ÷åòà ðåçåðâà ïî äîãîâîðó ñìåøàííîãîñòðàõîâàíèÿ æèçíè, ó÷èòûâàþùåãî ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòèíà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà îò ðàçìåðà ðåçåðâà. Òàê, äëÿ n = 10 ïðè çíà÷åíèÿõïàðàìåòðîâk = 0,01, l = 0,07, c12(t) = 1, d1(n) = 1, x = 30,A = 0,006062, B = 0,000215, C = 0,080334èìååì p1 (t) = 0,072682.
ðàèê ðåçåðâà ïðè òàêîì çíà÷åíèè ïðåìèè íàèíòåðâàëå âðåìåíè îò 0 äî 10 ïîêàçàí íà ðèñ.13.Äëÿ n = 25 ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ k, l, c12(t), d1 (n), A, B, C, xèìååì p1 (t) = 0,022157. ðàèê ðåçåðâà â ýòîì ñëó÷àå ïîêàçàí íà ðèñ.14.Ïðèâåäåì äàëåå ãðàèêè, ïîêàçûâàþùèå èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà âî âðåìåíè. Äëÿ ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.
15. Åñëè ñäåëàòü ñæàòèå îñè âðåìåíè, ïðèâîäÿùåå äàííûå ãðàèêè ê îäèíàêîâîìó ðàçìåðó ïî îñè x, òî ìîæíî îáíàðóæèòü, ÷òîñ ðîñòîì ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ, êðèâàÿ δ ñòàíîâèòñÿ áîëåå âûïóêëîé âíèç.Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà δ îò ñîâîêóïíîãî ðåçåðâà V̄1 (t), êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûïóêëóþ âíèç óíêöèþ. Ñ ýêîíîìè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îáúÿñíåíèå ñâÿçàíî ñáîëåå áûñòðûì óâåëè÷åíèåì ðåçåðâà ê êîíöó ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ èç-çà ðîñòà61V1(t)tèñ. 13: ðàèê ðåçåðâà ïðè n = 10 â ñëó÷àå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèV1(t)tèñ. 14: ðàèê ðåçåðâà ïðè n = 25 â ñëó÷àå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè62ïðîöåíòîâ, òàê ÷òî ïðèðîñòû â íà÷àëå ñðîêà ìîãóò áûòü áîëåå íèçêèìè.δ(t)δ(t)tïðè n = 10tïðè n = 25èñ.
15: ðàèêè óíêöèè δ(t)Ñðàâíèì ðåçåðâû, ïîëó÷åííûå ïî îðìóëàì (17) è (46). Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì ãðàèêè óíêöèè Dδ (t), îïðåäåëÿåìîé êàê ðàçíîñòü ðåçåðâà, çàäàííîãî óðàâíåíèåì (14) ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà δ , è óíêöèèðåçåðâà, çàäàííîãî óðàâíåíèåì (45). Ýòè óíêöèè ïîçâîëÿþò ïðîàíàëèçèðîâàòü ýåêò îò ó÷åòà çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòàîò ðàçìåðà èíâåñòèðóåìûõ ñðåäñòâ.Ïðè c12 (t) = 1, d1(n) = 1, k = 0,01, l = 0,07 èíòåíñèâíîñòü íà÷èñëåíèÿïðîöåíòà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ìåæäó 0,07 è 0,08, ïîýòîìó äëÿ ïîñòðîåíèÿáóäåì èñïîëüçîâàòü ðåçåðâû, ïîëó÷åííûå ïî îðìóëå (17), ïðè çíà÷åíèÿõïàðàìåòðà δ , ðàâíûõ 0,07, 0,075 è 0,08. Íà ðèñ.
16 ïðåäñòàâëåíû ãðàèêèD0,07(t), D0,075(t), D0,08(t) äëÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâc12(t) = 1, d1(n) = 1, x = 30, n = 10,A = 0,006062, B = 0,000215, C = 0,080334.Âèäíî, ÷òî ðåçåðâû (17) ïðè δ = 0,07 è δ = 0,075 áîëüøå, ÷åì ðåçåðâ(46). Îäíàêî, ðåçåðâ (17) ïðè δ = 0,08 íå âñåãäà ìåíüøå ðåçåðâà (46), àèìåííî, â òå÷åíèè âîñüìîãî ãîäà ñðîêà äåéñòâèÿ äîãîâîðà, ðåçåðâ, ïîñòðî-63Dδ(t)tD0,07(t)D0,075(t)D0,08(t)èñ. 16: ðàèêè ðàçíîñòè ðåçåðâîâ äëÿ n = 10åííûé â ñëó÷àå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè, ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå ðåçåðâà, ïîñòðîåííîãî â ñëó÷àå íåçàâèñèìîñòè.Íàéäåì íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà δ (îáîçíà÷èì åãî δmin ), ïðèêîòîðîì ðåçåðâ (17) áóäåò íå áîëüøå ðåçåðâà (46) â íà÷àëå ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî íàéòè òàêîå çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿïðîöåíòà, ïðè êîòîðîì ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè ðàçíîñòè ðåçåðâîâáóäåò ðàâíà 0 â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Îáîçíà÷èì V̄1 (t)ln ðåøåíèå64óðàâíåíèÿ (45). Òîãäà òðåáóåòñÿ íàéòè çíà÷åíèå δ , ïðè êîòîðîìV̄1 (t)cl ′ t=0− V̄1 (t)ln ′ t=0(49)= 0.Ïîäñòàâèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ, âûðàæåííûå èç óðàâíåíèé (14) è (45).Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî V̄1 (0)cl = V̄1 (0)ln = 0, ïîëó÷èì:p1(0)cl = p1(0)ln,ãäå p1 (0)ln íåòòî-ïðåìèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ïîñòðîåííàÿ âñëó÷àå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà îò ðàçìåðà ðåçåðâà, à p1 (0)cl íåòòî-ïðåìèÿ â ìîìåíò çàêëþ÷åíèÿ äîãîâîðàâ ñëó÷àå íåçàâèñèìîñòè ïðè èñêîìîì çíà÷åíèè δmin. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîíåòòî-ïðåìèÿ ïîñòîÿííà â òå÷åíèè âñåãî ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ (â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå p1 (t)ln = 0,072682).
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ pcl1:d1(n) +pln1=RnRn(δmin +µx (s))dsc12 (τ )µx (τ )eτ0Rn0Rn(δmin +µx (s))dseτdτ.(50)dτåøèòü ýòî óðàâíåíèå â îáùåì âèäå íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Îäíàêî, ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîëîâèííîãî äåëåíèÿ (èëè ëþáîãî äðóãîãî ìåòîäàïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé) ìîæíî íàéòè òðåáóåìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà δmin ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ. Òàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî δmin = 0,075681. Ïðè δ > δmin â íà÷àëå ñðîêàäåéñòâèÿ äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ ðåçåðâ (17) áóäåò ìåíüøå ðåçåðâà (46). Ñðîñòîì ïàðàìåòðà δ ñðîê, â òå÷åíèå êîòîðîãî âûïîëíåíî ýòî ñîîòíîøåíèåìåæäó ðàçìåðàìè ðåçåðâîâ, áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðàñ÷¼òûðåçåðâà íà îñíîâå îðìóëû, íå ó÷èòûâàþùåé çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòèíà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà îò ðàçìåðà èíâåñòèðóåìîãî êàïèòàëà, ïðè ñòàâêàõ,ïðåâûøàþùèõ óêàçàííûé ïîðîã, ïðèâåäóò â íà÷àëå ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ êíåäîîöåíêå îáÿçàòåëüñòâ ñòðàõîâùèêà, è, êàê ñëåäñòâèå, ìîãóò ñòàòü ïðè-65÷èíîé íàðóøåíèÿ èíàíñîâîé óñòîé÷èâîñòè ñòðàõîâîé îðãàíèçàöèè.
Ïðåäëàãàåìûé ìåòîä, ïîâûøàþùèé òî÷íîñòü ðàñ÷¼òîâ, ïîçâîëÿåò ðåøèòü ýòóïðîáëåìó.Äëÿ ñðîêà äåéñòâèÿ äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ n = 25 àíàëîãè÷íûå ãðàèêè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.17. Âèäíî, ÷òî ïðè áîëüøåì ñðîêå ñòðàõîâàíèÿ,ðàçëè÷èÿ ìåæäó ðåçåðâàìè, çàäàâàåìûìè óðàâíåíèÿìè (14) è (45), âîçðàñòàþò.Dδ(t)tD0,07(t)D0,075(t)D0,08(t)èñ. 17: ðàèêè ðàçíîñòè ðåçåðâîâ äëÿ n = 25Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, â òå÷åíèå âñåãî ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ ðåçåðâ,ïîñòðîåííûé äëÿ ñëó÷àÿ ïðîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà,66ðàâíîé 0,07, áîëüøå ðåçåðâà, ïîñòðîåííîãî äëÿ ñëó÷àÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè. Îäíàêî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðåçåðâ (17) ïðè δ = 0,075 íå âñåãäà áîëüøåðåçåðâà (46). åøàÿ óðàâíåíèå (49), íàõîäèì δmin = 0,074375 ïðè n = 25.Êàê è â ñëó÷àå êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà îò ðàçìåðà ðåçåðâà, ñ ðîñòîì ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ çíà÷àíèåδmin áóäåò óìåíüøàòüñÿ ïî àíàëîãè÷íûì ïðèâåäåííûì ðàíåå ñîîáðàæåíèÿì.Ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè âûâîäàìè, ïîñòðîåííûå â äàííîé ãëàâåäèññåðòàöèîííîãî èññëåäîâàíèÿ ìîäåëè ðåçåðâîâ ïî ñìåøàííîìó ñòðàõîâàíèþ æèçíè ïîçâîëÿþò ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ïðè îðìèðîâàíèè ðåçåðâàâëèÿíèå íà âåëè÷èíó ïðîöåíòíîé ñòàâêè áîëüøåãî íàáîðà àêòîðîâ.
Òàêèì îáðàçîì, ýòè ìîäåëè îòâå÷àþò áîëåå øèðîêîìó êðóãó ïðàêòè÷åñêèõñèòóàöèé, ÷åì òðàäèöèîííûå, ó÷èòûâàþùèå çàâèñèìîñòü ïðîöåíòíîé ñòàâêè òîëüêî îò òåêóùåãî ìîìåíòà âðåìåíè.2.5Âûâîäû ïî ãëàâåÑòðàõîâàíèå æèçíè ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ óìåíüøåíèÿ íåáëàãîïðèÿòíûõèíàíñîâûõ ïîñëåäñòâèé, âûçâàííûõ ñìåðòüþ çàñòðàõîâàííîãî ëèöà. Êëàññè÷åñêèå ïðîäóêòû (ñòðàõîâàíèå íà ñëó÷àé ñìåðòè, ñòðàõîâàíèå íà äîæèòèå, ñìåøàííîå ñòðàõîâàíèå æèçíè) ïðåäóñìàòðèâàþò èêñèðîâàííûå âûïëàòû â îáìåí íà åäèíîâðåìåííóþ èëè ïåðèîäè÷åñêè óïëà÷èâàåìóþ ïðåìèþ.Äîãîâîð ñìåøàííîãî ñòðàõîâàíèÿ æèçíè ìîæåò áûòü îïèñàí ñ ïîìîùüþ ìîäåëè ñ äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè è åäèíñòâåííûì âîçìîæíûì ïåðåõîäîì.Ñèñòåìà óðàâíåíèé Òèëå â ýòîì ñëó÷àå ñâîäèòñÿ ê åäèíñòâåííîìó óðàâíåíèþ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãîïîðÿäêà.
Åãî ðåøåíèå ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü îðìóëó ðàñ÷åòà ðåçåðâà êàêâ ïåðñïåêòèâíîé, òàê è â ðåòðîñïåêòèâíîé îðìå.67Äëÿ ó÷åòà âëèÿíèÿ çàâèñèìîñòè ïðîöåíòíîé ñòàâêè îò ðàçìåðà èíâåñòèðóåìîãî êàïèòàëà â ìîäåëü ðåçåðâà ïî ñìåøàííîìó ñòðàõîâàíèþ æèçíèââîäèòñÿ óíêöèÿ, îòðàæàþùàÿ ñâÿçü ìåæäó ðàçìåðîì ðåçåðâà è èíòåíñèâíîñòüþ íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà. àññìîòðåíû äâà òèïà òàêîé çàâèñèìîñòè:êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ è ëèíåéíàÿ.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîñòðîåíû ìîäåëè, ïîçâîëÿþùèå âû÷èñëèòü íåîáõîäèìûé ðàçìåð ðåçåðâà, à òàêæå çíà÷åíèå íåòòîïðåìèè, îáåñïå÷èâàþùåå àäåêâàòíîñòü ðàçìåðà ñòðàõîâîãî ðåçåðâà ïðèíÿòûì îáÿçàòåëüñòâàì â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè äåéñòâèÿ äîãîâîðà. Ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ïîñòðîåííûõ ìîäåëåé ñ òðàäèöèîííîé àêòóàðíîé ìîäåëüþ,ó÷èòûâàþùåé çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà òîëüêî îòìîìåíòà âðåìåíè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
